CORRELAZIONE (AUTO e CROSS) DECONVOLUZIONE MODELLO CONVOLUZIONALE DEGLI STRATI ATTENUAZIONE MULTIPLE PRIMARIE

AUTOCORRELAZIONE E CROSS - CORRELAZIONE Il grado di similitudine tra due funzioni f1(t) ed f2(t) può essere misurato moltiplicando le due funzioni tra loro e integrando il risultato. Se le due funzioni hanno fasi molto diverse risulterà un numero negativo, ma se vogliamo una informazione connessa con la forma dei segnali converrà ripetere la moltiplicazione e l’integrazione dopo avere shiftato un segnale rispetto all’altro di un particolare shift temporale. Questa operazione si chiama Cross – Correlazione: Se f1 = f2 = f la misura di similarità di f rispetto a se stessa si chiama A(t) = Autocorrelazione Ovviamente, la funzione di A avrà valore massimo a tempo di shift uguale a 0, ma se Il segnale ha spiccate periodicità, la funzione di A mostrerà dei massimi a shift Temporali uguali a questi periodi. La trasformata di Fourier della funzione di Aautocorrelazione è la potenza spettrale del segnale stesso

La convoluzione: La convoluzione è strutturalmente simile alla correlazione sono diverse per il segno – di f1 x Sistema(f2)

AUTOCORRELAZIONE E CROSS - CORRELAZIONE Esempi convoluzione/cross - correlazione Date le sequenze a e b In Matlab: a=[2 2 2 2 2]; b=[3 3 3 ]; c=conv(a,b) c = 6 12 18 18 18 12 6 figure(1) plot(c) stem(c) hold Current plot held c=xcorr(a,b) c = Columns 1 through 6 4.4409e-016 4.4409e-016 6.0000e+000 1.2000e+001 1.8000e+001 1.8000e+001 Columns 7 through 9 1.8000e+001 1.2000e+001 6.0000e+000 figure(2) plot(c) hold Current plot held stem(c)

DECONVOLUZIONE Se la sorgente fosse un pulso ideale, una serie di pulsi riflessi molto stretti sarebbero ricevuti dalle varie discontinuità di impedenza del sottosuolo. Si è precedentemente visto che le sorgenti reali danno segnali complessi, che saranno riflessi a ciascuna interfaccia. Questa struttura dei segnali tenderà ad oscurare la registrazione dei treni d’onda provenienti dalle varie riflessioni. Possiamo considerare la forma d’onda riflessa ricevuta come la convoluzione della forma d’onda di ingresso con la risposta all’impulso del sottosuolo. Per riottenere la risposta alla forma d’onda ideale potremo “de-convolvere”

Tale deconvoluzione equivale a trovare un filtro che opera sulla forma d’onda della sorgente e la trasforma in un singolo pulso (filtro inverso). Un filtro, come abbiamo visto, è un sistema nel quale avviene la convoluzione tra il segnale d’ingresso e la risposta all’impulso del filtro. Nel caso dei segnali sismici reali più che funzioni analogiche, si opera su sequenze numeriche, che sono la rappresentazione dei segnali elaborati dai computer. Qui useremo una rappresentazione simbolica compatta. Obiettivo: Progettare un operatore D (filtro numerico) che, quando viene convoluto, con il segnale S produce un singolo impulso d: D*S=d * operatore di convoluzione Il segnale riflesso osservato R sarà la convoluzione della risposta del sottosuolo (earth) all’impulso E (insieme dei segnali riflessi) con il segnale sorgente: R=E*S S R E

Quindi se si applica l’operatore D al segnale osservato (ricevuto) si ha: D * R = D * E * S = E * D * S = E * d = E (Risposta del suolo) Dove abbiamo sfruttato la proprietà commutativa della convoluzione ed anche il fatto che la convoluzione di un segnale con l’impulso dà il segnale stesso. Qundi: Se progettiamo un operatore D che riesca a collassare il segnale sorgente in un singolo pulso, possiamo applicarlo al segnale riflesso per rimuovere gli effetti della forma del segnale estraendo così la vera risposta del sottosuolo. Cerchiamo quindi il migliore operatore, in senso statistico, di lunghezza finita, che minimizzi lo scarto quadratico medio tra il segnale ideale e quello ottenuto. Tale operatore è dato dalla soluzione del set di equazioni: J = 0, 1………….n jxx = funzione di autocorrelazione di ingrasso ft = coefficienti dell’operatore convoluzione jxz = cross-correlazione tra ingresso e uscita idelale

Nel seguito della presentazione troviamo il procedimento analitico per la determinazione dell’ operatore (filtro inverso) che applicato al segnale emesso (wavelet source reale o firma) riesce a collassarlo in un pulso ideale ( diverso da zero solo in un punto). Ora daremo solo la parte applicativa:Supponiamo di avere un wavelet source WS definito dalla sequenza di valori WS= [0 7 -3 1] ; vedi Nota Supponiamo di aver ottenuto, con il procedimento statistico (minimi quadrati), riportato nelle pagine seguenti l’ operatore D=[0.145 0.062 0.008]; v.Nota Eseguendo ora la convoluzione di D con WS otteniamo il WI ideale: WI=D*WS ovvero: WI=conv(D,WS); v Nota, WI= 0 1.0150e+000 -1.0000e-003 1.5000e-002 3.8000e-002 8.0000e-003 Nota:le espressioni in colore possono essere incollate in Matlab ed eseguite in linea.I comandi per eseguire i grafici Per ottenere i grafici; figure(1);plot(WS); hold;stem(WS);figure(2);plot(WI);hold;stem(WI)

Tenendo conto che la funzione di autocorrelazione è di tipo pari Supponiamo di voler calcolare un operatore di lunghezza 2 (n=1), il cui effetto sia per quanto possibile una spike (impulso) nell’origine. Tenendo conto che la funzione di autocorrelazione è di tipo pari Avremo quindi: Esempio numerico: una forma d’onda (7, -3, 1) che può essere assimilata ad un segnale reale: 7 1 1 3 t Calcoliamo i valori dell’autocorrelazione jxx (0) = 7 x 7 + (-3) x (-3)+1 x 1 = 59 jxx (1) = 7x (-3) +(-3 x 1) = -24 jxx (2) = 7 x 1 = 7 Sostituendo nel sistema: +59 f0 -24 f1 = 7 f0 = 0.142 -24 f0 +59 f1 = 0 f1 = 0.058

Cosicché l’operatore richiesto è (0. 142, 0 Cosicché l’operatore richiesto è (0.142, 0.058), che produce una forma d’onda in uscita: D = (0.142, 0.058) S = (7, -3, 1) d = 1,0,0,0,0 Eseguendo la convoluzione abbiamo: t = 0 7 x 0,142 = 0,99 t = 1 (-3) x 0.142 +7 x 0.058 = 0.02 t = 2 (1) x 0.142 +(-3) x 0.058 = 0,03 t = 3 (1) x 0.058 = 0.06 Che è una buona approssimazione dell’impulso. Teniamo conto che: La convoluzione è y = A*B n = 0, 1, 2, 3, 4…

t=0 t=1 t=3 n = 0, 1, 2, 3, 4… t=2 b0 b1 b2 =a0b0 a1 a0 =a1b0 + a0b1 a1 a0 =a1b1 + a0b2 a1 a0 = a1b2 a1 a0

Se scegliessimo un operatore di lunghezza 3 invece che 2, riusciremmo a concentrare meglio l’energia in una singola spike, avremmo le seguenti equazioni: +59 f0 -24 f1 +7 f2 = 7 -24 f0 +59 f1 -24 f2 = 7 +7 f0 -24 f1 +59 f2 = 7 D= (0.145, 0.062, 0.008) L’effetto di questo operatore sulla forma d’onda è: D*S = (1.015, 0.015, 0.038, 0.008) Quindi conoscendo la forma d’onda della sorgente possiamo trovare un opportuno operatore che, applicato alle tracce sismiche, ci fornisce la migliore risoluzione, cioè la risposta dell’impulso. Risulta quindi necessario conoscere la funzione di autocorrelazione del segnale sorgente. Ma considerato che la sequenza dei coefficienti di riflessione di un suolo stratificato può essere considerata random e che il rumore può essere trascurato (rapporto segnale – rumore molto grande), la funzione di autocorrelazione della generica traccia (segnale di uscita) è uguale alla funzione di autocorrelazione del segnale sorgente. In realtà, a causa delle modificazioni che il segnale ha nell’attraversamento degli strati, quali l’assorbimento delle alte frequenze, sarà necessario calcolare la funzione di autocorrelazione a tratti lungo la traccia sismica.

TRASFORMATA DI FOURIER, LAPLACE E TRASFORMATA Z Esiste se If(t)I è integrabile(vincolo importante) TRASFORMATA DI LAPLACE s = o + jw La e-rt va abbastanza velocemente a 0 per cui: Quasi tutti i segnali fisici soddisfano la precedente relazione.

Valida per IzI > R e stabile per R<1 e con TRASFORMATA Z Nel discreto, cioè nel caso di segnali campionati uniformemente, che sono quindi costituiti da sequenze di numeri è applicata la trasformata Z: Valida per IzI > R e stabile per R<1 e con Una sequenza: [xn] = [x0, x1, …………………. XM] Ha come trasformata Z:

MULTIPLE PRINCIPALI, SECONDARIE E GOST su TRACCE SISMICHE I problemi che possono risolvere con la deconvoluzione sono anche: 1) GHOSTS superficie ghost ricevitore sorgente ghost diretto diretto Il segnale ghost (fantasma) è uguale al segnale utile, nella forma, può avere quasi la stessa intensità e fase invertita r wair= 1 rwbottom = -1 ed un ritardo che può essere: al minimo 2 per distanza ricevitore - superficie, al massimo quest’ultima più 2 volte distanza sorgente superficie. Per distanze intendiamo i percorsi ottici dei raggi. I segnali ghost si possono eliminare sia con una regolazione geometrica, cioè portando la sorgente ed il ricevitore quasi in superficie ovvero con un filtraggio, sia silenziando il ricevitore per un tempo opportuno.

Multipla primaria Multipla secondaria

2) MULTIPLE PRIMARIE La multipla si genera da una seconda riflessione B -1 S A -1 superficie -r r2 -r2 mare r r fondo Ricordiamo che A e B coincidono e che i raggi sono inclinati solo per comodità di visualizzazione, poiché in realtà sono verticali. Nelle registrazioni le multiple s riconoscono perché sono posizionate ad una profondità, che è esattamente il doppio di quella dell’eco diretta ed inoltre, le pendenze sono raddoppiate. Per fondali profondi le multiple sono stampate al di sotto del segnale utile, ma nel caso di bassi fondali, sono sovrapposte al segnale e tendono a mascherarlo. Anche le multiple posso essere filtrate, ovviamente non con un filtro tradizionale (di banda), perché esso eliminerebbe anche il segnale utile, ma con uno numerico. 3)MULTIPLE SECONDARIE Piu difficili da eliminare ma piu’ deboli.

Eliminazione delle multiple tramite operatore DT Anche in questo caso se vogliamo tralasciare teoria e formalismi possiamo affrontare in modo speditivo il problema (Jones ,pag85). Calcoliamo la risposta all’ impulso dello strato d’ acqua compreso tra aria e fondale . Consideriamo che la sequenza WT dei valori ottenuti dall’ idrofono e quindi dal registratore (dopo conversione A/D) supponendo che il coefficiente di riflessione acqua-aria e’ -1, quello acqua-fondale è r e la prima riflessione ha ampiezza A (arbitraria).I coefficienti sono 1 impulso primario, 2 prima multipla di riflessione, 3 seconda multipla etc.,l’ intervallo di tempo tra i due segnali è il tempo di andata ritorno attraverso lo strato d’ acqua. WT=[ (A) (-2*A*r) (3*A*r^2) (-4*A*r^3) (5*A*r^4)]; La sequenza inversa di WT ha solo elementi diversi da zero: DT=[ (1) (2*r) (r^2)]; convolvendo le due sequenze: T=DT*WT=[A 0 0 0 0]; ovvero in Matlab : T=conv(DT,WT); con A=1: T=[1 0 0 0 0 0 0];

L’approccio nel dominio del tempo é utile sia quando il sistema e descritto in termini di equazioni differenziali sia quando ne è definita la risposta impulsiva. In particolare é utile la descrizione temporale nei casi in cui i dati sperimentali sono rappresentati da serie temporali, cioè dalle tracce sismiche in cui l’ordinata é il segnale trasdotto dal rivelatore e l'ascissa il tempo (discretizzato nei sistemi di acquisizione digitali). Il modello convoluzionale del suolo consiste nel considerare che il sismogramma registrato sia la convoluzione dei segnale sorgente sn, con la risposta all’impulso unitario del terreno hn, più un termine di rumore o disturbo d(t). Si ammettono per solito le ipotesi di cui in appresso: a) il processo sismico (attraversamento di uno o più strati di suolo con riflessioni, soddisfa la teoria di propagazione delle onde elastiche nei mezzi isotropi ed omogenei, senza perdite e non dispersivi e quindi con conservazione della forma durante Ia propagazione stessa. b) alla rappresentazione continua del segnale (1) che tiene conto delle successive riflessioni di energia alle varie discontinuità, si sostituisce quella convertita in digitale (sequenza numerica} nel rispetto del teorema del campionamento. Sara allora t = k Dt essendo Dt il tempo di Campionamento o tempo tra due campioni successivi e k = 1, 2, 3, …..

c) Il ritardo in tempo tn può essere rappresentato da un multiplo intero di Dt. Cosicchè tn =nDt; n = 0, 1, 2, … per cui la 1 si sostituisce con la seguente: (2) definendo e la kDt = k, la 15 diviene: Il sismogramma (yk) inteso come sequenza numerica è la convolzione del segnale sorgente (sk) con la risposta all’impulso del terreno (hk) più il rumore (dk) dk = rumore hk = risposta all’impulso del sist. Acqua-Fondale sk xk Yk = sismogramma + sorgente Fig 3 – schematizzazione corrispondente alla la convolzione del segnale sorgente (sk) con la risposta all’impulso del terreno (hk) più il rumore (dk)

Tralasciamo la presenza del rumore e consideriamo il modello matematico di suolo costituito da un solo strato omogeneo ed isotropo (acqua) tra l’aria e il bedrock yk = xk , fig. 3 Sorgente / rilevatore Aria z00 r0=1 Acqua z01 = r1v1 Fig 3 H1 r t1 Fig 3 Suolo z02 = r2v2 ri = densità dello strato (i = 1, 2, ….); Vi = velocità di propagazione (onde r e s) nello strato(i = 1, 2, ….); ri = coefficiente di riflessione all’interfaccia strato acqua – fondale (sedimento – roccia); r0 = coefficiente di riflessione all’interfaccia tra aria e lo strato di acqua; ti = coefficiente di trasmissione 1+r1; H = spessore dello strato; ri, r0, ti, sono numeri reali e Ir0I e IriI <=1 mentre ItiI <=2.

Supponendo di applicare come sorgente sk un impulso dk, avremo al rilevatore della fig 5, nel quale i percorsi sono rappresentati inclinati solo per chiarezza, la situazione in appresso indicata. ritardo 2tn 4tn 6tn r0 r0 r0 riv. = xk Sorgente S k=dk r1 r1 r1 r1 Fig. 5 La situazione è quindi la medesima della fig. 4 cioè incidenza normale.. Considerando che t n = nDt è il tempo di attraversamento dello strato H, ed si ha essendo r0=-1 (4) Per cui il comportamento del suolo può essere descritto da una struttura di ritardi e somme.

Eseguendo la trasformata di Laplace z che consente una agevole rappresentazione simbolica dei ritardi convolutivi, si ottiene: (5) Se r0 = +1 come si verifica per le vibrazioni se il mezzo superiore è l’aria, posto 2n=h si ha: (6) La (18) è operativamente equivalente alla struttura riportata in fig 6, corrispondente ad un filtro generalizzato di tipo FIR (Finite Impulse Response) non ricorsivo (la trasf. z di dk è 1) 1 z-h z-h z-h r1 r12 r13 X(z) + +

La funzione X(z) rappresenta la risposta all’impulso del sistema suolo La funzione X(z) rappresenta la risposta all’impulso del sistema suolo. Ponendo in evidenza r1z si ottiene: (7) serie di potenze in r1 ed in z. Se ora invece dell’impulso unitario si considera come sorgente un generico segnale sk si avrà: (8) Trasformando nel dominio delle Z abbiamo ovvero X(z) = S(z) H(z) ; H(z) = “risposta Z”

Poiché G1 è negativo IG1I<1, posto G = IG1I; G1 = -G1 abbiamo: Poiché la somma della serie: è abbiamo quindi Noi vorremmo eliminare tutti i contributi dovuti alla riverberazione che corrispondono a lasciare solo , infatti la risposta ideale sarebbe:

(A) ; la reale è (B) Cerchiamo un operatore F(z) tale che F(z) X(z) = X’(z) Dividendo membro a membro (A) e (B) Quindi l’operatore cercato è