OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008/2009

ELEMENTI DI GONIOMETRIA PQ=sen a OQ=cos a RS=tg a = sen a /cos a R P a O Q S OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 2

ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA CB = AC sen a AB = AC cos a CB = AB tg a AB = BC tg g C g a B A OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 3

CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI (geometria euclidea) 1° Due triangoli sono congruenti se e solo se hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo compreso. 2° Due triangoli sono congruenti se e solo se hanno rispettivamente congruenti un lato e due angoli. 3° Due triangoli sono congruenti se e solo se hanno congruenti i lati corrispondenti OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 4

RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI (conseguenze di Euclide) Un triangolo rettangolo è completamente risolto se sono noti: I due cateti Un cateto e l’ipotenusa Un cateto e un angolo acuto L’ipotenusa e un angolo acuto OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 5

RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI (conseguenze di Euclide) 1°; noti i due cateti r2=x2+y2 y/x = tg a ; a= arctg y/x= tg-1 y/x x/y = tg g ; g= arctg x/y= tg-1 x/y C g r y a x B A OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 6

RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI (conseguenze di Euclide) 2°; noti un cateto e l’ipotenusa x2= r2 - y2 ; y2= r2 - x2 x = r cos a ; x = r sen g cos a = sen g = x/r g = sen-1 x/r a = cos-1 x/r C g r y a x B A OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 7

RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI (conseguenze di Euclide) 3°; noti un cateto e l’angolo acuto a x = r cos a ; r = x/ cos a y/x = tg a ; y= x tg a C g r y a x B A OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 8

RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI (conseguenze di Euclide) 4°; noti l’ipotenusa e l’angolo acuto a x = r cos a ; y = r sen a C g r y a x B A OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 9

EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO Con l’avvento della fisica galileana viene abbanonata l’idea della ricerca dell’essenza della forza puntando l’attenzione sugli effetti delle forze sui corpi materiali. L’introduzione del concetto di forza ha come conseguenze: possibili deformazioni dei corpi vincolati moto non rettilineo e non uniforme OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 10

EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO Spesso l’azione di una forza provoca delle deformazioni trascurabili rispetto allo spostamento, tale effetto porta ad introdurre il concetto di corpo rigido esteso (cioè un corpo le cui dimensioni spaziali variano in maniera trascurabile in seguito all’azione della forza). Tale concetto è puramente astratto ma utile per trattare l’equilibrio statico dei corpi. OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 11

EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO Inoltre, è necessario introdurre anche i concetti di corpo libero e corpo vincolato. Per corpo libero si intende un corpo che non ha alcuna limitazione direzionale legata al moto, mentre per corpo vincolato si intende un corpo a mobilità ridotta. OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 12

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AZIONE DI FORZE SU UN CORPO RIGIDO Nel caso in cui su un corpo rigido agiscono più forze esso si muoverà lungo la risultante F1 F2 FR OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 14

EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO Nel caso in cui la risultante FR fosse nulla il centro di massa del corpo rimane in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme S Fi =0 OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 15

EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO La condizione S Fi =0 non è sufficiente a garantire l’equilibrio del corpo rigido. Infatti applicando una coppia di forze (antiparallele, stesso modulo) il moto di rotazione del corpo subirà una variazione. F2 F1 OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 16

EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO: Momento di una forza La rotazione del corpo è dovuto al Momento M. Il modulo del momento rispetto ad un punto è dato dal prodotto del modulo della forza F per il braccio b. O b F B OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 17

EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO: Momento di una forza Nel caso di un corpo esteso sottoposto all’azione di una forza F che forma con il corpo un angolo d con la sua direzione, si ha: M = F sen d b F d b OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 18

EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO: Condizione necessaria e sufficiente affinché un corpo in quiete permanga in equilibrio statico sia rispetto alla traslazione sia rispetto alla rotazione, è: S Fi =0 S Mi =0 i = 1,2,3,4,5 ……. Equazioni cardinali della statica OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 19

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 PROBLEMA 1 Un cubetto di massa m è poggiato sul piano orizzontale, sia inoltre m il coefficiente di attrito statico con la superficie di contatto con il piano. Una sbarra di massa M=2m e di lunghezza l è incernierata ad una estremità A e forma un angolo a con la perpendicolare al piano orizzontale, come mostrato in figura. Il contatto in B tra la sbarra e il cubetto, privo di attrito, si trova ad una distanza da A pari a 4/5 l. Trovare il coefficiente di attrito statico m in funzione dell’angolo a, che permetta al sistema di mantenersi in quiete. OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 20

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 Figura AB =4/5 l A B a P F OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 21

Applicazione equazioni cardinali l /2 Mg sen a = F 4/5 l F cos a = m (mg + F sen a) M=2m F= 5/8 Mg sen a = 5/4 mg sen a F cos a=m (mg + F sen a) F= 5/4 mg sen a 5/4 mg sen a cos a = m (mg + 5/4 mg sen2 a) OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 22 2°

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 ………….. 5/4 mg sen a cos a = m (mg + 5/4 mg sen2 a) 5/4 sen a cos a = m (1 + 5/4 sen2 a) m =5 sen a cos a / ( 4 + 5 sen2 a) OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 23

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 Considerazioni…….. La relazione trovata per il coefficiente di attrito statico m m = 5 sen a cos a / ( 4 + 5 sen2 a) evidenzia: dipendenza solo dal rapporto tra le masse dell’asta e del blocchetto; dipendenza dal rapporto della lunghezza l dell’asta e del tratto AB e non dalla lunghezza l; indipendenza dalla forma del blocchetto (parallelepipedo); indipendenza da g. OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 24

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 2° caso Riscrivendo le precedenti equ. cardinali l /2 Mg sen a = F 4/5 l F cos a=m (mg + F sen a) Per un generico rapporto tra le masse M/m= H Per un generico rapporto tra AB ed l AB/l=K Si ha: OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 25

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 2° caso l /2 Mg sen a = F K l F cos a=m (mg + F sen a) AB/l=K M/m=H F= (Mg sen a)/2K F cos a=m (mg + F sen a) F= (H mg sen a)/2K (H/2K) mg sen a cos a = m (mg + (H/2K) mg sen2 a) OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 26

2° caso (H/2K) mg sen a cos a = m (mg + (H/2K) mg sen2 a) (H/2K) sen a cos a = m (+ (H/2K) sen2 a) m = H sen a cos a / ( 2K + H sen2 a ) OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 27

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 3° Lasciando inalterate tutte le precedenti condizioni, ma variando le dimensioni del blocchetto ci si troverebbe nella situazione della figura successiva ……. OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 28

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 3°caso figura A B a1 AB/l= 4/5 a1 > a cos a1 < cos a Il coefficiente di spinta diminuisce OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 29

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 2°problema Tre cubetti di masse m1,m2,m3 sono disposti su un piano inclinato come in figura. Siano m1, m2, m3 i coefficienti di attrito statico tra le superfici del piano inclinato e quelle dei tre blocchi rispettivamente, con m1 > m2 > m3. Trovare il valore dell’angolo limite a per cui l’intero sistema si mantiene in condizioni statiche, in funzione dei coefficienti d’attrito e delle masse. Trovare, inoltre, l’espressione delle forze che si esercitano tra le pareti a contatto dei corpi. OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 30

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 2° problema …… figura m1 > m2 > m3 F2 a 1 2 3 F1 OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 31

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 2° problema Il sistema rimane statico finché il corpo 1 resta in quiete. Forza risultante sul cubetto 1 lungo il piano inclinato: m1 g sen a +F1 – m1 m1 g cos a = 0 Poiché m1 > m2 > m3 i corpi 2 e 3 superano le condizioni limite prima del corpo 1. F1 modulo della forza risultante su 1, lungo il piano, dovuta alla spinta di 2 e 3: F1 = (m2+m3) g sen a – (m2 m2 + m3 m3 )g cos a OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 32

2° problema Da cui: m1 g sen a +(m2 + m3) g sen a – (m2 m2 + m3 m3 )g cos a – m1 m1 g cos a = 0 (m1+m2+ m3)sena – (m1m1 + m2m2 + m3m3) cos a =0 (m1+m2+ m3)sena = (m1m1 + m2m2 + m3m3) cos a Da cui si ottiene: tg a = (m1m1 + m2m2 + m3m3) / (m1+m2+ m3) (media pesata sulle masse) OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 33

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 2° problema F2 modulo della forza risultante tra i corpi 2,3: F2 = m3 g sen a – m3 m3 g cos a Le condizioni di equilibrio per i tre corpi sono: ????? OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 34

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 2° problema m1 g sen a + F1 – m1 m1 g cos a =0 (*) m2 g sen a +F2 –F1 – m2 m2 g cos a =0 (**) m3 g sen a -F2– m3 m3 g cos a =0 (***) 3 2 1 OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 35

Considerazioni Affinché il sistema sia in equilibrio statico nel caso: a) m1>m2 >m3 si deve avere (m2+m3) g sen a – F1 – (m2 m2 + m3 m3 )g cos a ≤ 0 da cui F1 ≥ (m2+m3) g sen a – (m2 m2 + m3 m3 )g cos a Sostituendo in (*) m1gsena+(m2+m3)gsena –(m2m2+ m3m3)gcosa – m1m1gcosa ≤ 0 m1sena+(m2+m3)sena –(m2m2+ m3m3)cosa – m1m1cosa ≤ 0 (m1+m2+m3)sena –(m1m1 + m2m2+ m3m3)cosa ≤ 0 tg a ≤ (m1m1 + m2m2 + m3m3) / (m1+m2+ m3) OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 36

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 Problema 2 Dalla condizione di equilibrio (*) m1 g sen a + F1 – m1 m1 g cos a =0 si ha: F1 =(m1 cos a –sen a ) m1 g inoltre F1 =(m2+m3) g sen a – (m2 m2 + m3 m3 )g cos a Dalla (**) si ha: F1 =(sen a– m2 cos a) m2 g +F2 sostituendo (m2+m3)sena–(m2 m2+m3m3)cosa= (sena–m2cosa)m2+F2 Dalla (***) si ha: F2 = m3 g sen a– m3 m3 g cos a OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 37

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 Considerazioni: b) Nel caso in cui m1 >m3>m2 si possono presentare due sottocasi: b1) i corpi 2 e 3 superano l’angolo limite prima del corpo 1 e si rientra così nel caso a) b2) l’insieme dei corpi 1 e 2 supera l’angolo limite prima del corpo 3. OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 38

Considerazioni: m2g sen a – m2 m2 g cos a = m1gsena –m1m1gcosa (m1 +m2) sen a = (m1m1 + m2 m2 ) cos a tg a = (m1m1 + m2m2 ) / (m1+m2) Media pesata sulle masse m1 ,m2 OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 39

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 Considerazioni C) Nel caso in cui m2 >m3>m1 il corpo 1 non risente delle azioni dei corpi 1 e 2 per cui: tg a = m1 OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 40

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 Considerazioni d) Nel caso in cui m2 >m1>m3 si possono presentare due sottocasi: d1) l’insieme dei corpi 2 e 3 supera l’angolo limite prima del corpo 1 e si rientra nel caso a) d2) il corpo 1 supera l’angolo limite prima dell’insieme dei corpi 2 e 3 e si rientra nel caso c). OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 41

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 Considerazioni e) Nel caso in cui m3 > m2 > m1 si rientra nel caso c) tg a = m1 f) Nel caso in cui m3 > m1 > m2 l’insieme dei corpi 1 e 2 supera la condizione limite prima del corpo 3 e si rientra nel caso b). OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 42

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 Problema 3 OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 43

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 x y d α β m1 m3 m2 x y d α β m1 m3 m2 x y d α β m1 m3 m2 x y d α β m1 m3 m2 x y d α β d y x α β m1 m2 m3 OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 44