1 12 aprile 2005 Approximate Dynamic Factor Models: sviluppi della teoria e applicazioni – parte prima Andrea Brasili Strategie e Studi – UniCredit Banca dImpresa

2 12 aprile 2005 Indice Stock-Watson papers on diffusion indexes Empirical application: inflation or IP forecasts Determining the number of factors: Bai-Ng Empirical application: common and local/industrial components A digression: the EM algorithm Primi cenni: principal components in the frequency domain

3 12 aprile 2005 Dynamic factor model Cè una crescente letteratura che cerca di rispondere alla questione di come riassumere le informazioni contenute in cross section ampie. Due metodologie: Stock e Watson (1999) componenti principali statiche Forni Hallin Lippi Reichlin (1999) componenti principali dinamiche

4 12 aprile 2005 Dynamic factor model Si tratta sostanzialmente di riassumere linformazione contenuta nelle serie disponibili in uno spazio più piccolo. Favero Marcellino (2003) mostrano che non vi sono differenze di performance sostanziali tra i due approcci quando lo scopo è generare un indicatore a scopo previsivo (es. Forecasting inflation SW 1999)

5 12 aprile 2005 Dynamic factor model X t = ΛF t + e t di dimensioni (N*T) = (N*r) * (r*T) + (r*T) Con la finalità di prevedere Y t+1 = βF t + ε t+1

6 12 aprile 2005 Dynamic factor model II Per la stima è necessario risolvere questo problema di ottimizzazione: V(k) = min(NT) -1 Σ N i=1 Σ T t=1 (X it – λ k i F k t ) 2 s.t. Λ k Λ k /N = I k or F k F k /T = I k

7 12 aprile 2005 Dynamic factor model III La matrice dei fattori stimati è uguale a T che moltiplica i k più grandi autovalori di XX. Stimata F, Λ sarà data semplicemente da V(k) = max tr(F k (XX)F k ) … concentrating out Λ k this is equal to Λ = (F k F k ) -1 F k X

8 12 aprile 2005 Dynamic factor model IV X t = Common t + idiosync t X t = ΛF t + e t Questo, seguendo SW 1999, ricomprende la più generale rappresentazione in cui F 0 t = (f t, f t-1 ….. f t-q ) Tenendo presente che in ogni caso i fattori non sono identificati, cioè vale X t = ΛGGF t + e t dove GG = I

9 12 aprile 2005 Dynamic factor model II y h t+h = β 0 + Σ m j=1 β 0 F t-j+1 + Σ p j=1 βγ j z t-j+1 + ε h t+h Four differences rispetto alla slide 5: dependent variable in h-step growth; lags of z (lagged transformed values of the variable of interest); there is an intercept; m-i lags of Ft (the estimated factors) are introduced.

10 12 aprile 2005 Riferimenti bibliografici J. Bai, S. Ng, (2002), Determining the number of factors in approximate factor models, Econometrica, Vol. 70, N 1, pp J. H. Stock, M.W. Watson, (1989), New indexes of coincident and leading economic indicators, NBER macroeconomics Annual, 4, pp ; J. H. Stock, M.W. Watson, (1999), Diffusion indexes, NBER WP 6702 J. H. Stock, M.W. Watson, (1999), Forecasting inflation, Journal of monetary economics 44. pp J. H. Stock, M.W. Watson, (2004), Forecasting with many predictors, prepared for the Handbook of economic forecasting Camacho M. and I. Sancho (2003) Spanish diffusion indexes, Spanish economic review, Vol. 5, No. 3, 2003, pp Angelini E., J Henry, R. Mestre (2001) Diffusion index-based forecasts for the euro area, ECB Working Paper num. 61, April 2001.

11 12 aprile 2005 Applicazione 1: la previsione dellinflazione o della produzione industriale

12 12 aprile 2005 Data set Prezzi...altro

13 12 aprile 2005 Data set Per un totale di 73 serie, dal 1991:2 al 2005:1 (wow! very up-to-date!). I dati sono a frequenza mensile e il campione è balanced, completo, non ci sono NA. N<T ma sono entrambi abbastanza grandi (with respect to empirical applications in literature).

14 12 aprile 2005 Bai and Ng criteria Per determinare il numero di fattori da utilizzare è ormai consolidato lutilizzo dei criteri di Bai ed Ng. Questi sono basati sulla formulazione di una funzione di penalty che introduca un costo per loverfitting, nellipotesi (certa) che un modello con k+1 fattori non possa adattarsi ai dati meno bene di uno con k. Due famiglie di criteri, PCp (panel Cp criteria) ICp (information Cp criteria)

15 12 aprile 2005 Bai and Ng criteria PCp (panel Cp criteria) ICp (information Cp criteria) PC(k) = V(k,F est k )+kg(N,T) PCp1(k) = V(k,Fest k )+kσest(kmax) 2 ((N+T)/NT)ln(NT/(N+T)) ICp1(k) = ln(V(k,Fest k ))+k((N+T)/NT)ln(NT/(N+T))

16 12 aprile 2005 Bai and Ng criteria

17 12 aprile 2005 applicazione 1 Quanta varianza spiegano i fattori comuni? Cosa accade utilizzando più lags delle variabili nel data set? A quali serie sono legati i fattori? Come si formula il modello previsivo?

18 12 aprile 2005 Matlab E-views

19 12 aprile 2005

20 12 aprile 2005

21 12 aprile 2005

22 12 aprile 2005 Applicazione 2: estrazione di componenti comuni e componenti nazionali da un indicatore di rischiosità

23 12 aprile 2005 How to disentangle common and idiosyncratic components Where Y is our cross section of n elements (regional activity indicators, or industry-specific indicators, or firms balance sheet data) And F are the common factors (r << n)

24 12 aprile 2005 Co-movements in EU banks fragility: a dynamic factor model approach Andrea Brasili – Giuseppe Vulpes UniCredit Banca dImpresa Research Department 1 st ICEEE Venice January 2005

25 12 aprile 2005 Riferimenti bibliografici Forni M. and L. Reichlin (1998) Lets Get Real: A Dynamic Factor Analytic Approach to Disaggregated Business Cycle, Review of Economic Studies, 65, pp Forni M. and L. Reichlin (2001) Federal Policies and Local Economies: Europe and the US, European Economic Review 45 pp Forni M., M. Hallin, M. Lippi and L. Reichlin (2000) The Generalised Dynamic Factor Model: Identification and Estimation, The Review of economics and statistics 82 pp Pain D. and J. Vesala (2004) Driving factors of credit risk in Europe, mimeo, European Central Bank Vulpes and Brasili

26 12 aprile 2005 Applicazione 3: estrazione di componenti comuni e componenti locali/settoriali

27 12 aprile 2005 SECTORIAL ANALYSIS The role of the European, Sectorial, National and Idiosyncratic components in the New Europe industrial sector dynamics

28 12 aprile 2005 A digression: the EM algorithm

29 12 aprile 2005 EM algorithm Nel caso di variabili mancanti o serie incomplete, se si dispone cioè di un panel non bilanciato, la stima diviene: V (F, Λ) = min(NT) -1 Σ N i=1 Σ T t=1 I it (X it – λ k i F k t ) 2 dove I it = 1 se Xit è osservato, 0 altrimenti. La J-esima iterazione è calcolata come Q(X,F j-1,Λ j-1,F,Λ) = E F j-1,Λ j-1 [V (F, Λ)|X ]