ELEMENTI DI TRATTAMENTO DEI SEGNALI MODELLO CONVOLUTIVO DECONVOLUZIONE

TEORIA ELEMENTARE DEL TRATTAMENTO DEI SEGNALI ANALISI DI FOURIER Un concetto di fondamentale importanza nel processing sismico è che un segnale può essere rappresentato come somma di oscillazioni sinusoidali con opportune ampiezze e fasi. Consideriamo una funzione f(x) periodica, definita tra x = - p ed x = p, inizialmente assumiamo che questa funzione sia pari cioè f(x) = -f(-x) In cui i coefficienti an sono dati da Ad esempio consideriamo la funzione f(x) = 1 per 0<x< p f(x) = -1 per -p<x< 0 +1 -p p -1 I coefficienti sono dati da (se n è pari): I coefficienti sono 0 se n è dispari

DECOMPOSIZIONE DI FOURIER DI UNA FUNZIONE SEMPLICE Ad esempio una funzione come quella in figura può essere scomposta in tre sinusoidi con ampiezze secondo il grafico detto spettro in frequenza A + DECOMPOSIZIONE DI FOURIER DI UNA FUNZIONE SEMPLICE B = + C 1 SPETTRO DI AMPIEZZA DELLA FUNZIONE DI CUI SOPRA Ampiezza 1 2 3 Frequenza n

Se la funzione f(x)non è pari, può essere espressa in una serie simile ma con seni e coseni: In questo caso l’ampiezza per ogni frequenza sarà:

Nel caso della funzione periodica ma assolutamente integrabile, cioè esiste Essa sarà esprimibile come C(k) = trasformata di Fourier di f(x) In generale, C(k) è una funzione complessa, C(k)= R(k) + JI(k) il modulo graficato in funzione di k è lo spettro d’ampiezza

FILTRI f (t) FILTRO R (t) Un filtro è definito come un sistema che, nel dominio del tempo esegue la convoluzione del segnale in ingresso con la sua risposta all’impulso f (t) FILTRO R (t)

Equivalentemente nel dominio della frequenza, un filtro è definito come l’operatore che moltiplica la trasformata di Fourier del segnale di ingresso per la trasformata di Fourier della risposta all’impulso del filtro stesso. Trasformata di Fourier del segnale di ingresso = Spettro del Segnale Trasformata di Fourier della risposta all’impulso = Funzione di trasferimento S (w) x H (w) = R (w)

Quindi se f(x) rappresenta un segnale sismico, possiamo utilizzare lo spettro di ampiezza per mostrare l’energia (proporzionale al quadrato dell’ampiezza) associata a ciascuna frequenza.

CONVOLUZIONE La convoluzione di due segnali è rappresentata da: Oppure c = s * h Vogliamo dimostrare che passando nel dominio della frequenza la trasformata di Fourier della convoluzione c(t) è uguale al prodotto delle trasformate di Fourier dei due segnali. Nel caso di nostro interesse s(t) = 0 per t<0 h(t) = 0 per t<0 (Causalita’) Poiché e poiché

Allora: Posto :u = t - t

Essendo f(t) =0 per t<0 Cioè in forma compatta

Visualizzazione della convoluzione (segnale inviato ad un filtro) Eseguire la convoluzione con un programma di calcolo prelevando i valori dai grafici. Verificare la forma del segnale di uscita(si consiglia l’ uso della funzione conv.m di Matlab)