SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI 25/03/2017 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI di un Polinomio Programma svolto al primo anno del liceo artistico 2009/2010 da Cotroni Grazia Un relatore si trova spesso a dover esporre dati tecnici a un pubblico composto da persone che non conoscono l'argomento o la terminologia specifica. È possibile che l'argomento trattato sia complesso e ricco di dettagli che ne appesantiscono l'esposizione. Per presentare in modo efficace argomenti di questo tipo, seguire le indicazioni fornite da questo modello della Dale Carnegie Training®.   Considerare la quantità di tempo a disposizione e organizzare il materiale di conseguenza. Circoscrivere l’argomento da esporre. Suddividere la presentazione in sezioni specifiche. Seguire un ordine logico. Incentrare la spiegazione sull'argomento principale. Chiudere la presentazione con un riepilogo, la ripetizione dei punti chiave o una conclusione logica. Mantenere sempre l’attenzione rivolta agli spettatori, accertandosi che i dati siano chiari e le informazioni rilevanti. Mantenere un livello di argomentazione e terminologia appropriato per gli spettatori. Utilizzare supporti visivi per illustrare i punti chiave. Dimostrare interesse per gli spettatori per conquistarne l’attenzione.

Che cosa significa “scomposizione”? Scomporre un polinomio significa esprimerlo sotto forma di prodotto di polinomi di grado inferiore

Come faccio a scomporre in fattori un polinomio? 25/03/2017 Come faccio a scomporre in fattori un polinomio? Spiegare l'importanza dell'argomento per gli spettatori. Fornire una breve panoramica della presentazione trasmettendone l'importanza al pubblico. Al momento di scegliere la terminologia, gli esempi e le illustrazioni, prendere in considerazione l'interesse e la conoscenza che gli spettatori dimostrano per l’argomento. Sottolineare l’importanza dell'argomento per gli spettatori, in modo da conquistarne l'attenzione.

Ripassiamo i prodotti notevoli 25/03/2017 Ripassiamo i prodotti notevoli NOME TIPO SVILUPPO Quadrato di un binomio ( a + b )2 a2 + 2ab + b2 Somma per differenza ( a + b ) ( a – b ) a2 – b2 PROSEGUIAMO

25/03/2017 PRIMA DI TUTTO… Vedo se c’è da raccogliere un fattore comune fra tutti i monomi, cioè faccio il: RACCOGLIMENTO TOTALE Spiegare l'importanza dell'argomento per gli spettatori. Fornire una breve panoramica della presentazione trasmettendone l'importanza al pubblico. Al momento di scegliere la terminologia, gli esempi e le illustrazioni, prendere in considerazione l'interesse e la conoscenza che gli spettatori dimostrano per l’argomento. Sottolineare l’importanza dell'argomento per gli spettatori, in modo da conquistarne l'attenzione.

Racccoglimento a fattor comune o raccoglimento totale Quando tutti i termini di un polinomio hanno un divisore comune, questo può essere messo in evidenza. In generale si cerca di prendere come fattore comune il M.C.D. fra i termini in modo da mettere in evidenza tutto ciò che è possibile. In questo modo si esegue una scomposizione del polinomio perché lo si scrive come prodotto di due fattori. Es. ax + ay + az = a(x + y + z) Es. 15 x2y – 9xy2 + 3xy = 3xy(5x – 3y + 1) Es. x(a+b) - 2a(a+b) +3y(a+b)=(a+b)(x – 2a + 3y) in questo caso i coefficienti sono tutti divisibili per 3 poi tutti hanno la x e la y in questo caso tutti hanno in comune la stessa parentesi (a+b) ritorna

RACCOGLIMENTO TOTALE: raccolgo l’ M.C.D. dei monomi 25/03/2017 RACCOGLIMENTO TOTALE: raccolgo l’ M.C.D. dei monomi 3a2b - 5a3b4 + a4b6 = a2b ( 3 - 5ab3 + 4a2b5 )

Raccoglimento parziale A volte non è possibile eseguire un raccoglimento a fattor comune perché non c’è un divisore comune a tutti i monomi. In alcuni casi, però, ci si può ricondurre a una situazione di questo tipo eseguendo prima dei raccoglimenti con gruppi di monomi. Es. 2a + 2b + ax + bx I primi due monomi hanno in comune 2 che si può mettere in evidenza, mentre gli altri due hanno in comune x, per cui 2(a + b) + x(a + b) E poiché le due parentesi sono uguali, tale espressione si può mettere in evidenza, raccogliendo a fattor comune (a + b)(2 + x) Quindi 2a + 2b + ax + bx = 2(a + b) + x(a + b) = (a + b)(2 + x)

RACCOGLIMENTO PARZIALE 25/03/2017 RACCOGLIMENTO PARZIALE 10a3b + 2xb - 5a3 – x = 5a3 ( b – 1 ) + 2x ( b - 1) = ( b – 1 )( 5a3 + 2x )

25/03/2017 ALTRIMENTI Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed eventualmente cerco di riconoscervi qualche prodotto notevole BINOMIO Spiegare l'importanza dell'argomento per gli spettatori. Fornire una breve panoramica della presentazione trasmettendone l'importanza al pubblico. Al momento di scegliere la terminologia, gli esempi e le illustrazioni, prendere in considerazione l'interesse e la conoscenza che gli spettatori dimostrano per l’argomento. Sottolineare l’importanza dell'argomento per gli spettatori, in modo da conquistarne l'attenzione. TRINOMIO

Binomi Differenza di due quadrati A2 – B2 = (A-B)(A+B) Somma di due quadrati A2 + B2 : è indecomponibile

Differenza di due quadrati Se un binomio è costituito dalla differenza di due monomi, o di due espressioni, che sono dei quadrati, per scomporlo basta individuare le basi dei due quadrati ed indicare il prodotto della loro somma per la loro differenza. Es. x2 – 4y2 Basi:(x) (2y) si scompone come somma per differenza quindi x2 – 4y2 = (x + 2y)(x – 2y) Es. 25x4 – 16y6 (5x2) (4y3) Quindi 25x4 – 16y6 = (5x2 + 4y3)(5x2 - 4y3)

Trinomi Sviluppo del quadrato di un binomio : A2±2AB+B2 = (A±B) 2 Trinomio particolare di secondo grado: b1) primo tipo: x2 + sx + p = (x +a )( x+b ) dove s = a+b e p= ab ; es. x2 – 5x +6 = ( x-2 )( x-3 ) infatti è -5 =-2-3 e +6 = (-2)(-3) b2) secondo tipo: ax2 +bx + c dove b = m+n e ac=mn. Il polinomio si scrive a x2 +mx + nx +c quindi si applica il raccoglimento parziale. Es 3x2 -7x +4 = 3 x2 -3x -4x+4= 3x(x-1) -4(x-1) = raccogliamo (x-1) e abbiamo (x-1)(3x-4);

Questo termine non scompare, va dentro il quadrato! Quadrato di un binomio è un trinomio formato da: due quadrati e dal doppio prodotto delle basi 16a4 + b2 - 8a2b = (4a2 - b)2 Es. 4x2 – 12xy + 9y2 = basi: (2x) (3y) Quindi 4x2 – 12xy + 9y2 = (2x – 3y)2 Questo termine non scompare, va dentro il quadrato!

Trinomio particolare primo tipo Un polinomio di tre termini ordinato secondo le potenze di una certa lettera che ha: Grado due rispetto a quella lettera Coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1 Coefficiente del termine di primo grado che può essere espresso come somma di due numeri a e b Termine noto uguale al prodotto degli stessi numeri a e b quindi del tipo: x2 + (a+b)x + ab= si scompone come (x + a)(x + b) Infatti è x2 + (a+b)x + ab = x2 + ax + bx + ab = x(x+a) + b(x+a) = (x + a)(x + b)

Esempio trinomio primo tipo Esercizio: x2 -5x + 6= Cerco due numeri che moltiplicati danno +6 e sommati danno +5. Parto dal prodotto e considero tutte le possibilità Una volta trovati i due numeri scriverò al posto del -5 x2 +(-3-2)x+6= x2 -3x-2x + 6= e farò il raccoglimento parziale x(x-3)-2(x–3)= (x-3)(x-2) +6·+1 -6 ·-1 +3 ·+2 -3·-2

Trinomio particolare secondo tipo Un polinomio di tre termini ordinato secondo le potenze di una certa lettera che ha: Grado due rispetto a quella lettera Coefficiente del termine di primo grado che può essere espresso come somma di due numeri Il termine noto per il coefficiente del termine di grado massimo uguale al prodotto degli stessi numeri quindi del tipo: ax2 +bx + c dove b = m+n e ac=mn. Il polinomio si scrive a x2 +mx + nx +c quindi si applica il raccoglimento parziale.

Trinomio particolare secondo tipo Es 3x2 -7x +4 = devo trovare due numeri che moltiplicati danno +12 e sommati danno -7. Scrivo tutte le possibilità 3x2 -3x -4x+4= 3x(x-1) -4(x-1) = raccogliamo (x-1) e abbiamo (x-1)(3x-4); +12· +1 -12 · -1 +6 · +2 -6 · -2 -3 · -4 +3 · +4

Riassunto programma svolto sulla scomposizione Binomio Differenza di quadrati a2 – b2 Somma di quadrati a2 + b2 Trinomio Sviluppo quadrato di un binomio a2 +2ab+ b2 oppure a2 -2ab+ b2 Trinomio particolare x2 + (a+b)x + ab= oppure ax2 +bx + c Quadrinomio vedi se c’è un raccoglimento parziale

25/03/2017 ED ORA AL LAVORO!!!