Teoria Cinetica dei gas Una esposizione semplice La teoria cinetica stabilisce un collegamento tra il comportamento macroscopico di un gas e il suo comportamento microscopico. Le grandezze macroscopiche Pressione e Temperatura sono strettamente dipendenti dalle grandezze microscopiche N Numero delle molecole e Velocità delle molecole.

Il modello meccanico di un gas Al contrario di quel che avviene per i liquidi ed i solidi, il comportamento dei gas appare indipendente dalla specie chimica. La bassissima densità, la capacità di espandersi illimitatamente, il comportamento semplice e regolare al variare di temperatura e pressione portano a concludere che, nello stato gassoso, le molecole siano sostanzialmente indipendenti e libere, che le forze fra di esse agiscano, a breve distanza, solo nell’urto. Ciò conduce a formulare un primo modello meccanico fondato sulle seguenti ipotesi: Le molecole sono assimilabili a sfere rigide piccolissime (punti materiali) di massa m Il loro numero N è così elevato da essere statisticamente significativo Le molecole si muovono in modo completamente casuale obbedendo alle leggi di Newton L’urto delle molecole con le pareti del contenitore è elastico (si conserva l’energia cinetica) Le loro dimensioni sono trascurabili rispetto alla distanza media fra esse; in altri termini il volume complessivo delle molecole è trascurabile rispetto al volume totale occupato dal gas

L’urto delle molecole contro le pareti rispetta le leggi della riflessione Tutte le molecole sono di ugual massa il moto delle molecole non ha direzioni privilegiate e infine: * le molecole non si urtano fra loro L’abbandono di quest’ultima ipotesi porta ad un sostanziale raffinamento del modello, con conseguenze estremamente significative il modello di gas

L’origine della Pressione La pressione esercitata dal gas è dovuta agli urti delle molecole contro le pareti del contenitore. Modello di gas Ricordiamo dalla meccanica che: v L S Si pensi ad 1 sola molecola di massa m in moto con velocità v entro una scatola cubica di lato L

Nell’urto contro la parete di destra, perpendicolare all’asse X, essa subisce una variazione della quantità di moto: v L S forza agente sulla particella in 1 urto: v vx -vx La variazione della q. di moto della parete in 1 urto: z y x forza agente sulla parete in 1 urto: ( 3° principio della dinamica)

Esaminiamo attentamente l’urto contro la parte 1 L’urto rispetta le leggi della riflessione: 1- raggio incidente, raggio riflesso, normale alla sup. riflettente, nel punto d’ìncidenza, sono complanari, 2- angolo incidenza = angolo riflessione v vx -vx x z L’urto è elastico: Ec iniziale = Ec finale  Viniziale = V finale Consideriamo la variazione della q. di moto della molecola: La variazione della q. di moto della parete in 1 urto:

S v Che determina la pressione Dopo l’urto la molecola si muove verso la parete opposta con velocità vx, e, dopo un altro urto, torna indietro verso la parete 1 Quindi percorre la distanza 2L con velocità vx impiegando un tempo t = 2L/vx Pertanto la forza media esercitata dalla molecola contro la parete 1 è v L S Che determina la pressione

Distribuzione velocità La formula precedente fa riferimento ad una sola molecola. Per la pressione totale dovremo tener conto del contributo di tutte le molecole che però hanno velocità diverse e in generale variabili nel tempo. Tuttavia la distribuzione delle velocità rimane costante e, quindi, anche la velocità media rimane costante, pertanto invece della velocità vx faremo riferimento alla velocità media Distribuzione velocità E tenendo conto di tutte le molecole

Siccome vx è una delle tre componenti della velocità v e le tre componenti vx, vy, vz sono mediamente equivalenti, cioè, ogni direzione è ugualmente probabile, (teorema di Pitagora) avremo v vx vy vz

(ove è il valore medio del quadrato della velocità. Indicando con Ec = l’energia cinetica media di una molecola ) Allora, in un gas ideale, la pressione è direttamente proporzionale al numero delle molecole, inversamente proporzionale al volume e La pressione di un gas è direttamente proporzionale all’energia cinetica media delle sue molecole.

E portando al primo membro il volume V

Energia cinetica e temperatura Teoria Cinetica (ipotesi teorica) Equazione di stato dei gas (risultato sperimentale)

Si ha anche: Energia di una mole Energia totale gas La temperatura assoluta è (se la deduzione è corretta !), direttamente proporzionale alla sola energia cinetica media molecolare. Scaldando un gas aumentiamo la velocità media delle sue molecole, raffreddandolo diminuiamo la velocità media delle molecole. Energia cinetica media di una molecola Si ha anche: Energia di una mole Energia totale gas Acquista un significato chiaro la nozione di temperatura assoluta !

Calcolo delle velocità molecolari A che velocità si muove, in media, una molecola di Ossigeno ( O2 ) alla temperatura di 27 °C ? (T=27 °C = 300 K) se: Velocità quadratica media (radice quadrata della media dei quadrati delle velocità) Massa di 1 molecola massa molecolare

per l’Ossigeno : …e una molecola d’Idrogeno ( H2 ) ? (a parità di temperatura l‘energia cinetica media è la stessa, ma la velocità media è inversamente proporzionale alla radice quadrata della massa molecolare) In una miscela di gas diversi (es. Azoto 14N e Ossigeno 16O) tutte le molecole possiedono la stessa en. cinetica media, ma le molecole di azoto, essendo più leggere, sono mediamente più veloci.

Energia interna di un gas ideale L’energia interna di una sostanza è la somma di tutte le energie: potenziali, cinetiche, rotazionali, delle molecole che la compongono Ad ogni grado di libertà “componente dell’energia” di una molecola è associata un’energia pari a ½ kT

In un gas ideale (monoatomico) le uniche interazioni sono gli urti perfettamente elastici, non c’è energia potenziale e le molecole hanno solo energia traslazionale nelle tre direzioni dello spazio. L’energia totale del sistema è la somma dell’energia cinetica nelle tre direzioni di moto, 3 gradi di libertà oppure vx vy vz

Nel caso di un gas biatomico si hanno 5 gradi di libertà complessivi: 3 traslazionali nelle tre direzioni dello spazio e 2 rotazionali. vx vy vz quindi

Alcune considerazioni sulle velocità molecolari 1a considerazione La velocità di fuga dalla Terra  11,2 km/s la velocità vqm di H2= 1,93 km/s  1/6 velocità di fuga Composizione dell’aria azoto 78%, ossigeno 21%, altri gas tra cui l’idrogeno 0,0062%

Allora,…… 2a considerazione: Abbiamo calcolato che la velocità media dell’ossigeno a 27 °C è di circa 485 m/s Se le cose stanno così allora …. una molecola 100 volte più pesante di quella di ossigeno avrebbe comunque la rispettabile velocità di circa 50 m/s e percorrerebbe un locale di 5 metri di lunghezza ben 10 volte in 1 secondo !!!!…………che sia proprio così ?

[prova tu ad immaginare altre analoghe situazioni] L’esperienza ci dice che il profumo del caffè non ci arriva così in fretta !! Fai clic sulla foto [prova tu ad immaginare altre analoghe situazioni] Questo fenomeno di propagazione di un gas in un altro (diffusione) appare in realtà decisamente più lento. Come si possono conciliare queste osservazioni con le previsioni della teoria cinetica ? Rinunciando all’ipotesi che le dimensioni delle molecole siano infinitamente piccole , tanto piccole da rendere trascurabile la probabilità di un urto fra esse

Più grandi sono le molecole, più è probabile l’urto reciproco ! Se si assume che le dimensioni delle molecole siano finite , per esempio sfere di raggio r , allora il percorso di ciascuna molecola sarà una successione casuale di moti rettilinei uniformi, di lunghezza e direzione differenti, tra un urto e l’altro, percorsi ciascuno con velocità diversa, dipendente dalle modalità con cui avviene l’urto con un’altra molecola. Più grandi sono le molecole, più è probabile l’urto reciproco !

n = numero di molecole per unità di volume Si può dimostrare che la frequenza d’urto (numero di collisioni al secondo) è data da: r = raggio molecolare n = numero di molecole per unità di volume = velocità media e che il libero cammino medio (distanza media percorsa tra un urto e il successivo) è : Nel 1856 R.Clausius determinò, proprio in base alle velocità di diffusione dei gas e ad altri dati sperimentali, l’ordine di grandezza delle dimensioni molecolari: Si tratta della prima misura indiretta delle dimensioni di particelle microscopiche, fino ad allora solamente ipotizzate !

Negli urti tra molecole si hanno continui scambi di energia cinetica ma il valore medio per molecola di tale energia e quello complessivo restano costanti. Si deve a J.C.Maxwell il calcolo della distribuzione statistica delle velocità molecolari in un gas, il cui andamento dipende solo dalla temperatura :