Agenda per oggi Cinematica 2-D, 3-D 1

Cinematica 3-D La posizione, la velocità e l’accelerazione di una particella in 3 dimensioni può essere espressa come: r = x i + y j + z k v = vx i + vy j + vz k (i , j , k vettori unitari) a = ax i + ay j + az k Abbiamo già visto le equazioni della cinematica 1-D :

Cinematica 3-D Per 3-D, applichiamo semplicemente le equazioni 1-D a ciascuna delle equazioni delle componenti. Queste possono essere combinate nelle equazioni vettoriali : r = r(t) v = dr / dt a = d 2r / dt 2

GRANDE IDEA!!: Trattare ciascuna componente del vettore indipendentemente. Per ottenere il moto completo in 3-D usiamo semplicemente la matematica vettoriale per sommare le componenti (SOVRAPPOSIZIONE). Esempio: per accelerazione costante abbiamo : a = const v = v0 + a t r = r0 + v0 t + 1/2 a t2 (dove a, v, v0, r, r0, sono tutti vettori)

Cinematica 2-D Fissiamo la nostra attenzione sui problemi 2-D : *L’aritmetica dei vettori in 2-D non è molto differente da quella in 3-D. * I problemi 3-D possono essere ricondotti a problemi 2-D quando l’accelerazione è costante: Scegliere l’asse y lungo la direzione dell’accelerazione Scegliere l’asse x lungo l’altra direzione del moto Esempio: Lanciamo una palla (Trascuriamo la resistenza dell’aria) L’accelerazione è costante (gravità) Scegliere l’asse y verso l’alto: ay = -g Scegliere l’asse x lungo la terra nella direzione del lancio

Moto del proiettile Consideriamo una particella che si muove in due dimensioni, in caduta libera, con velocità v0 e accelerazione di gravità g costante diretta verso il basso. Alle particelle in queste condizioni viene dato il nome di proiettile. Questo è il percorso che il proiettile segue in condizioni ideali essendo lanciato con velocità iniziale v0 che si può esprimere come :vo=voxi+ voyj e conoscendo l’angolo q si ha: vox=vocosq e voy=vosenq y vox v0 v0y q R x

Moto del proiettile Analizziamo il moto del proiettile orizzontalmente e verticalmente. MOTO ORIZZONTALE ax =cost vx=v0x x-x0=v0xt=(v0cosq)t (1) MOTO VERTICALE Il moto verticale è quello di una particella in caduta libera con a= -g = cost e la variabile spaziale è y. Si ha. y-y0=v0xt-1/2(gt2)=(vosenq)t – ½(gt2) (2) vy=vo senq – gt e vy2=(vo senq)2-2g(y-y0)

Diagrammma del Moto Proiettile Active Figure 4.7  The parabolic path of a projectile that leaves the origin with a velocity vi. The velocity vector v changes with time in both magnitude and direction. This change is the result of acceleration in the negative y direction. The x component of velocity remains constant in time because there is no acceleration along the horizontal direction. The y component of velocity is zero at the peak of the path. As discussed in Pitfall Prevention 2.8, many people claim that the acceleration of a projectile at the topmost point of its trajectory is zero. This mistake arises from confusion between zero vertical velocity and zero acceleration. If the projectile were to experience zero acceleration at the highest point, then its velocity at that point would not change-the projectile would move horizontally at constant speed from then on! This does not happen, because the acceleration is NOT zero anywhere along the trajectory.

Possiamo trovare la traiettoria eliminando la variabile t fra le equazioni (1) e (2). Sostituendo nella (2) l’espressione di t ricavata dalla (1) si ha: t= (x-x0)/vo cosq y-yo=v0senq [(x-x0)/v0cosq]-1/2g [(x-x0)/v0cosq]2 Da cui: y=y0+(x-x0)tanq -g (x-x0)2/[v0cosq]2 se y0=0 e x0=0 y= x tanq -g x2/[v0cosq]2 Questa è l’equazione della traiettoria percorsa dal proiettile e poiché v0, q, e g sono delle costanti, l’equazione ha la forma y=ax+bx2 che è l’equazione di una parabola e quindi il percorso è parabolico.

La gittata R del proiettile è la distanza orizzontale massima coperta dal proiettile all’istante in cui ripassa alla quota di lancio. Per ricavarla abbiamo x – x0=R e y- y0=0 sempre nelle eq. (1) e (2) e si ha: R=v0cosqt e 0= v0senqt – gt2/2 Eliminando la variabile t in queste due eq. si ha: t = R/v0cosq e quindi R= 2v02senqcosq/g e ricordando che sen2q=2senqcosq si ottiene : R=v02sen2q/g Questa equazione è valida solo quando la quota finale è uguale alla quota di lancio. La gittata è massima per sen2q=1 cioè per 2q=90° ossia q=45° L’angolo q prende il nome di alzo.

Ricapitolazione Cinematica 2-D, 3-D : Moto del Proiettile Independenza delle componenti x e y