La nascita delle strutture algebriche Simonetta Di Sieno Padova 13 aprile 2013

meno per meno fa più costruisco NxN x → (x,0) la relazione di equivalenza (p,m) R (p’,m’) se p’+ m = p + m’ se p - m = p’ – m’. (12, 10) R (7, 5) R (2,0) (2,0) + 2 (2,3) R (10,11) R (8,9) R (0,1) (0,1) -1 (7,13) R (20,26) R (8,14) R (0,6) (0,6) -6

insieme quoziente NxN/R (p,m) + (p’,m’) = (p+p’, m+m’) (p,m) × (p’,m’) = (p×p’ + m×m’, p×m’ + m×p’) (-2) × (-6 ) = (0,2) × (0,6) = (0×0 + 2×6’, 0×6 + 2×0) = = (12, 0) = +12

schieramenti: soltanto? Esercito in fila

Spazio vettoriale Rn su R: l'insieme delle n-ple ordinate di elementi di R, con le operazioni di somma e di prodotto per un elemento di R (uno scalare) definite componente per componente.

1852 lavora alla tesi di laurea sotto la supervisione di Gauss 1854 lavora (nello stesso periodo di Riemann) alla tesi di abilitazione 1854-58 insegna a Gottingen mentre lavora con Dirichlet 1858 -62 passa al Politecnico di Zurigo 1862-94 insegna a Braunschweig Richard Dedekind (1831-1916)

Georg Cantor (1845 – 1918) … mi sento sperduto

5/1/1874 Cantor a Dedekind Può una superficie (per esempio un quadrato, bordo compreso) essere messa in corrispondenza con una curva (per esempio un segmento di retta, estremi inclusi) in modo tale che ad ogni punto della superficie corrisponda un punto della curva e, viceversa, ad ogni punto della curva ne corrisponda uno della superficie? 25/6/1877 Cantor a Dedekind La maggior parte di coloro ai quali ho sottoposto tale questione si è molto meravigliata del fatto stesso che io abbia potuto porla, perché sembrava loro evidente che per la determinazione di un punto in una varietà a k dimensioni occorra sempre usare k coordinate indipendenti. Chi però coglieva in profondità il senso della questione era costretto a riconoscere che occorreva almeno dimostrarla […] Io facevo parte di coloro che ritenevano verosimile una risposta negativa fino al momento recentissimo in cui, con una successione molto complessa di pensieri, sono arrivato alla convinzione che la risposta sia affermativa, senza restrizione alcuna. Poco dopo trovai la dimostrazione che lei ha oggi sotto gli occhi.   29/6/1877 Cantor a Dedekind La prego di scusare la mia preoccupazione per quest’affare, se faccio così spesso appello alla sua bontà e condiscendenza. Ciò che le ho comunicato recentemente è così inatteso per me e così nuovo che non potrei, per dir così, arrivare a una certa tranquillità di spirito prima di ricevere, molto stimato amico, il suo giudizio sulla sua correttezza. Fin tanto che non mi avrà approvato, non posso dire lo vedo, ma non ci credo. 2/7/1877 Dedekind a Cantor Ho esaminato ancora una volta la sua dimostrazione e non vi ho trovato lacune; sono convinto che il suo interessante teorema sia corretto e le faccio le mie felicitazioni.

1843 si imbatte nella differenza fra irriducibile e primo Z(i√5 ) = {a+ib√5, con a, b interi} 6 = 2∙3 = (1+i √5)(1-i √5) e 2 irriducibile non è primo! Z(i√D) con D positivo, privo di fattori quadrati e con almeno due fattori primi 6 = (√2)2 [(1+i √5)/√2 ] [(1-i √5)/√2 ] quattro numeri ideali in Z(i√5 ) E. Kummer (1810-1893) 1831 Università di Halle 1855 succede a Dirichlet a Berlino

Anello: una terna (A,+,×) per la quale (A,+) è un gruppo commutativo, × è un’operazione in-terna ad A, associativa valgono le proprietà distributive destra e sinistra del prodotto rispetto alla somma

Emmy Noether (1882-1934)

Introduzione Il contenuto del presente lavoro è costituito dal trasferimento delle leggi di scomposizione dei numeri interi razionali, rispettivamente degli ideali in corpi di numeri algebrici, a ideali in domini di integrità qualsiasi e agli anelli in generale. Per la comprensione di questo trasferimento, siano date dapprima, per i numeri interi razionali, le espressioni di scomposizione leggermente differenti dalla formulazione consueta. Si prendano…

Gruppo: una coppia (A, *) in cui A è un insieme * è un’operazione interna ad A, associativa, dotata di unità e, per ogni aϵA, di elemento inverso. Anello: una terna (A,+,×) per la quale (A,+) è un gruppo commutativo, × è un’operazione interna ad A, associativa valgono le proprietà distributive destra e sinistra del prodotto rispetto alla somma. Corpo: un anello (A,+,×) in cui (A\{0},×) è un gruppo Campo: un corpo (A,+,×) in cui × è un’operazione commutativa.

Sezioni ogni punto divide la rettain due parti