LICEO SCIENTIFICO G. ASELLI Progetto Coniche LICEO SCIENTIFICO G. ASELLI Classe 3°E ANNO SCOLASTICO 2005-2006 GRUPPO 3: Livio Cortellini, Marco Denti, Michele Manzini, Alessandro Zurlini LE CONICHE SECONDO MENECMO

LA BIOGRAFIA DI MENECMO Non si sa molto sulla vita di Menecmo, il matematico greco che per primo scoprì le sezioni coniche. Data di nascita: 380 a.C. circa Vissuto in Asia Minore Discepolo di Eudosso Amico di Platone Maestro di Alessandro Magno Ritiene che per imparare la geometria ci sia un’unica strada sia per i re sia per i cittadini comuni Data di morte: 320 a.C. circa

LA STORIA DELLE CONICHE Menecmo pensava che le coniche si ottenessero come intersezione di un cono circolare retto con un piano perpendicolare alla generatrice del cono con angolo variabile Alla fine del III secolo a.C. Apollonio osservò che bastava variare l’inclinazione del piano di sezione per ottenere i vari tipi di coniche Lo studio delle coniche fu seguito da secoli di silenzio Queste curve generarono interesse nel Rinascimento quando furono utilizzate per: I movimenti dei pianeti (Keplero) Le traiettorie dei proiettili (Galileo) Le coordinate geometriche (Cartesio e Fermat) Le proiezioni geometriche (Desargues, La Hire e Pascal) Lo studio dei proiettili (Newton)

LA TEORIA DI MENECMO (ED EUCLIDE) Menecmo ha utilizzato solo coni retti (l’asse è perpendicolare alla base) I coni sono tagliati con piani perpendicolari alla generatrice e sono ottenuti con la rotazione attorno a un cateto Cono acutangolo: OXITOME (ellisse) Cono rettangolo: ORTOTOME (parabola) Cono ottusangolo: AMBLYTOME (iperbole) La teoria di Menecmo fu ripresa e integrata con l’ausilio del famoso matematico Euclide, noto per i suoi teoremi

MENECMO APOLLONIO

OXITOME (ELLISSE) Se il triangolo per l’asse è isoscele e acutangolo, si ottiene l'oxitome.

ORTOTOME (PARABOLA) Se il triangolo per l’asse è isoscele e rettangolo, si ottiene l'ortotome.

AMBLYTOME (IPERBOLE) Se il triangolo per l’asse è isoscele e ottusangolo, si ottiene l‘amblytome.

1. Enciclopedia Motta – Federico Motta Editore, Milano (2° Edizione) BIBLIOGRAFIA 1. Enciclopedia Motta – Federico Motta Editore, Milano (2° Edizione) 2. La sintopedia – Istituto Editoriale Moderno, Milano ENCICLOPEDIE MULTIMEDIALI 1. MSN Encarta 2. Omnia 2000 SITOGRAFIA http://www.rappresentazione.net/migliari/Lezioni/AA_2000_2001/Sezioni_coniche/Sezioni_coniche.htm http://www.liguria.lafragola.kataweb.it/genova/superiori/calvino/section76862.html http://www.electroportal.net/vis_resource.php?section=artcorso&id=68 http://www.provincia.parma.it/~ssrondan/coniche/Xah/Conicsections/conicSections.html http://www.provincia.parma.it/~ssrondan/coniche/storia/storia.htm http://www.provincia.parma.it/~ssrondan/coniche/storia/menecmo.htm http://www.provincia.parma.it/~ssrondan/coniche/generale/index.htm http://www.museo.unimo.it/labmat/menec.htm http://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/the_sez1.htm http://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/con1_01.htm http://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/002ogg.htm http://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/001ogg.htm http://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/003ogg.htm http://www.etimo.it/?term=ellissi http://www.etimo.it/?term=parabola http://www.etimo.it/?term=iperbole

DIMOSTRAZIONE OXITOME Nel piano di base: 1)DE : EC = EC : EF, quindi: EC2 = DE·EF Nel piano del triangolo per l'asse: DAE simile IFE per il 1° criterio di similitudine, quindi: 2) DE : EI = AE : EF, cioè 3) EC2 = DE·EF = EI·AE HGA simile IFE per il 1° criterio di similitudine, quindi: 4) IE : HA = EF : AG Nel piano del triangolo per l'asse si ha: LFE simile LGA per il 1° criterio di similitudine, quindi: 5) EF : AG = EL : AL. Confrontando la 4) e la 5), per la proprietà transitiva, si ha 6) EI : AH = EL : AL. Scambiando i medi: 7) EI : EL = AH : AL. Si moltiplichi per AE al primo membro: 8) (EI·AE) : (EL·AE) = AH : AL. Ma AH = 2AN e, tenendo conto della 3) si ha: 9) EC2 : (EL·AE) = 2AN : AL. Tutti questi segmenti stanno nel piano della sezione.Nel piano della sezione introduciamo un sistema di riferimento cartesiano con origine A e asse x su AL. Poniamo: AE = x, EC = y, AL = 2a, AN = p (parametro).La 9) si può scrivere: 10) y2 : (2a-x)x = 2p : 2a (equaz. dell'oxitome)

DIMOSTRAZIONE ORTOTOME Si opera in tre piani: il piano del triangolo per l'asse; il piano di base; il piano della sezione (per ABC). Nel piano di base, per il 2° teorema di Euclide: CE2 = DE·EF. Nel piano del triangolo per l'asse, i triangoli DAE e VHA sono simili per il 1° criterio di similitudine, quindi: DE:AE=AV:AH cioè DE:AE=2AV:2AH ma 2AH=AI=EF e AV=AG (parametro) e quindi:DE:AE=2AV:EF cioè DE·EF = AE·2AV. Segue che CE2 = AE·2AV. Posti CE=y , AE=x , AV=p , nel piano della sezione si ha l'equazione classica della ortotome: y2=2px

DIMOSTRAZIONE AMBLYTOME Nel piano di base: 1) DE : EC = EC : EF, quindi: ED·EF = EC2. Nel piano del triangolo per l'asse 2) DAE simile MFE per il 1° criterio di similitudine, quindi: DE : EM = AE : EF, cioè 3) EC2 = ED·EF = EM·AE. 4) IGA simile MFE per il 1° criterio di similitudine, quindi: EM : AI = EF : AG. 5) LFE simile LGA per il 1° criterio di similitudine, quindi: EF : AG = EL : AL. Confrontando la 4) e la 5) (per la proprietà transitiva) si ha: 6) EM : AI = EL : AL. Scambiamo i medi: 7) EM : EL = AI : AL. Moltiplichiamo per AE al primo membro: 8) (EM·AE) : (EL·AE) = AI : AL. Ma AI = 2AN e, tenendo conto della 3), si ha: 9) EC2 : (EL·AE) = 2AN : AL. Tutti questi segmenti stanno sul piano della sezione. In questo piano introduciamo un sistema di riferimento cartesiano con origine A e asse x su AL (da L verso A). Poniamo: AE = x, EC = y, LA = 2a, AN = p (parametro). La 9) si può scrivere: y2 : (2a+x) = 2p : 2a (equazione dell'amblytome).