Variabili Casuali Quale che sia uno spazio campionario S è possibile definire una o più funzioni che associno ogni elemento di S a un elemento di Â. Consideriamo ad esempio il lancio di 3 monete e consideriamo le funzioni X e F così definite: X: s(ÎS) ® x (ÎÂ) x=X(s)=nT-nc F: s(ÎS) ® x (ÎÂ) x=F(s)=nTnc  ... 3 1 -2 -1 -3 2 [T,T,T] [C,T,C] [T,C,T] [T,C,C] [C,C,C] [T,T,C] [C,T,T] [C,C,T] -4 4 X (S) {-3,-1,1,3} = F (S) {0,1,2}

Variabili Casuali  ... 3 1 -2 -1 -3 2 [T,T,T] [C,T,C] [T,C,T] [T,C,C] [C,C,C] [T,T,C] [C,T,T] [C,C,T] -4 4 X (S) {-3,-1,1,3} = F (S) {0,-1,2} Definizione: Dato uno spazio campionario S, si definisce Variabile Casuale X su S qualsiasi funzione che abbia per dominio S e codominio Â. X: S ®  Se l’insieme X(S) è finito la variabile casuale X si dice finita Gli elementi di X(S) sono detti valori o determinazioni

CAMIONARIO SPAZIO Variabile Casuale X Â X(S) Variabile Casuale X [T,T,T] [C,T,C] [T,C,T] [T,C,C] [C,C,C] [T,T,C] [C,T,T] [C,C,T] -3 -1 1 3 X(T,T,T) X(T,C,C)

Teoremi: "sÎS Variabili Casuali Sia X una VC su uno spazio campionario S e k un numero reale, allora anche le funzioni: X+k: (X+k)(s) = X(s) + k kX: (kX)(s) = k • X(s) sono VC Teoremi: "sÎS X: s(ÎS) ® x (ÎÂ) x=X(s)=nT-nc F: s(ÎS) ® x (ÎÂ) x=F(s)=nTnc

Teoremi: "sÎS Variabili Casuali Siano X e F due VC su uno spazio campionario S, allora anche le funzioni: X+F: (X + F)(s) = X(s) + F(s) X•F: (X • F)(s) = X(s) • F(s) sono VC Teoremi: "sÎS X: s(ÎS) ® x (ÎÂ) x=X(s)=nT-nc F: s(ÎS) ® x (ÎÂ) x=F(s)=nTnc

S X(S) Notazione Variabile Casuale X: s(ÎS) ® x (ÎÂ) x=X(s)=nT-nc X[TTT]=3 X[TTC]= X[TCT]= X[CTT]=1 X[TCC]= X[CTC]= X[CCT]=-1 X[CCC]=-3 {X(s)=a} Þ {X=a} [TTT] [TTC] [TCT] [CTT] [TCC] [CTC] [CCT] [CCC] Â -3 -1 3 1 X(S) La simbologia {X=a} è una forma sintetica per rappresentare l’evento che la variabile X assuma la deter-minazione a. Þ

Notazione Variabile Casuale X: s(ÎS) ® x (ÎÂ) x=X(s)=nT-nc  -3 -1 3 1 X(S) [TTT] [TTC] [TCT] [CTT] [TCC] [CTC] [CCT] [CCC] S X[TTT]=3 X[TTC]= X[TCT]= X[CTT]=1 X[TCC]= X[CTC]= X[CCT]=-1 X[CCC]=-3 {X(s)=a} Þ {X=a} {X=3} = evento che X assuma la determinazione 3 = = { [TTT] } {X=1} = evento che X assuma la determinazione 1 = = { [TTC], [TCT], [CTT] } {X=-1} = evento che X assuma la determinazione -1 = = { [TCC], [CTC], [CCT] } {X=-3} = evento che X assuma la determinazione -3 = = { [CCC] }

Notazione Variabile Casuale {X=3} = { [TTT] } Þ P({X=3}) = 1/8 {X=1} = { [TTC], [TCT], [CTT] } Þ P({X=1}) = 3/8 {X=-1} = { [TCC], [CTC], [CCT] } Þ P({X=-1}) = 3/8 {X=-3} = { [CCC] } Þ P({X=-3}) = 1/8 La probabilità dell’evento che X assuma valore a si esprime con la simbologia P({X=a}) o più semplice-mente P( X=a ). P({X=3}) oppure P(X=3)

X(S) Funzione di distribuzione Definizione: Sia X una vc su S, chiamiamo funzione di distri-buzione o funzione di probabilità di X la funzione f così definita: f: X(S) ® Â tale che f: x ® P( X=x ). Â -3 -1 3 1 X(S) 1/8 3/8 f(3) = P(X=3) = 1/8 f(1) = P(X=1) = 3/8 f(-1) = P(X=-1) = 3/8 f(-3) = P(X=-3) = 1/8

xi f(xi) -3 1/8 -1 3/8 1 3/8 3 1/8 Grafico a Barre Funzione di distribuzione Rappresentazione -3 -1 3 1 X(S) 1/8 3/8 Â f(3) = P(X=3) = 1/8 f(1) = P(X=1) = 3/8 f(-1) = P(X=-1) = 3/8 f(-3) = P(X=-3) = 1/8 xi f(xi) -3 1/8 -1 3/8 1 3/8 3 1/8 -3 1 3 -1 3/8 1/8 Grafico a Barre X(S) f(X(S))

 CAMIONARIO SPAZIO Variabile Casuale S X X(S) P(X=x) [T,T,T] [T,T,C] -3 -1 1 3 Variabile Casuale X P(X=x) 1/8 3/8 Funzione di distribuzione f(x) = P(X=x) X(s) = nT-nc f(3)=f(-3)= 1/8 [T,T,T] [T,C,T] [C,T,C] [T,C,C] [C,C,C] [T,T,C] [C,T,T] [C,C,T]

Esempio: Da un’urna contiene 5 palline (2 B, 2 G, 1 V) si estraggono contemporaneamente 3 palline. Determinare la funzione di distribuzione della variabile casuale X tale che: X: (nV,nG,nB) ® nB + nG + nV (nV,nG,nB) Î S 3 2 Si possono avere 60 terne: 6 [BBV] e [GGV], 12 [BBG] e [GGB], 24 [BGV], si può creare lo spazio campionario NON equiprobabile S a cui applicare la vc X: [BBV] [GGV] [BBG] [GGB] [BGV] S 9 5 3 X(S) {X=9} = {[BBV],[BBG]} {X=5} = {[GGV],[GGB]} {X=3} = {[BGV]} Þ ß f(9)=P(X=9)=P([BBV])+P([BBG])=18/60 f(5)=P(X=5)=P([GGV])+P([GGB] )=18/60 f(3)=P(X=3)=P([BGV])=24/60

Problema: Ugo alla lotteria europea ha vinto 5 volte 5 ECU, 4 volte 10 ECU e 1 volta 50 ECU. Quale è stata la vincità media?: L’espressione può essere riscritta evidenziando le frequenze relative ƒ: ƒ(5) =5/10; ƒ(10) =4/10; ƒ(50) =1/10; Possiamo allora scrivere che:

MEDIA DI UNA VARIABILE CASUALE Definizione: Dato su uno spazio campionario S una vc X caratterizzata dalla funzione di distribuzione f, diremo valor medio o media di X, il numero reale: M(X) = m=

MEDIA DI UNA VARIABILE CASUALE Teoremi Sia X una vc e k un numero reale, allora: m(X+k) = m(X)+k m(k·X) = k · m(X) Siano X e F due vc su uno spazio campionario, allora: m(X+F) = m(X)+ m(F)

VARIANZA DI UNA VARIABILE CASUALE Definizione: Data una vc X su S tc X(S)={x1,...,xn} e la funzione di distribuzione f, diremo scarto del valor medio il numero reale: xi - m Si dice varianza di una variabile casuale X, la media della variabile casuale [X - m]2 Var(X) = s2 =

VARIANZA DI UNA VARIABILE CASUALE Teoremi La vc X-m ha valor medio nullo: M(X - M(X)) = 0 La varianza della vc X è espressa da: s2 = M(X2) - m2

DI UNA VARIABILE CASUALE DEVIAZIONE STANDARD DI UNA VARIABILE CASUALE Definizione: Si dice deviazione standard o scarto quadratico medio di una variabile casuale X, la radice quadrata della varianza:

DISUGUAGLIANZA DI TCHEBYCHEFF Permette di mettere in relazione i parametri (m, s) di una distribuzione: Se X è una vc con media m e sqm s, allora dato k Î Â è valida la relazione: s2 = M(X2) - m2