Le competenze nella didattica della matematica … e le conoscenze?

Alcune proposte didattiche Il metodo Ocse -Pisa Rapporto tra conoscenze e competenze: alcune riflessioni Alcune proposte didattiche Il metodo Ocse -Pisa 1 2 3

MATEMATICA SENZA FRONTIERE (prova di accoglienza) Esercizio 13 (10 punti) Zorro è qui ! In un triangolo rettangolo i cui lati misurano 20 cm, 16 cm, 12 cm Don Diego de la Vega traccia una Z con la punta della sua spada; scompone così il triangolo in 4 triangoli equivalenti. La sua Z è una linea spezzata formata da 3 segmenti le cui estremità sono situate sui lati o sui vertici del triangolo rettangolo. Presentare tre soluzioni per questa partizione. Per ogni soluzione precisare la posizione sui lati del triangolo rettangolo dei quattro punti formanti la Z.

Di cosa c’è bisogno? Conoscenze sulla similitudine Capacità di applicarle Una certa mentalità combinatoria

Definizioni QEQ 2007 Conoscenze: indicano il risultato dell’assimilazione di informazioni attraverso l’apprendimento. Le conoscenze sono l’insieme di fatti, principi, teorie e pratiche, relative a un settore di studio o di lavoro. Le conoscenze sono descritte come teoriche o pratiche.

Definizioni QEQ 2007 Abilità: indicano la capacità di applicare conoscenze e di usare know-how per portare a termine compiti e risolvere problemi. Le abilità sono descritte come cognitive (uso del pensiero logico, intuitivo o creativo), e pratiche (che implicano l’abilità manuale e l’uso di metodi, materiali, strumenti)

Definizioni QEQ 2007 Competenza: “comprovata capacità di usare conoscenze, abilità e capacità personali, sociali e/o metodologiche, in situazioni di lavoro o di studio e nello sviluppo professionale e/o personale; le competenze sono descritte in termini di responsabilità e autonomia.”

Per esemplificare Saper usare spazzolone e detersivo per tenere pulito un ambiente è un compito, un risultato atteso esito di conoscenze (quale detersivo utilizzare per pulire il pavimento) e abilità (saper usare lo spazzolone …); garantire l’igiene e la pulizia di un ambiente è una competenza, che implica un livello di responsabilità, la capacità di giudicare il momento e il modo di intervenire, un certo grado di sensibilità per l’ordine, in cui abilità e conoscenze sono elementi necessari ma non sufficienti.

Dalla scheda di presentazione del Corso: Il corso ha come primo obiettivo una doverosa introduzione ad esse (competenze), ma non vorrebbe limitarsi a questo; un’analisi ancora iniziale del termine competenze suggerisce utili riflessioni sull’esperienza di insegnamento-apprendimento: la competenza non come ultima moda a cui adeguarsi controvoglia, ma occasione per considerare con attenzione il vissuto quotidiano in classe.

(Per questo) Ci sono conoscenze morte, meccaniche E conoscenze attive (competenze) S Ronchi

Un esempio: la somma di frazioni Conoscenza (sapere come si fa e perché) Abilità (saper calcolare agilmente) Competenze (utilizzare in contesti più ampi: frazioni algebriche)

Un esempio: la somma di frazioni Ancora…. Somme di coefficienti binomiali Integrazione di funzioni razionali fratte: Trovare due numeri A e B tali che:

Convegno di Frascati (marzo 1999): “Definire le competenze per la scuola dell’autonomia” “Le competenze si esplicano come utilizzazione e padroneggiamento delle conoscenze. Si supera in tal modo la tradizionale separazione tra sapere e saper fare: ogni acquisizione teorica contiene e stimola implicazioni pratiche e ogni abilità pratica presume e sollecita implicazioni teoriche.”

L’errore può essere una opportunità! Quali conoscenze sono attive? A quale livello è posseduta la competenza richiesta?

Esempio: determinare il dominio della funzione Tutto bene: studio dei segni dei fattori, grafico riassuntivo corretto. Conclusione: la quantità sotto radice è positiva o nulla per , “ma essendo la funzione sotto radice si devono escludere i valori negativi” quindi la soluzione è:

Altro esempio: IL PROBLEMA DELLO ZERO Dagli errori degli studenti si capisce quale è la “conoscenza attiva” dello zero Es.1 : ax2+bx=0 Δ=b2-4a ( c non c’è!) Es.2 : nella divisione tra polinomi o nella regola di Ruffini, il problema dei termini mancanti

Provo a interpretare La “conoscenza attiva” dello zero in questi errori è quella di un numero che indica che “non c’è niente”. Deve evolvere la consapevolezza dello 0 come operatore, come elemento assorbente, consapevolezza necessaria per la risoluzione delle equazioni, per l’uso critico delle semplificazioni

Convegno di Frascati (marzo 1999): “Definire le competenze per la scuola dell’autonomia” Le competenze si configurano altresì come strutture mentali capaci di trasferire la loro valenza in diversi campi, generando così dinamicamente anche una spirale di altre conoscenze e competenze. Una specifica competenza disciplinare comporta infatti anche l’acquisizione di una forma mentis (ad esempio "saper risolvere un problema") utilizzabile nelle più diverse situazioni. In quanto tali, le competenze favoriscono la connessione in termini dialetticamente calibrati della propria duplice dimensione disciplinare e trasversale.

ESEMPIO: il concetto di funzione L’ utilizzo della matematica nella fisica rivela che spesso le conoscenze sono “morte” Quando si studiano i moti e le loro leggi orarie emerge con chiarezza il problema relativo al concetto di funzione; ad esempio c’è difficoltà ad utilizzare s=vt+s0 senza sostituire a t un valore: l’espressione matematica deve dare un risultato! COSA DEVE MATURARE?

L’esperienza del concetto di funzione Si potrebbe dire: L’esperienza del concetto di funzione

Fare esperienza in matematica Fare esperienza della matematica

LA MATEMATICA COME REINVENZIONE GUIDATA Hans Freudenthal LA MATEMATICA COME REINVENZIONE GUIDATA

«Il valore che si attribuisce ai discenti come esseri umani determina il modo in cui ci si aspetta che essi imparino la loro matematica: con libertà oppure da schiavi, guidati oppure imbrigliati. (Da «Ripensando l’educazione matematica » di Hans Freudenthal )

«Il fare matematica è essenzialmente una attività «Il fare matematica è essenzialmente una attività. Il discente deve reinventare il fare matematica piuttosto che la matematica; l’azione di astrarre piuttosto che le astrazioni; il formalizzare piuttosto che costruire delle formule; il costruire algoritmi piuttosto che gli algoritmi; il parlare piuttosto che il linguaggio…… » (Da «Ripensando l’educazione matematica » di Hans Freudenthal )

L’introduzione delle funzioni goniometriche UN TENTATIVO L’introduzione delle funzioni goniometriche

funzioni goniometriche Dalla similitudine dei triangoli alle funzioni goniometriche

, VAI A CABRI

Diamo i nomi VAI A CABRI

PIANO CARTESIANO E se l’angolo è ottuso? Come fare per generalizzare? Quale “ambiente” permette una maggiore libertà? Si possono IMMAGINARE angoli maggiori dell’angolo giro, angoli negativi? PIANO CARTESIANO

VAI A CABRI

…… E pian piano cresce l’esperienza dell’ “oggetto mentale”funzione. ……. E al momento opportuno, preparato con altre “esperienze” il passaggio alle funzioni inverse è meno traumatico.

E’ una competenza da sviluppare all’interno della stessa matematica Dall’ Allegato A “Il profilo culturale, educativo e professionale dei Licei” “… Essere consapevoli della diversità dei metodi utilizzati dai vari ambiti disciplinari ed essere in grado valutare i criteri di affidabilità dei risultati in essi raggiunti. “ E’ una competenza da sviluppare all’interno della stessa matematica

Esempio: luoghi geometrici (Lavoro di gruppo) Data una circonferenza e un suo punto A, determinare il luogo dei punti medi delle corde della circonferenza che hanno un estremo in A Vai a Cabri

Un esempio di didattica laboratoriale

Dal piano M@t.abel A una donna ricoverata in ospedale, viene fatta un’iniezione di 300 milligrammi (300mg) di penicillina alle 8.00 del mattino. L’organismo della donna smaltisce gradualmente la penicillina in modo che, un’ora dopo l’iniezione, solo il 60% della penicillina è ancora presente nel suo corpo. Questo processo continua: al termine di ogni ora è ancora presente solo il 60% della penicillina che si trovava nel corpo alla fine dell’ora precedente.

Completare manualmente una tabella Si chiede di analizzare la quantità di medicinale presente nel corpo della donna al passare del tempo con due attività complementari ora Penicillina presente nel corpo (mg.) 8.00 300 9.00 180 10.00 108 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 19.00 20.00 21.00 22.00 23.00 24.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 Completare manualmente una tabella Costruire un foglio Excel e all’interno di esso un grafico

Da qui …… Progressioni aritmetiche e geometriche Forme ricorsive (Pascal) Funzione esponenziale …….

Una studentessa si è prodotta una distorsione al ginocchio e il suo dottore le ha prescritto un farmaco anti - infiammatorio per ridurre il gonfiore. Deve prendere due pastiglie da 220 mg ogni 8 ore per 10 giorni. Il suo corpo, ogni 8 ore, riesce a smaltire il 60% di questo farmaco.  a) Qual è il valore massimo del farmaco presente nel corpo della studentessa dopo 3 giorni? E dopo 4 giorni? E dopo 10 giorni?  b) Cercate di studiare l’evoluzione della quantità massima di farmaco presente nel corpo al variare del tempo; in particolare, cercate di capire che cosa accadrebbe se la studentessa continuasse a prendere il farmaco per molto tempo, supponendo che la sua capacità di smaltirlo rimanga invariata. Pensate che la quantità del farmaco nel suo organismo aumenterebbe sempre? Oppure no? 

L’INDAGINE OCSE-PISA

METODO DI OCSE-PISA COMPETENZA MATEMATICA ELENCO DELLE COMPETENZE Connessione Riproduzione LIVELLI Riflessione

COMPETENZE : INDAGINI OCSE PISA Competenza matematica è la capacità di un individuo di identificare e comprendere il ruolo che la matematica gioca nel mondo reale, di operare valutazioni fondate e di utilizzare la matematica e confrontarsi con essa in modi che rispondono alle esigenze della vita di quell’individuo in quanto cittadino che esercita un ruolo costruttivo, impegnato e basato sulla riflessione

Pensiero e ragionamento Argomentazione Comunicazione Modellizzazione LE COMPETENZE   Pensiero e ragionamento Argomentazione Comunicazione Modellizzazione Formulazione e risoluzione di problemi Rappresentazione Uso del linguaggio simbolico, formale e tecnico delle operazioni Uso di sussidi e strumenti

Queste competenze possono essere possedute a diversi livelli di padronanza e non possono essere valutate separatamente una dall’altra in quanto, quando si utilizza la matematica, è necessario attingere contemporaneamente a più di una competenza per volta.

Per questo motivo, il Quadro di riferimento distingue tre diversi raggruppamenti di competenze: Riproduzione   Connessione Riflessione

Il raggruppamento della Riproduzione: le competenze di tale raggruppamento consistono nella riproduzione di conoscenze note, nell’applicazione di algoritmi standard, nell’esecuzione di procedure di routine, sempre all’interno di ambiti familiari.

Il raggruppamento delle Connessioni: le competenze di tale raggruppamento richiedono di saper integrare e mettere in connessione elementi che fanno parte di diverse aree di contenuto, saper collegare diverse rappresentazioni di un problema, all’interno di situazioni che non sono più di semplice routine.

Il raggruppamento della Riflessione: le competenze di tale raggruppamento si basano su elementi di riflessione da parte degli studenti sui procedimenti utilizzati per risolvere un problema, sulla capacità di saper sviluppare strategie, utilizzando abilità logiche e di ragionamento e sull’applicazione di tali strategie in ambiti problematici più complessi e meno familiari rispetto ai raggruppamenti precedenti.

CONFRONTI: ESEMPIO 1 RIPRODUZIONE CONNESSIONE Pensiero e ragionamento. Questa competenza consiste: nel formulare domande di base (Quanti sono?”, “Quanto fa…?”) e nel comprendere le rispettive risposte (“Sono tanti…” “Fa tot…”); nel distinguere tra definizioni ed asserzioni; nel comprendere e manipolare concetti matematici nel tipo di contesto in cui sono stati originariamente introdotti o in cui sono stati successivamente esercitati . Pensiero e ragionamento. Questa competenza consiste nel formulare domande (“Come trovo?”, “A quale matematica devo ricorrere per…?”) e nel comprendere le relative risposte (che sono fornite per mezzo di tabelle, grafici, espressioni algebriche, figure ecc.), nel distinguere tra definizioni ed asserzioni e fra diversi tipi di asserzione, nel comprendere e manipolare concetti matematici in contesti un po’ diversi da quelli in cui sono stati originariamente introdotti o nei quali sono stati successivamente esercitati.

CONFRONTI: ESEMPIO 2 CONNESSIONE RIFLESSIONE Argomentazione. Questa competenza consiste nel formulare semplici ragionamenti di carattere matematico distinguendo fra dimostrazioni e forme più articolate di argomentazione o di ragionamento, nel creare catene di ragionamenti matematici di diverso tipo e nel valutarne la validità; nel far ricorso all’euristica (“Che cosa può o non può accadere?”, “Quale può essere il caso? E perché?”, “Che cosa sappiamo e che cosa vogliamo ottenere?”, “Quali fra le proprietà sono essenziali?”, “In che relazione si pongono gli oggetti?”). Argomentazione. Questa competenza consiste nel formulare semplici ragionamenti a carattere matematico senza distinguere fra dimostrazioni e forme più articolate di argomentazione o di ragionamento, nel seguire catene di ragionamenti matematici di diverso tipo e nel valutarne la validità; nell’avere un’idea dell’euristica (“Che cosa può o non può accadere? E perché?”, “Che cosa sappiamo e che cosa vogliamo ottenere?”).

Diagramma dei raggruppamenti di competenze Raggruppamento della riproduzione Raggruppamento delle connessioni riflessione • Rappresentazioni e definizioni standard • Calcoli di routine • Procedure di routine • Analisi e soluzione di problemi di routine • Modellizzazione • Analisi e soluzione di problemi standard, traduzione e interpretazione • Uso di molteplici metodi ben definiti • Formulazione, analisi e soluzione di problemi complessi • Riflessione e intuizione • Approccio matematico creativo • Uso di molteplici metodi complessi • Generalizzazione

La scala di competenza matematica Le competenze possono essere possedute a diversi livelli di padronanza per cui i quesiti del PISA sono costruiti in modo tale da permettere di rilevare le differenti prestazioni richieste nei vari livelli. (Tabella ).

PROPOSTA DI LAVORO Completare, in itinere, la seguente tabella: la riflessione “in corso d’opera” diventa un patrimonio da giocare anno dopo anno

Pensiero e ragionamento Argomentazione Comunicazione Modellizzazione competenze Pensiero e ragionamento Argomentazione Comunicazione Modellizzazione Formulazione e risoluzione di problemi Rappresentazione Uso del linguaggio simbolico, formale e tecnico delle operazioni Uso di sussidi e strumenti Geometria analitica Disequazioni algebriche Goniometria (Funzioni, equazioni, disequazioni) Trigonometria (problemi) Matrici e sistemi lineari Probabilità e statistica Insiemi numerici Geometria solida Logaritmi ed esponenziali Analisi matematica Analisi numerica Geometrie non Euclidee