di Pasquale Infantino VA Metodo di Newton di Pasquale Infantino VA

In matematica e più specificamente in analisi numerica, il metodo delle tangenti, chiamato anche metodo di Newton, è uno dei metodi per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma f(x)=0

Esso si applica dopo avere aver dimostrato che la funzione è definita e continua in un intervallo [a;b], e che f(a) e f(b) sono discordi , che f ’’ (x) esista e che in (a;b) la funzione è sempre positiva o sempre negativa.

Sotto tali ipotesi l’ equazione deve avere un'unica soluzione in (a;b). Nel disegno accanto la funzione y = f(x) attraversa l'asse delle x vicino ad x0. Del punto P0 dobbiamo essere in grado di calcolare il valore della funzione f(x0) e della derivata f'(x0)

Dal punto P0 si può ora tracciare la tangente alla curva; tale tangente incontrerà l'asse delle ascisse per un valore di x che è la prima approssimazione della soluzione cercata.

La tangente avrà per coefficiente angolare il valore della derivata in P0, f'(x0). Utilizzando l'equazione della retta generica (o fascio di rette) per P0: y-y0 = m(x-x0), sostituendo m con f'(x0) e imponendo y = 0 si ha: y0 = f'(x0)(x-x0)

A questo punto si risolve rispetto alla x e si ha con facili passaggi: x(0) = x(0) –[y0/ f'(x0)] Ricordando che y0 = f(x0) si avrà: x = x(0) – [f(x0)/f'(x0)] Il procedimento si può iterare, calcolando il valore y = f(x), tracciando la tangente per questo nuovo punto e così via . In generale, chiamando x(n) l'ennesima approssimazione e x(n+1) quella successiva si ha la classica formula di Newton: x(n+1) = x(n) – [f(xn)/f'(xn)]

Il procedimento è convergente, nel senso che fissato un margine di errore piccolo quanto si vuole, si troverà sempre una approssimazione per la quale l'errore è minore di tale margine. Con l’ uso congiunto del metodo delle tangenti e delle secanti si determina un’ approssimazione per difetto e una per eccesso della soluzione così si dispone un intervallo di indeterminazione e di sicura valutazione dell’ errore

Bibliografia Nuovi elementi di matematica (Ghisetti e Corvi editori) http://www.liceofoscarini.it/didattic/numerici/equazioni/newton.html