HALLIDAY - capitolo 7 problema 11 Una slitta col suo carico, di massa complessiva 85kg, al termine di una discesa imbocca una pista dritta e orizzontale con velocità di 37m/s. Rallenta fino a fermarsi con accelerazione costante di modulo 2,0m/s2. Calcolare: il modulo della forza F richiesta per ottenere questa accelerazione; la distanza d percorsa fino all’arresto; il lavoro L compiuto sulla slitta dalla forza frenante F. Ripetere i calcoli nel caso di rallentamento con accelerazione di modulo 4,0m/s2. F x d

Modulo della forza: Lavoro compiuto dalla forza F: Variazione di energia cinetica: Se l’accelerazione raddoppia, raddoppia anche F e si dimezza d; il lavoro invece rimane invariato e pari alla variazione di energia cinetica della slitta (che è sempre la stessa)

HALLIDAY - capitolo 7 problema 34 Un blocco di massa 250g è lasciato cadere su una molla verticale avente costante elastica k=2,5N/cm. Il blocco rimane appoggiato sulla molla, che si comprime di 12cm prima di arrestarsi momentaneamente. Durante la compressione della molla, quale lavoro viene svolto dalla forza di gravità relativa al blocco e dalla molla? Quale era la velocità del blocco subito prima di toccare la molla? Trascurate l’attrito. Se si raddoppia la velocità di impatto, quale diventa la massima compressione della molla? y

Posizione iniziale: yA=0, velocità del blocco = v (incognita) Posizione finale: yB= -0,12m, velocità del blocco = 0 Lavoro della forza peso: Lavoro della forza elastica: Teorema dell’energia cinetica: Se v=7,0m/s, calcoliamo yB (deve essere yB<0):

HALLIDAY - capitolo 7 problema 35 Un blocco di ghiaccio di massa 45kg scivola giù per un piano inclinato lungo 1,5m per un dislivello di 0,91m. Uno scaricatore preme dal basso contro il blocco con una forza parallela al piano inclinato in modo da obbligarlo a scendere con velocità costante. Trovate la forza esercitata dallo scaricatore. Trovate il lavoro sviluppato sul blocco di ghiaccio dallo scaricatore, dalla forza di gravità agente sul blocco, dalla forza normale esercitata dal piano sul blocco e dalla forza risultante applicata al blocco. P N F x y θ h=0,91m L=1,5m θ

Applicando la prima legge di Newton: Lavoro dello scaricatore: Lavoro della forza di gravità: La reazione normale non compie lavoro perchè è diretta ortogonalmente allo spostamento: Lavoro totale:

HALLIDAY - capitolo 7 problema 46 Una cassa di massa 230kg è sospesa all’estremità di una fune lunga 12,0m. Spingendo orizzontalmente sulla cassa con una forza variabile F, la spostiamo di 4,00m sul piano orizzontale. Qual è l’intensità di F quando la cassa raggiunge la posizione finale? Quali sono, durante lo spostamento della cassa, il lavoro totale fatto su di essa, il lavoro fatto dal peso proprio della cassa e il lavoro fatto sulla cassa dal tiro della fune? Quale è il lavoro da noi svolto sulla cassa? Perchè questo lavoro non è uguale al prodotto dello spostamento orizzontale per l’intensità di F trovata al primo punto? L=12,0m d=4,00m F

Nella posizione finale, la cassa è in quiete, e vale la prima legge di Newton: L=12,0m d=4,00m F θ P T θ x y Dalla trigonometria:

Lavoro totale sulla cassa: (Kin=0 e Kfin=0 perchè la cassa sia all’inizio che alla fine è ferma) La tensione non compie lavoro perchè è sempre ortogonale allo spostamento: L=12,0m d=4,00m Lavoro della forza peso: hin hfin Lavoro della forza F:

HALLIDAY - capitolo 8 problema 13 Un’autocisterna di massa 1,2·104kg, fuori controllo per un guasto ai freni, sta scendendo a precipizio alla velocità di 130km/h. Fortunatamente, vicino alla fine della discesa c’è una rampa di emergenza in contropendenza (priva però di attrito) con inclinazione θ=15°. Quale deve essere la sua lunghezza minima per essere certi che riesca ad arrestare la cisterna? La lunghezza minima aumenta, diminuisce o resta uguale se l’autocisterna ha massa minore? e se la sua velocità è inferiore?

1. L’autocisterna è in fondo alla discesa con velocità v=36,1m/s 2. L’autocisterna arriva in cima alla rampa e si ferma (v=0) Conservazione dell’energia meccanica: La lunghezza di arresto non dipende dalla massa del camion Diminuendo la velocità, la lunghezza di arresto diminuisce col quadrato della velocità (se la velocità si dimezza, la lunghezza di arresto diventa 1/4 di quella iniziale)

il blocco è lasciato cadere da un’altezza h con velocità nulla HALLIDAY - capitolo 8 problema 16 Un blocco di massa m=2,0kg cade da un’altezza h=40cm su una molla avente costante k=1960N/m. Trovare la massima lunghezza di compressione della molla. y=0 y h x il blocco è lasciato cadere da un’altezza h con velocità nulla la molla è alla massima compressione x: il blocco è fermo

Conservazione dell’energia meccanica: La soluzione positiva è il valore di x richiesto dal problema La soluzione negativa rappresenta l’allungamento della molla nella fase di risalita successiva alla compressione

HALLIDAY - capitolo 8 problema 18 Tarzan, che pesa 688N, salta da una roccia appeso a una provvidenziale liana lunga 18m. Dall’alto della roccia al punto più basso della sua oscillazione cala di 3,2m. La liana è soggetta a rompersi se la tensione su di essa supera 950N. Arriverà a rompersi? Se sì, indicare a quale angolo rispetto alla verticale si rompe. Se no, calcolare la massima tensione che deve sopportare.

θ0 L=18m h=3,2m y L-h La posizione di Tarzan è individuata dall’angolo θ che la liana forma con la verticale. Posizione iniziale (angolo θ0):

θ L=18m y Lcosθ L(1-cosθ) Posizione finale (angolo θ): Conservazione dell’energia meccanica:

θ L=18m Forza centripeta: T P Sostituendo il valore della velocità ricavato in precedenza: θ

La liana si rompe se la tensione, in almeno un punto, supera il valore di rottura T0=950N Il massimo valore della tensione viene raggiunto quando cosθ=1, cioè in corrispondenza della verticale (θ=0) ed è: Poichè Tmax<T0 la liana non si romperà Se fosse stato Tmax>T0, allora l’angolo di rottura della liana si sarebbe calcolato imponendo la condizione T(θ)=T0

HALLIDAY - capitolo 8 problema 21 Uno sciatore di massa 60kg parte da fermo da un’altezza H=20m rispetto al culmine del trampolino di salto. Allo stacco dal trampolino la sua direzione forma un angolo θ=28° con il piano orizzontale. Trascuriamo l’attrito e la resistenza dell’aria. Quanto varrà la massima altezza h raggiunta rispetto al punto di stacco? Aumenta, diminuisce o resta invariata se lo sciatore ripete il salto con un pesante zaino?

lo sciatore parte da fermo dall’altezza H lo sciatore arriva alla base del trampolino con velocità v lo sciatore è nel punto di altezza massima h con velocità vx Conservazione dell’energia meccanica tra 1 e 2: Componente orizzontale della velocità nel moto parabolico: Conservazione dell’energia meccanica tra 2 e 3: Il valore di h non dipende dalla massa dello sciatore.

HALLIDAY - capitolo 8 problema 30 Un ragazzo è seduto sulla cima del blocco di ghiaccio semisferico di raggio R=13,8m della figura. Comincia a scivolare in giù con velocità trascurabile. Se il ghiaccio è privo di attrito, a che altezza dal suolo si staccherà dal ghiaccio? N P θ Forza centripeta: Reazione normale:

Il ragazzo si stacca dal ghiaccio quando N=0: Conservazione dell’energia meccanica tra l’istante di partenza e l’istante in cui avviene il distacco: Sostituendo il valore di v2 nella prima equazione: Altezza a cui avviene il distacco:

HALLIDAY - capitolo 8 problema 38 In figura vediamo un blocco che scivola lungo una pista da un livello a un altro livello più elevato, attraversando un avvallamento intermedio. La pista è priva di attrito fino a che si giunge al livello maggiore, dove invece esiste una forza di attrito che arresta il blocco dopo una distanza d. Trovate d sapendo che la velocità iniziale è v0=6,0m/s, la differenza di quota è h=1,1m e il coefficiente di attrito dinamico è μd=0,60.

Il blocco parte dalla posizione iniziale con velocità v0 Il blocco si arresta dopo il tratto orizzontale d Variazione di energia meccanica: Reazione normale nel tratto orizzontale: Forza di attrito dinamico: Lavoro della forza di attrito:

HALLIDAY - capitolo 8 problema 42 Una scatola di biscotti si sta muovendo su un piano inclinato di 40°. In un punto del piano a 55cm dall’estremità inferiore ha una velocità di 1,4m/s. Il coefficiente di attrito dinamico tra scatola e piano è 0,15. Di quanto salirà ancora sul piano inclinato? Che velocità avrà la scatola quando sarà ridiscesa ai piedi del piano inclinato? Se il coefficiente di attrito fosse minore, i valori delle risposte precedenti aumenterebbero, diminuirebbero o resterebbero uguali? lmax=? l0=55cm θ lmaxsinθ l0sinθ

la scatola parte dall’altezza l0sinθ con velocità v0=1,4m/s la scatola arriva all’altezza lmaxsinθ con velocità nulla Variazione di energia meccanica: P N fad θ θ Reazione normale: Attrito dinamico: Lavoro della forza di attrito:

Dall’equazione di variazione dell’energia meccanica si ha: Se il coefficiente d’attrito è minore, il valore di lmax è maggiore

la scatola parte dall’altezza lmaxsinθ con velocità nulla la scatola arriva ad altezza nulla con velocità v Variazione di energia meccanica: La forza d’attrito durante la discesa è in modulo pari al caso precedente (N non cambia), ma diretta in verso opposto

Come varia v con μd ? La risposta non è banale... Per rispondere occorre scrivere l’espressione esatta di v, sostituendo l’espressione di lmax in termini di μd