FORMULE DI GAUSS-GREEN NEL PIANO. CAMPI VETTORIALI

Argomenti della lezione Formule di Gauss-Green nel piano Campi vettoriali (forme differenziali)

FORMULE DI GAUSS-GREEN NEL PIANO

Un teorema di topologia piana fortemente intuitivo, ma difficile da dimostrare, è il famoso teorema di Jordan (Marie Ennemond Camille) (1887): Se (t) è una curva continua semplice chiusa in R2, il suo sostegno divide il piano in due aperti: uno limitato, detto dei punti interni alla curva; l’altro illimitato dei punti esterni

La prima dimostrazione rigorosa del teorema si deve al matematico americano Oswald Veblen (1905) punti interni punti esterni 

Un aperto connesso che ha come frontiera una curva generalmente regolare, semplice, chiusa si dice semplicemente connesso. Se la frontiera del dominio aperto è costituita da più curve generalmente regolari semplici e chiuse i sostegni delle quali sono contenuti nei punti interni di un’unica curva e che hanno le chiusure dei punti interni a due a due disgiunte, diremo che il dominio è molteplicemente connesso

Una situazione tipica è la seguente 0 1 2 3 t n

Evidentemente la frontiera del dominio A è trascurabile e quindi il dominio è misurabile secondo PJ. Infatti la frontiera è l’unione di un numero finito di grafici di funzioni continue. Un tale dominio si dirà un dominio regolare. Una curva chiusa generalmente regolare ha un’orientazione intrinseca: siano t il versore tangente e n un versore normale.

Diremo che l’orientazione della curva  è positiva se, essendo la coppia t n congruente ai versori degli assi (i e j o e1 ed e2), la normale n punta verso l’interno di . Tale orientazione si dice anche antioraria. Se il bordo di A è dato da più curve chiuse, l’orientazione positiva della curva esterna è antioraria mentre quella delle curve interne è oraria

(Formule di Gauss-Green Teorema (Formule di Gauss-Green o di Green-Riemann) Sia A un dominio regolare, di frontiera ∂A =  = 0 + 1 + .. + k positivamente orientata e siano X(x,y) e Y(x,y)

continue su A  ∂A insieme con le loro derivate Xy(x,y) e Yy(x,y). Allora si ha X ( x , y ) d = - + g i ò k å ¶ A òò Y ( x , y ) d = + g i ò k å ¶ A òò

ò òò ( Y - X ) d = + Dimostreremo la formula in un caso ¶ A ò òò Dimostreremo la formula in un caso semplificato, nel quale A è un dominio normale rispetto all’asse x Sia dunque A = {(x,y) : a ≤ x ≤ b, h(x) ≤ y ≤ k(x)} con h(x) e k(x) di classe C1([a,b])

òò ò X ( x , ) d = ò X ( x , k )) - h ) d = Allora y ( x , ) d = h k ò a b A òò X ( x , k )) - h ) d = a b ò +¶ A Si è tenuto conto che dx è nullo lungo i lati verticali

A h(x) k(x) a b

In modo analogo si dimostra la seconda formula; la terza è la somma delle due precedenti e una simmetrizzazione delle stesse. Osserviamo che quanto abbiamo dimostrato è il primo passo per una dimostrazione completa del teorema come l’abbiamo enunciato. Tuttavia i metodi per giungere a una dimostrazione rigorosa della formula travalicano le nostre possibilità e gli scopi di questo corso

È interessante l’applicazione della formula precedente al calcolo di aree piane. Sia  una curva piana generalmente regolare semplice chiusa che forma il bordo del dominio A. Poiché la costante 1 è la derivata rispetto a x di x o rispetto a y di y

m ( A ) = d x y - +¶ ò òò 1 2 ( x d y - ) +¶ A ò La formula è particolarmente utile quando si conoscono le equazioni parametriche di  = +∂A.

1) Si calcoli l’area dell’ellisse di semiassi a e b Esempi 1) Si calcoli l’area dell’ellisse di semiassi a e b L’equazione parametrica dell’ellisse è x= a cos t, y = b sen t 0 ≤ t ≤ 2π m ( A ) = d x y a b cos 2 t p ò +¶ òò = πab

x = t ( - 1 ) y )( 2 Î R ì í î ï 2) Si calcoli l’area racchiusa dal cappio del “folium Cartesii”, d’equazioni x = t ( - 1 ) y )( 2 Î R ì í î ï Il cappio si ottiene prendendo 0 ≤ t ≤ 1

Si vuole calcolare x ( t ) ¢ y d = 6 4 - 12 3 + 7 2 1 30 ò

Il “foglio di Cartesio”

(FORME DIFFERENZIALI) CAMPI VETTORIALI (FORME DIFFERENZIALI)

Supponiamo che ad ogni punto di un aperto A contenuto in R3 (R2) sia assegnato un vettore F di R3 (R2). Diremo che in A è assegnato un campo vettoriale: F = (F1,F2,F3)T Se invece, in ogni punto di A è assegnato il valore di una funzione f(x,y,z) diremo che abbiamo a che fare con un campo scalare

Nella Fisica abbondano gli esempi di campi vettoriali (campo di velocità in un fluido, campo elettrico o magnetico o campo gravitazionale nel piano o nello spazio) e di campi scalari (pressione, densità o temperatura in un fluido o in un corpo piano o solido) In Matematica si preferisce parlare invece di forme differenziali lineari in R2 o in R3 o semplicemente di funzioni (forme di grado 0)

ò F , t d s = ( )), ¢ ) Useremo il linguaggio della Fisica, formalmente più semplice. Dato il campo vettoriale F in R3 sappiamo che cosa significa F , t g ò d s = ( )), ¢ ) 1 che, nel caso F sia una forza, dà il lavoro di F per lo spostamento lungo .

Un campo vettoriale F su A si dice conservativo se esiste una funzione U(x,y,z) definita sull’aperto A, tale che F = grad U =  U La funzione U(x,y,z) si dice un potenziale di F. Si noti che se U(x,y,z) è un potenziale, anche U(x,y,z) + costante è un potenziale

Sia F un campo conservativo Teorema Sia F un campo conservativo continuo su un aperto A  Rm e  : [a,b]  Rm una curva regolare con (I)  A, allora per ogni x, y  A l’integrale di linea

ò F , t d s = U(y) - U(x) ò F , t d s = ¢ x ( ) + g ò d s = U(y) - U(x) dipende solo da x e y Infatti F , t g ò d s = 1 ¢ x ( ) + 2 3

ò = U ( t ), , ) ¢ + d = U(y) - U(x), come si doveva dimostrare ò d = 1 ( t ), 2 , 3 ) ¢ + ò d d = t 1 ò U ( x ), 2 3 ) g )) - = U(y) - U(x), come si doveva dimostrare

Sia F un campo vettoriale Teorema Sia F un campo vettoriale continuo su un aperto connesso A  Rm . Allora F è conservativo se e solo se, per ogni per ogni x, y  A e per ogni 1 e 2

ò F , t d s = congiungenti x con y è 2 ò 1 Se F è conservativo, per il teorema precedente la proprietà vale. Mostriamo che vale il viceversa; per semplicità ci ambientiamo in R2

ò U ( x , ) = F t d s Se x0 è un punto arbitrario di A, definiamo 1 , 2 ) = F t g ò d s essendo  un qualsiasi cammino congiungente x0 con x. Se x’ = (x1+h, x2)T e  è il segmento congiungente x con x’, si ha

¶ U x = F ( , ) con 0 ≤  ≤ 1. Per la continuità del campo, se h  0 ò + h , 2 ) - = F t d s ò = 1 h F ò ( x + t , 2 ) d con 0 ≤  ≤ 1. Per la continuità del campo, se h  0 ¶ U x 1 = F ( , 2 )

Analogamente si valuta la derivata rispetto a x2 Si trova poi che

Sia F un campo vettoriale Corollario Sia F un campo vettoriale continuo su un aperto connesso A  Rm . Allora F è conservativo se e solo se, per ogni curva gen. regolare chiusa  è

ò F , t d s = 0 Se F è un campo vettoriale di classe g ò Se F è un campo vettoriale di classe C1(A) diremo rotore di F, rot F =  F il seguente vettore

r o t F = e 1 2 3 ¶ x = e 1 ( ¶ F 3 x 2 - ) +

Un campo vettoriale F di classe C1(A) si dice irrotazionale se rot F = 0 È banale osservare che ogni campo conservativo di classe C1(A) è irrotazionale Se A è connesso e semplicemente connesso, si può dimostrare che la condizione di irrotazionalità è anche sufficiente.