I numeri naturali 0 1 2 3 4 5 6 7….. Definizione e caratteristiche I numeri naturali sono quelli che formano l’elenco illimitato e a tutti noto 0 1 2 3 4 5 6 7….. L’insieme N si può rappresentare su una semiretta orientata, cioè una semiretta sulla quale sia fissato un verso di percorrenza. Scelto un segmento a di lunghezza arbitraria, a partire dall’origine della semiretta lo riportiamo su di essa consecutivamente in modo da posizionare i numeri naturali sulla semiretta stessa: a 1 2 3 4 5 6 7 8 9

I numeri naturali Ordinamento a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Dalla rappresentazione grafica possiamo dedurre l’ordinamento di N: Diciamo che a è minore di b, e scriviamo a < b, se il punto corrispondente ad a viene prima del punto corrispondente a b sulla semiretta. Diciamo che a è maggiore di b, e scriviamo a > b, se il punto corrispondente ad a segue il punto corrispondente a b sulla semiretta.

a + b = c I numeri naturali Operazioni Dati due numeri naturali a e b, il numero c = a + b è il numero naturale che si ottiene contando b unità verso destra a partire da a: 3 + 6 = 9 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a + b = c L’operazione introdotta si chiama ADDIZIONE. addendi somma L’addizione è un’operazione interna ad N perche la somma di due numeri naturali è sempre un numero naturale. L’addizione è commutativa, cioè a + b = b + a L’addizione è associativa, cioè (a + b) + c = a + (b + c)

a − b = c I numeri naturali Operazioni Dati due numeri naturali a e b, il numero c = a − b, se esiste, è il numero che addizionato a b dà a: 9 − 4 = 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a − b = c L’operazione introdotta si chiama SOTTRAZIONE. minuendo sottraendo differenza Il numero c può non esistere (la sottrazione non è un’operazione interna a N) 5 − 7 = ? 1 2 3 4 5 La sottrazione è possibile solo se a ≥ b 1 2 3 4 5 6 7 8 9

I numeri naturali a – b = (a + k) – (b + k) = (a − k) – (b − k) Operazioni La sottrazione non è né commutativa né associativa La sottrazione gode della proprietà invariantiva: la differenza tra due numeri a e b non cambia se ad entrambi si aggiunge o si toglie uno stesso numero: a – b = (a + k) – (b + k) = (a − k) – (b − k) con a ≥ k e b ≥ k

a  b = c I numeri naturali a  b sgnifica a + a + … + a Operazioni Una moltiplicazione tra numeri naturali è un modo abbreviato di scrivere una somma di addendi tutti uguali tra loro: a  b sgnifica a + a + … + a b volte a  b = c fattori prodotto 2  4 = 8 1 volta 2 volte 3 volte 4 volte 1 2 3 4 5 6 7 8 9 L’operazione di moltiplicazione ci porta alla definizione di multiplo: Si dice che un numero naturale a è multiplo di un numero naturale b secondo n se a = b  n. Per esempio: poiché 5  4 = 20 20 è multiplo di 5 secondo 4 ma anche 20 è multiplo di 4 secondo 5

( a ± b)  c = (a  c) ± (b  c) e c  (a ± b) = c  a ± c  b I numeri naturali Operazioni La moltiplicazione gode delle stesse proprietà dell’addizione: è commutativa, cioè a  b = b  a è associativa, cioè (a  b)  c = a  (b  c) Vale inoltre la seguente proprietà: proprietà distributiva rispetto all’addizione e, quando è possibile, alla sottrazione: ( a ± b)  c = (a  c) ± (b  c) e c  (a ± b) = c  a ± c  b ESEMPI (2 + 5)  4 = (2  4) + (5  4) = 8 + 20 = 28 6  (8 – 5) = 6  8 – 6  5 = 48 – 30 = 18

a : b = c I numeri naturali a : b = c se e solo se c  b = a Operazioni Dati due numeri naturali a e b, con b ≠ 0, il numero c = a : b, se esiste, è il numero che, moltiplicato per b, è uguale ad a: a : b = c se e solo se c  b = a a : b = c L’operazione definita si chiama DIVISIONE. dividendo divisore quoziente Il numero c può non esistere, per esempio: 15 : 4 = ? Perché non esiste un numero naturale che, moltiplicato per 4, dà come prodotto 15. L’esistenza di c è garantita solo se a è multiplo di b, da cui deriva che la divisione non è un’operazione interna a N.

I numeri naturali Operazioni La divisione non è né commutativa, né associativa. La divisione gode delle seguenti proprietà: proprietà invariantiva: il quoziente tra due numeri a e b non cambia se entrambi vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero non nullo. a : b = (a  k) : (b  k) Per esempio: 12 : 4 = (12  5) : (4  5) = 60 : 20 = 3 a : b = (a : h) : (b : h) Per esempio: 180 : 45 = (180 : 9) : (45 : 9) = 20 : 5 = 4 proprietà distributiva (solo a sinistra) della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione (se queste operazioni sono possibili in N): ( a ± b) : c = (a : c) ± (b : c) Per esempio: (15 + 20) : 5 = (15 : 5) + (20 : 5) = 3 + 4 = 7 (27 – 12) : 3 = (27 : 3) – (12 : 3) = 9 – 4 = 5 La divisione non è però distributiva a destra, per esempio: 60 : (12 + 3) 60 : 15 = 4 non è uguale a (60 : 12) + (60 : 3) 5 + 20 = 25

I numeri naturali a = b  q + r con 0 ≤ r < b Operazioni Qualunque siano i numeri naturali a e b, con b ≠ 0, si può dimostrare che esistono e sono unici due naturali q e r tali che: a = b  q + r con 0 ≤ r < b Il numero q si dice quoziente intero di a : b, il numero r è il resto di tale divisione. ESEMPI nella divisione 25 : 4, si ha che q = 6 e r = 1 perché 25 = 4  6 + 1 nella divisione 314 : 23, si ha che q = 13 e r = 15 perché 314 = 23  13 + 15

I numeri naturali a + 0 = 0 + a = a a  0 = 0  a = 0 Operazioni Il numero 0 è l’elemento neutro dell’addizione, a + 0 = 0 + a = a infatti: Inoltre: a  0 = 0  a = 0 Da quest’ultima proprietà segue la legge di annullamento del prodotto: Il prodotto di due numeri è zero se almeno uno di essi è uguale a zero. Il numero 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione, infatti: a  1 = 1  a = a

I numeri naturali Operazioni Insieme N dei numeri naturali: N = {0, 1, 2, 3, 4…} Insieme No: No = {1, 2, 3, 4…} Operazioni Proprietà ADDIZIONE a + b (interna) commutativa a + b = b + a associativa (a + b) + c = a + (b + c) elemento neutro a + 0 = 0 + a = a SOTTRAZIONE a – b (con a ≥ b) invariantiva a – b = (a + c) – (b + c) a – b = (a − c) – (b − c) con a ≥ c e b ≥ c

(con b ≠ 0 e a multiplo di b) I numeri naturali Operazioni Operazioni Proprietà MOLTIPLICAZIONE a  b (interna) commutativa a  b = b  a associativa (a  b)  c = a  (b  c) distributiva a  (b +c) = a  b + a  c elemento neutro a  1 = 1  a = a elemento assorbente a  0 = 0  a = 0 legge di annullamento del prodotto se a  b = 0 a = 0 o b = 0 o a = b = 0 DIVISIONE ESATTA a : b (con b ≠ 0 e a multiplo di b) invariantiva a : b = (a  c) : (b  c) a : b = (a : c) : (b : c) distributiva (a + b) : c = a : c + b : c (a − b) : c = a : c − b : c

I numeri naturali a  a  a…  a an = a 1 La potenza Il prodotto di più numeri naturali uguali fra loro si abbrevia mediante il simbolo di potenza. Se a è un numero naturale e n è un numero naturale maggiore di 1, si pone an = 00 non ha significato. a  a  a…  a a 1 se n > 1 se n = 1 se n = 0 e a ≠ 0 n volte Proprietà delle potenze am  an = am + n esempio: 34  32 = 34 + 2 = 36 am : an = am − n con m > n esempio: 34 : 32 = 34 – 2 = 32 (am)n = am  n esempio: (34)2 = 3 4  2 = 3 8 (a  b)n = an  bn esempio: (2  3)4 = 24  34 (a : b)n = an : bn esempio: (8 : 2)3 = 83 : 23

I numeri naturali Criteri di divisibilità Un numero è divisibile per: 2 se termina per cifra pari (0 è ritenuto cifra pari) 3 o 9 se lo è la somma delle due cifre 5 se termina per 0 o per 5 4 o 25 se lo è il numero formato dalle ultime due cifre a destra, o termina con due zeri 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari (o viceversa) è divisibile per 11 o è zero.

I numeri naturali Numeri primi e primi tra loro Se un numero maggiore di 1 non ha altri divisori all’infuori di se stesso e dell’unità, si dice primo. Ci sono infiniti numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, … ma ad oggi non si conosce una regola che li possa generare tutti. Un numero che non è primo si può scomporre in modo unico nel prodotto di fattori primi. Ad esempio: 288 = 25  32 Due numeri si dicono primi tra loro se non hanno divisori comuni all’infuori dell’unità.

I numeri naturali 40 = 23  5 36 = 22  32 Il massimo comun divisore Dati due numeri naturali a e b, si chiama loro massimo comun divisore il maggiore fra i divisori comuni. Per indicarlo si scrive M.C.D. (a,b) ESEMPIO Quindi M.C.D. (40, 36) = 4 I divisori di 40 sono 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 I divisori di 36 sono 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Per determinare il M.C.D. tra due o più numeri si segue la regola: Si determina la scomposizione di ciascun numero in fattori primi e si calcola il prodotto dei soli fattori comuni, prendendoli una sola volta, con il minimo esponente. Seguendo l’esempio precedente: 40 = 23  5 36 = 22  32 Quindi M.C.D. (40, 36) = 22 = 4

I numeri naturali 15 = 3  5 12 = 22  3 Il minimo comune multiplo Dati due numeri naturali a e b, si chiama loro minimo comune multiplo il più piccolo fra i multipli comuni. Per indicarlo si scrive m.c.m. (a, b). ESEMPIO Quindi m.c.m. (15, 12) = 60 I multipli di 15 sono 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, … I multipli di 12 sono 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, … Per determinare il m.c.m. di due o più numeri si segue la regola: Si determina la scomposizione di ciascun numero in fattori primi e si calcola il prodotto di tutti i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente. Seguendo l’esempio precedente: 15 = 3  5 12 = 22  3 Quindi m.c.m. (15, 12) = 22  3  5 = 60

I numeri interi relativi Definizione e caratteristiche Spesso nella vita quotidiana si utilizzano numeri preceduti da un segno – Ad esempio la temperatura di – 5° gradi indica che siamo 5 gradi sotto lo zero. Sulla retta orientata, partendo dall’origine, possiamo muoverci in senso opposto rispetto a quello indicato dalla freccia. 4 3 2 1 Possiamo cioè costruire la rappresentazione grafica dei numeri negativi. Ai numeri così costruiti si dà il nome di numeri interi o anche numeri interi relativi. I numeri che sono preceduti dal segno + si dicono positivi e si trovano a destra dello zero, quelli preceduti dal segno – si dicono negativi e si trovano a sinistra dello zero; il numero zero non è né positivo né negativo e si scrive senza alcun segno. −4 −3 −2 −1 +1 +2 +3 +4

I numeri interi relativi Definizione e caratteristiche L’insieme dei numeri relativi si indica con Z: Z = {…, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …} Sottoinsiemi di Z: Insieme degli interi senza zero: Z0 = {…, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, …} Insieme degli interi positivi: Z+ = {1, 2, 3, 4, …} Insieme degli interi positivi: Z− = {…, −4, −3, −2, −1} Nei numeri positivi il segno + può essere sottinteso

I numeri interi relativi Definizione e caratteristiche Alcune definizioni: numeri concordi: numeri con lo stesso segno es. −7, −9 ; +3, +27 numeri discordi: numeri con segni diversi es. +2, −3 ; −2, +3 valore assoluto di un numero: numero stesso senza segno es. |−7| = 7 ; |+7| = 7 numeri opposti: numeri con lo stesso valore assoluto e segno diverso es. +7 , − 7

I numeri interi relativi Ordinamento L’ordinamento dei numeri relativi corrisponde a quello dei punti associati sulla retta orientata dei numeri. −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 Quindi: tra due numeri discordi, il numero positivo è maggiore del negativo es. +7 > −8 lo zero è maggiore di qualsiasi numero negativo e minore di qualsiasi numero positivo es. 0 > −3 ; 0 < +2 tra due numeri positivi è maggiore quello con valore assoluto maggiore es. +7 > +5 perché |+7| >|+5| tra due numeri negativi è maggiore quello con valore assoluto minore es. −2 > −8 perché |−2| = 2 < |−8| = 8

I numeri interi relativi Addizione La somma di due numeri concordi si ottiene addizionando i valori assoluti dei due numeri attribuendo al risultato lo stesso segno degli addendi. ESEMPI (+5) + (+7) = + (5 + 7) = +12 (−4) + (−3) = − (4 + 3) = −7 La somma di due numeri discordi si ottiene facendo la differenza fra i valori assoluti dei numeri (il maggiore meno il minore) e attribuendo al risultato il segno del numero che ha valore assoluto maggiore. ESEMPI (+12) + (−8) = + (12 − 8) = +4 (−26) + (+15) = − (26 − 15) = −11

I numeri interi relativi Differenza e somma algebrica La differenza a – b di due numeri interi è il numero c che, addizionato a b, restituisce a; si calcola facendo la somma del primo con l’opposto del secondo. ESEMPIO (+5) − (+7) = (+5) + (−7) = −2 La sottrazione può sempre essere eseguita in Z e rappresenta l’operazione inversa dell’addizione. Poiché una sottrazione può sempre essere trasformata in un’addizione, si parla in generale di somma algebrica. Quindi l’espressione: (+2) − (+3) = (+2) + (−3) si trasforma in +2 – 3 omettendo il segno di addizione e le parentesi

I numeri interi relativi Moltiplicazione, divisione e potenza Il prodotto di due numeri interi non nulli si esegue moltiplicando i valori assoluti dei due numeri e attribuendo al risultato il segno indicato nella seguente tabella:  + − ESEMPI (+3)  (+5) = +15 (+3)  (−5) = −15 (−3)  (−5) = +15 (−3)  (+5) = −15

I numeri interi relativi Moltiplicazione, divisione e potenza La divisione a : b tra due numeri si può eseguire solo se il valore assoluto di a è multiplo del valore assoluto di b. In questo caso il quoziente c = a : b è un numero intero che ha : per modulo il quoziente dei moduli di a e b segno negativo se a e b sono discordi segno positivo se a e b sono concordi ESEMPI (−24) : (+6) = −4 (+24) : (−6) = −4 (+24) : (+6) = +4 (+15) : (−4) = non esiste in Z (−24) : (−6) = +4

I numeri interi relativi La potenza La potenza an con a Z e n N viene definita come nell’insieme dei numeri naturali. se a è un numero positivo, il valore della potenza è ancora positivo qualunque sia l’esponente: (+3)4 = +81 (+2)5 = +32 Il prodotto di due numeri positivi è sempre positivo se a è un numero negativo, il segno della potenza dipende dall’esponente: (−5)2 = +25 (−2)4 = +16 se n è pari si ha un numero positivo: (−2)5 = −32 (−3)3 = −27 se n è dispari si ha un numero negativo: Il prodotto di un numero pari di numeri negativi è sempre positivo, il prodotto di un numero dispari di numeri negativi è sempre negativo.