Equazioni di primo grado Il “mistero della Matematica” M.Carla Di Domenico

Procediamo per tentativi??? Trova il numero tale che il suo doppio diminuito di cinque sia uguale a quindici. Procediamo per tentativi???

Proviamo cosi: Trova un numero Tale che Il suo doppio Diminuito Di cinque Sia uguale A quindici X : 2x - 5 = 15

In altre parole, abbiamo fatto: 2 x – 5 = 15

Trova il numero tale che il suo doppio diminuito di cinque sia uguale a quindici. 2x -5 = 15 Il numero è 10!! Trova il numero tale che il suo triplo aumentato di uno è uguale alla somma del numero,del suo doppio e di uno. 3x + 1 = x + 2x + 1 Ogni numero va bene!! Trova il numero tale che aggiunto a due è uguale alla somma di se stesso e cinque. x+2 = x +5 Non esiste un tale numero!!

In ognuno dei tre casi abbiamo scritto la relazione algebrica che rappresenta il modello del problema che vogliamo risolvere. Ci occorrono allora tecniche di calcolo generali che permettano di risolvere tutti i problemi come questo .

Si dice EQUAZIONE una uguaglianza fra due espressioni che contengono delle lettere e che è verificata SOLO se a queste lettere vengono attribuiti particolari valori. L’espressione a sinistra dell’uguale si dice primo membro; L’espressione a destra dell’uguale si dice secondo membro; La variabile x si dice incognita; I termini che non contengono la x si dicono termini noti; I valori della x che rendono vera l’uguaglianza si dicono radici o soluzioni dell’equazione (e si dice che essi soddisfano l’equazione); L’insieme delle soluzioni di un’equazione si indica di solito con la lettera S.

2x -5 = 15 È un’equazione che ha una sola soluzione e si dice possibile e determinata. 3x + 1 = x + 2x + 1 È un’equazione che ha infinite soluzioni e si dice indeterminata x+2 = x +5 E’ un’equazione che non ha soluzioni e si dice impossibile.

2x – 5 = 15 2x – 5 è il primo membro 15 è il secondo membro x è l’ incognita - 5 e 15 sono i termini noti 10 è la radice o soluzione dell’equazione S = {10} Tutto ciò significa che l’ unico valore che possiamo attribuire alla x affinché l’uguaglianza sia verificata è 10.

Eppure hanno entrambe come soluzione x = 2 Due equazioni si dicono equivalenti quando hanno le stesse soluzioni (pur sembrando diverse!) 4x + 5 = 2x + 9 Sembra diversa da 2x = 4 Eppure hanno entrambe come soluzione x = 2 Cioè le due equazioni sono equivalenti

Vediamo allora come rendere equivalenti due equazioni (se sono equivalenti, meglio risolverne una più facile!!)

1° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Se si aggiunge (+) o si sottrae (-) una stessa espressione algebrica ad ambo i membri di un’equazione si ottiene un’equazione equivalente alla data. 2° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Se si moltiplicano (×) o si dividono ambo i membri di un’equazione per una stessa espressione non nulla si ottiene un’equazione equivalente alla data.

1° Principio: quali conseguenze 1° Principio: quali conseguenze? 1) Si può spostare un termine da un membro all’altro purché gli si cambi il segno 5 x – 3 = 7 5 x – 3 +3 = 7 + 3 5 x = 7 + 3 Aggiungiamo +3 ad ambo i membri Semplifichiamo -3 scompare dal primo membro e compare al secondo con il segno cambiato

1° Principio: quali conseguenze 1° Principio: quali conseguenze? 2) Si possono spostare tutti i termini in uno stesso membro ottenendo un’espressione uguale a zero 6 x – 4 = 5 x + 7 6x – 4 -5 x -7 = 0 x – 11 = 0 Spostiamo i termini dal secondo al primo membro Sommiamo i monomi simili

1° Principio: quali conseguenze 1° Principio: quali conseguenze? 3)se nei due membri compaiono due termini uguali questi possono essere soppressi 2 x – 1 = 7- 1 2 x – 1 + 1 = 7 – 1 + 1 2 x = 7 Aggiungiamo il termine + 1 Semplifichiamo I termini uguali sono stati soppressi

2° Principio: quali conseguenze 2° Principio: quali conseguenze? 1)Si possono moltiplicare o dividere i due membri di un’equazione per una stessa espressione diversa da zero 6 x = 7 Dividiamo entrambi i membri per 6 e poi semplifichiamo

2° Principio: quali conseguenze 2° Principio: quali conseguenze? 2)si possono dividere entrambi i membri per un fattore comune non nullo 12 x – 18 =6 x -24 Dividiamo per 6 2x -3 = x- 4

2° Principio: quali conseguenze 2° Principio: quali conseguenze? 3)si possono cambiare tutti i segni di un’equazione -3 x + 7 = 12 – 5 x Cambiamo tutti i segni 3 x - 7 = -12 + 5 x

Conclusioni: Grazie al primo e al secondo principio di equivalenza possiamo modificare le equazioni per renderle più semplici e risolvere così ogni problema di questo tipo!!!