Il gioco del 15 Il gioco del quindici fu inventato da Sam Loyd piu' di un secolo fa. Lo scopo del gioco e' quello di ordinare le caselle dal numero 1 al numero 15, partendo da una configurazione casuale (non proprio casuale, come vedremo in seguito), lasciando in basso a destra il tassello vuoto. Le mosse consentite sono solo gli spostamenti sulla posizione vuota di tasselli ad essa adiacenti.

Definizioni Se consideriamo l'insieme A di tutte le permutazioni dei 16 tasselli, compreso quello bianco, si puo' dimostrare che, se definiamo due sottoinsiemi B e C di A come segue: B contiene tutte le configurazioni che possono portare alla soluzione in un numero finito di mosse. C contiene le configurazioni che non portano a nessuna soluzione. mossa: uno spostamento di un tassello qualsiasi sul tassello bianco, se ad esso adiacente scambio: uno spostamento tra due tasselli qualunque, anche se non adiacenti

Proprietà 1. B unione C = A 2. B intersezione C =  3. ogni configurazione appartenente all'insieme B (C) e' raggiungibile con un numero finito di mosse da ogni altra configurazione appartenente a B (C). 4. ogni scambio di tasselli che non coinvolga il tassello bianco fa passare da una configurazione appartenente all'insieme B ad una appartenente all'insieme C (o viceversa). 5. un numero pari di scambi di tasselli porta ad una configurazione appartenente all'insieme di partenza (B o C). 6. un numero dispari di scambi fa passare da C a B (o viceversa).

Si dice che Sam Loyd, dopo aver inventato e divulgato il gioco, mise in palio un premio di $1000 che avrebbe consegnato a chi avesse risolto il puzzle a partire dalla configurazione ordinata ma con il 14 ed il 15 scambiati: lui sapeva che tale configurazione appartiene all'insieme di quelle che non porteranno mai alla soluzione (l'insieme C) e per questo si permise di mettere in palio una cifra talmente alta (soprattutto per quei tempi!).

Risolvibilità Ma come e' possibile sapere se una configurazione generata in modo casuale appartiene a B od a C? La risposta al problema e' semplice: e' sufficiente contare il numero di scambi (non di mosse!) necessari per riportarsi nella configurazione iniziale e controllare se questo sia pari o dispari. Esempio 1: (2-7) (7-14) (7-15) (7-10) (7-12). dispari! Il gioco non è risolvibile Esempio 2: (2-7) (7-14) (7-15) (7-10) (7-12) (11-5). pari! Il gioco è risolvibile

Approccio alternativo Per stabilire se è risolubile è utile definire i concetti di inversione e di parità. Se la tessera contenente il numero i compare "prima" di n numeri minori di i allora chiamiamo questa situazione una inversione di ordine n e la chiamiamo ni. Più semplicemente si può dire che N è il numero di inversioni della permutazione di numeri che al momento compare nel gioco. N può essere pari o dispari. Esempio 1: (7)5 + (3)1 + (4)1 + (5)1 + (6)1 + (12)5 + (8)1 + (9)1 + (15)5 + (11)2 + (10)1 + (13)1 = 25. dispari! Il gioco non è risolvibile Esempio 2: (7)5 + (3)1 + (4)1 + (11)6 + (6)2 + (12)5 + (8)2 + (9)2 + (15)5 + (5)1 + (10)1 + (13)1 = 32. pari! Il gioco è risolvibile

Dimostrazione! Provare a dimostrare che se N è pari allora il gioco è risolvibile mentre se n è dispari il gioco non è più risolvibile. (in altre parole se per una configurazione C1 il valore di N è pari allora esiste una sequenza di n scambi, a partire dalla configurazione iniziale C0, che porta a C1, con n pari. Viceversa se per una configurazione C2 il valore di N è dispari allora esiste una sequenza di n scambi, a partire dalla configurazione iniziale C0, che porta a C1 con n dispari.)