Tra semplicità e complessità Un breve percorso intorno al tema della comprensibilità del mondo Terza tappa Luca Mari, Università Cattaneo - LIUC lmari@liuc.it

Il punto della situazione La “nuova complessità”: sensibilità alle condizioni iniziali non linearità nelle relazioni tra “cause” ed “effetti” dipendenza dalla struttura e non (solo) dalla molteplicità

Un esempio: dinamica delle popolazioni Si studia la variazione del numero xi di individui della popolazione al variare del tempo i Prima ipotesi: xi+1 = k xi (dinamica secondo Malthus) Dunque descriviamo la dinamica del sistema mediante un’equazione “di transizione di stato” locale

AdamoBrunoCarloDanieleEttore Locale e globale La capacità di descrizione e previsione possono essere “locali”, cioè a breve termine oppure “globali”, cioè complessive e quindi anche a lungo termine Un esempio: la funzione padre_di è locale la funzione antenato_di è globale AdamoBrunoCarloDanieleEttore padre_di(Bruno) = Adamo antenato_di(3,Ettore) = Bruno La forma delle funzioni: locali: xi+1 = f(xi) oppure x(t+Dt) = f(x(t)) globali: xi = F(i,x0) oppure x(t) = F(t,x(t0)) Da globale a locale: f(xi)=F(1,xi) Da locale a globale: F(i,x0)=f(…f(f(xi))…) iterato i volte

Equazioni dinamiche locali e globali Le equazioni della fisica sono tipicamente globali, dunque della forma: x(t) = F(t,x(t0)) per esempio: x(t)= A e-Bt cos(2pCt) l’equazione dell’oscillatore armonico smorzato Equazioni di questo genere forniscono una conoscenza appunto globale sulla dinamica del sistema (e da esse sono agevolmente ricavabili le corrispondenti equazioni locali)

Equazioni dinamiche: da locali a globali? Vale anche il viceversa? dalla conoscenza della dinamica locale f si può ricavare la dinamica globale F ? cioè da x(t+Dt) = f(x(t)) si riesce a ottenere x(t) = F(t,x(t0)) ? L’esempio (banale) della dinamica malthusiana: xi+1 = f(xi) = k xi  xi+2 = f(xi+1) = k xi+1 = f(f(xi)) = k 2xi xi+n = k nxi La trasformazione locale  globale è sempre possibile?

Un esempio: dinamica delle popolazioni /2 Le risorse presenti nell’ambiente consentono il sostentamento di un numero massimo di individui (per convenzione scelto uguale a 1); quindi: xi+1 = k(1-xi)xi (dinamica secondo Verhulst) In questo caso, per esempio: xi+2 = f(xi+1) = k (xi+1 – x 2i+1) = f(f(xi)) = k (k (xi –x 2i) – k 2(xi –x 2i)2) L’espressione analitica della dinamica globale F è talmente complessa che per calcolare F(t,x0) occorre, di fatto, calcolare l’iterazione f(…f(f(f(x0)))…) t volte

“Caos deterministico” La dinamica del sistema non può essere prevista, e l’unico modo possibile per conoscerla è di “seguirla”, cioè di calcolarla passo-passo (e quindi iterativamente) Si tratta di una imprevedibilità dovuta non alla presenza del caso ma alla conoscenza solo locale del sistema

Un nuovo paradigma Tradizionalmente: Alternativamente: equazioni a variabili globali e continue (conoscibilità ideale sia macro sia micro)  equazioni differenziali Alternativamente: equazioni a variabili locali e discrete (conoscibilità limitata sia macro sia micro)  equazioni iterative

Iteratività: un esempio Indicando z=(x,y) e z0=(x0,y0): zi+1 = zi2 + z0 …