Dai Naturali alle Proporzioni NUMERI NATURALI NUMERI RAZIONALI PROPORZIONI E RELAZIONI DI PROPORZIONALITA’

Le quattro operazioni nei numeri naturali Addizione Sottrazione Moltiplicazione Divisione MENU GENERALE MAPPA CONCETTUALE

Addizione Per addizionare due numeri naturali a e b, si devono sommare ad a tante unità quante sono quelle di b. Si otterrà un risultato c detto “somma” tra a e b. Quindi a+b=c dove a e b sono gli addendi, c è la somma e “+” il simbolo di addizione. Sulla semiretta orientata tale operazione si schematizza così: +b a c Si può notare come, assegnati due numeri naturali qualsiasi a e b, è sempre possibile ottenere c che è un numero naturale. Da ciò segue che la somma tra due numeri naturali è sempre possibile in N, cioè che N è un insieme chiuso rispetto all’addizione. MENU NATURALI MENU GENERALE

Le proprietà dell’addizione Proprietà commutativa Proprietà associativa Proprietà dissociativa Esistenza dell’elemento neutro MENU NATURALI MENU GENERALE

Proprietà commutativa Scambiando l’ordine degli addendi, la somma non cambia. a+b=b+a Esempio: 10+5=5+10=15 MENU NATURALI MENU GENERALE

Proprietà associativa Se si sommano tra loro tre o più addendi, il risultato non cambia se a due o più di essi si sostituisce la loro somma. a+b+c+d=(a+b)+c+d=(a+b)+(c+d)=… Esempio: 15+25+19+11=(15+25)+(19+11)=40+30=70 MENU NATURALI MENU GENERALE

Proprietà dissociativa Se ad un addendo si sostituisce la somma di due o più numeri la cui somma dia l’addendo stesso, il risultato non cambia. a=m+n a+b+c=(m+n)+b+c=m+n+b+c Esempio: 11+19+22=(10+1)+(10+9)+22=10+1+10+9+22=52 MENU NATURALI MENU GENERALE

Esistenza dell’elemento neutro Lo zero è definito elemento neutro dell’addizione: se si considera qualsiasi numero naturale e lo si addiziona a zero, il risultato è il numero stesso. a+0=0+a=a Esempio: 20+0=0+20=20 MENU NATURALI TEST ADDIZIONE MENU GENERALE

Sottrazione La sottrazione è l’operazione inversa della somma. I suoi termini si chiamano: il primo minuendo il secondo sottraendo Il “-” è il simbolo, il risultato si chiama resto o differenza. MENU NATURALI MENU GENERALE

Sottrazione (continua) Perché la sottrazione tra due numeri naturali a e b sia possibile, occorre che: a  b Infatti: se a>b a-b=c es. 10-7=3 se a=b a-b=0 es. 15-15=0 se a<b a-b è impossibile es. 5-8=? Poiché scelti due numeri qualsiasi, non sempre è possibile determinare la differenza come numero naturale, si dirà che l’insieme N è aperto rispetto alla sottrazione. MENU NATURALI MENU GENERALE

Sottrazione (continua) Utilizzando la semiretta orientata, la sottrazione può essere così schematizzata: -b a > b a – b = c c a -b a = b a – b = 0 a -a b > a a a-b risulta impossibile MENU NATURALI -b MENU GENERALE

Le proprietà della sottrazione Proprietà invariantiva MENU NATURALI MENU GENERALE

Proprietà invariantiva La differenza tra due numeri non cambia se ad ogni termine si aggiunge o si sottrae lo stesso numero, purché tale numero sia minore o uguale al sottraendo. Esempio: 120-84=36 (120+16)-(84+16)=136-100=36 (120-20)-(84-20)=100-64=36 MENU NATURALI TEST SOTTRAZIONE MENU GENERALE

La moltiplicazione La moltiplicazione è un’operazione che rappresenta una forma abbreviata per eseguire somme di numeri uguali. Esempio: 3x4=3+3+3+3=12 Pertanto, la moltiplicazione risulta una operazione diretta i cui termini si dicono fattori, “x” o “·” è il simbolo, il risultato è detto prodotto. È sempre possibile effettuare la moltiplicazione in N essendo questa un’operazione diretta e costituendo un ampliamento dell’addizione. Quindi l’insieme N è chiuso rispetto alla moltiplicazione. MENU NATURALI MENU GENERALE

Le proprietà della moltiplicazione Proprietà commutativa Proprietà associativa Proprietà dissociativa Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma e rispetto alla differenza Esistenza dell’elemento neutro Lo zero e la legge dell’annullamento del prodotto MENU NATURALI MENU GENERALE

Proprietà commutativa Scambiando l’ordine dei fattori, il prodotto non cambia. a·b=b·a Esempio: 15·10=10·15=150 MENU NATURALI MENU GENERALE

Proprietà associativa Se si moltiplicano tra loro tre o più fattori, il prodotto non cambia se a due di essi si sostituisce il loro prodotto a·b·c·d=(a·b)·(c·d) Esempio: 3·5·7=(3·5)·7=15·7=105 3·5·7=3·(5·7)=3·35=105 MENU NATURALI MENU GENERALE

Proprietà dissociativa Se ad un fattore si sostituisce il prodotto di due o più fattori il cui prodotto sia il fattore stesso, il risultato non cambia. Se a=m·n allora a·b·c=(m·n)·b·c=m·n·b·c Esempio: 15·7·3=3·5·7·3=315 MENU NATURALI MENU GENERALE

(a+b+c)·d=a·d+b·d+c·d Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma e alla differenza Se si deve moltiplicare una somma di più addendi (o una differenza) per un fattore, si può moltiplicare ogni termine per il fattore e quindi sommare (o sottrarre) i prodotti ottenuti. (a+b+c)·d=a·d+b·d+c·d (a-b)·c=a·c-b·c Esempio: (10+12+14)·3=10·3+12·3+14·3=30+36+42=108 (56-35)·4=56·4-35·4=224-140 MENU NATURALI MENU GENERALE

Elemento neutro della moltiplicazione Se si moltiplica per uno, un qualsiasi numero, il risultato è il numero stesso. a·1=1·a=a Esempio: 35·1=1·35=35 Quindi il numero 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione. MENU NATURALI MENU GENERALE

Lo zero e la legge di annullamento del prodotto Se si moltiplica un qualsiasi numero per zero, il risultato è zero. a·0=0 Esempio: 5·0=0 0·15=0 Da ciò ne consegue che il prodotto di due fattori è zero se almeno uno di essi è zero (legge di annullamento del prodotto). Esempio: a·6=0 soltanto se a=0 0·a=0 a·b=0 almeno uno dei due fattori deve essere uguale a zero: a=0 o b=0 MENU NATURALI TEST MOLTIPLICAZIONE MENU GENERALE

Divisione La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Infatti eseguire la divisione fra due numeri a e b, significa trovare, se esiste, un terzo numero c tale che b·c=a. Il simbolo della divisione è “:”, a è il dividendo, b il divisore e c il quoto o quoziente. a:b=c Come si può notare, scelti due numeri a caso a e b, non sempre è possibile ottenerne un terzo che risponda alla definizione data. Pertanto, l’insieme N è aperto rispetto alla divisione. In N, a deve essere multiplo di b. Anche per la divisione, come per la sottrazione, non esiste elemento neutro. MENU NATURALI MENU GENERALE

Proprietà della divisione Proprietà invariantiva Lo zero nella divisione MENU NATURALI MENU GENERALE

Proprietà invariantiva Moltiplicando o dividendo per una quantità diversa da zero, entrambi i termini di una divisione, il risultato non cambia. a:b=c (a·m):(b·m)=c m0 (a:m):(b:m)=c m0 Esempio: 135:15=9 (135:5):(15:5)=9 27:3=9 oppure: (135·2):(15·2)=9 270:30=9 MENU NATURALI MENU GENERALE

Lo zero nella divisione Particolare importanza investe nella divisione il numero zero. Consideriamo il caso generico a:b. Ne consegue che: se a,b0 allora a:b=c se a=0 e b=0 allora o:b=0 in quanto, per la prova della divisione, si ha b·0=0. Se a=0 e b=0 allora 0:0=indeterminata cioè qualsiasi risultato è possibile perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero. Se a0 e b=0 allora a:0=impossibile perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero e non può dare a. MENU NATURALI TEST DIVISIONE MENU GENERALE

Test addizione DOMANDA N°1: L’insieme N è chiuso rispetto all’addizione? Si No Non so MENU NATURALI MENU GENERALE

Test addizione DOMANDA N°2: In una addizione, se si cambia l’ordine degli addendi, la somma cambia? Si No Non so MENU NATURALI MENU GENERALE

Test addizione DOMANDA N°3: Lo zero è l’elemento neutro dell’addizione? Si No Non so MENU NATURALI MENU GENERALE

Test addizione DOMANDA N°4: Per potere risolvere la seguente addizione in N 15 + 7 + 4 quali delle seguenti proprietà è necessario applicare? Proprietà associativa Proprietà dissociativa Proprietà commutativa Non so MENU NATURALI MENU GENERALE

Studia meglio la lezione Hai sbagliato! Studia meglio la lezione MENU NATURALI MENU’ GENERALE

Test sottrazione DOMANDA N°1: L’insieme N è chiuso rispetto alla sottrazione? Si No Non so MENU NATURALI MENU GENERALE

Test sottrazione DOMANDA N°2: Lo zero è l’elemento neutro della sottrazione? Si No Non so MENU NATURALI MENU GENERALE

Test sottrazione DOMANDA N°3: La differenza tra due numeri cambia se ad ogni termine si aggiunge o si sottrae lo stesso numero (purchè tale numero sia minore o uguale al sottraendo)? Si No Non so MENU NATURALI MENU GENERALE

Test sottrazione DOMANDA N°4: Quale è il valore della seguente espressione? 45 – 3 – 27 = … 13 14 15 Non so MENU NATURALI MENU GENERALE

Studia meglio la lezione Hai sbagliato! Studia meglio la lezione MENU NATURALI MENU GENERALE

Test moltiplicazione DOMANDA N°1: L’insieme N è aperto rispetto alla moltiplicazione? Si No Non so MENU NATURALI MENU GENERALE

Test moltiplicazione DOMANDA N°2: Lo zero è l’elemento neutro della moltiplicazione? Si No Non so MENU NATURALI MENU GENERALE

Test moltiplicazione DOMANDA N°3: Nella seguente espressione: 5·9·3=(5·9)·3=45·3=135 quale proprietà è stata utilizzata? Proprietà commutativa Proprietà associativa Proprietà dissociativa Non so MENU NATURALI MENU GENERALE

Test moltiplicazione DOMANDA N°4: Quale è il risultato della seguente espressione? (7+15+12)·2=… 70 67 68 Non so MENU NATURALI MENU GENERALE

Studia meglio la lezione Hai sbagliato! Studia meglio la lezione MENU NATURALI MENU GENERALE

Test divisione DOMANDA N°1: Quale è il valore della seguente divisione? 7 : 0 = … 7 è impossibile Non so MENU NATURALI MENU GENERALE

Test divisione DOMANDA N°2: La divisione gode della proprietà associativa? Si No Non so MENU NATURALI MENU GENERALE

Test divisione DOMANDA N°3: L’espressione a : b = c significa che: c=b:a a=b:c a=b·c Non so MENU NATURALI MENU GENERALE

Test divisione DOMANDA N°4: Quale è il valore della seguente espressione? (225:15):3=… 10 5 15 Non so MENU NATURALI MENU GENERALE

Studia meglio la lezione Hai sbagliato! Studia meglio la lezione MENU NATURALI MENU GENERALE

Bravo, hai risposto bene ! MENU NATURALI MENU GENERALE

Potenza La moltiplicazione serve a definire l’operazione di potenza di numeri naturali. Si dice potenza di un numero naturale a il prodotto di più fattori uguali al numero stesso. In simboli si scrive: an dove a è la base, cioè il numero che deve essere moltiplicato per se stesso tante volte quanto indicato dall’esponente n. Esempio: 32=3·3=9 54=5·5·5·5=625 MENU NATURALI MAPPA CONCETTUALE MENU GENERALE

I NUMERI NATURALI Struttura dell’insieme N Cenni storici MENU NATURALI MENU GENERALE

Struttura dell’insieme N La successione dei numeri naturali 0, 1, 2, 3, 4, 5 … è un insieme infinito costituito cioè da infiniti elementi che si ottengono ognuno dal precedente aggiungendo una unità. Nel sistema di numerazione da noi usato, cioè il sistema di numerazione decimale, le cifre utilizzate sono dieci: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 e con esse si compongono tutti i numeri. Nella rappresentazione insiemistica per elencazione l’insieme N è così rappresentato: N={0,1,2,3,4,5,…} E’ possibile rappresentare i numeri naturali su una semiretta orientata dopo aver fissato un’opportuna unità di misura corrispondente a un’unità: u A • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 La semiretta orientata è illimitata a destra, come indica la freccia. E’ da notare che ad ogni numero naturale corrisponde un punto, ma non viceversa. Ad esempio, al punto A non corrisponde un numero naturale. MENU NATURALI MENU GENERALE

Struttura dell’insieme N (continua) Due numeri naturali a e b si dicono uguali se ad entrambi corrisponde lo stesso punto sulla semiretta orientata. Valgono quindi le proprietà dell’uguaglianza: 1) Proprietà riflessiva a = a 2) Proprietà simmetrica se a = b allora b = a 3) Proprietà transitiva se a = b e b = c allora a = c Analogamente si possono definire due relazioni di disuguaglianza: Ogni numero naturale è maggiore di quelli che lo precedono nella successione e quindi sulla semiretta orientata. Esempio: 5 > 1, 6 > 0 Ogni numero naturale è minore di quelli che lo seguono nella successione e quindi sulla semiretta orientata, pertanto lo zero è il minore numero dell’insieme N. Dati due numeri a e b si può verificare una sola di queste tre soluzioni: a < b a = b a > b Tale principio è detto di tricotomia. MENU NATURALI MENU GENERALE

Cenni storici MENU NATURALI MENU GENERALE La nozione di numero si può sicuramente far risalire alle epoche più antiche in cui visse l’uomo, come testimoniano le pitture rinvenute sulle pareti delle caverne preistoriche ed altre testimonianze archeologiche. Ma come è nato il concetto di numero? Inizialmente a colpire l’uomo primitivo furono sicuramente più le differenze che le somiglianze: un lupo e molti lupi, una pecora e un gregge, un albero e una foresta creavano contrasti più facili da cogliere che non la similarità, intesa come uguale numerosità, fra un lupo e un sasso, fra una pecora e un albero. A poco a poco però attraverso l’osservazione le differenze stesse sembrarono rinviare a delle somiglianze: il contrasto tra un solo lupo e molti lupi, tra una pecora e un gregge, tra un albero e una foresta suggerirono che un lupo, una pecora e un albero hanno qualcosa in comune: la loro unicità. Attraverso lo stesso tipo di approccio venne osservato che certi altri gruppi, come le coppie, possono essere messi in corrispondenza biunivoca: le mani possono essere appaiate con i piedi, con gli occhi, con le orecchie o con le narici. Questo riconoscimento, raggiunto al termine di un processo lungo e graduale, di una proprietà astratta che certi insiemi hanno in comune, e che chiamiamo numero, rappresenta un grande passo verso la matematica moderna. L’uomo primitivo non conosceva i numeri. Per “contare”, per esempio, le pecore del suo gregge, usava le dita, ossia alzava un dito per ogni pecora. Annotava poi il totale tracciando, sulla sabbia, altrettante dita, oppure facendo altrettante tacche su un pezzo di legno. Contava anche associando a ciascun oggetto un bastoncino: era quindi in grado di annotare il totale conservando il mazzetto di bastoncini. Attraverso i secoli, l’uomo ha imparato a dare un nome ad ogni numero e a rappresentare ogni numero con un simbolo. I numeri naturali sono stati introdotti, fin dall’antichità, per contare gli oggetti di un dato insieme. MENU NATURALI MENU GENERALE

Test finale MENU NATURALI MENU GENERALE 1) Indicare quali proprietà si sono applicate per ognuna delle seguenti uguaglianze: 217-132=220-135=85 (12-2)·3=12·3-2·3=30 721-361=(721-21)- (361-21)=700-340=360 72·5·10=10·5·72=3600 882:14=(882:2):(14:2)= 441:7=63 2) Calcola, nell’insieme N, le seguenti espressioni: a) 2·(3+5-7)= b) 0·(14+5-7)= c) (17-5+1-12)·5= d) (7-6)·[(8-7)·(12-11)]= e) 100-50·(6-4)= f) (100-50)·(6-4)= g) 100-50:(6-4)= h) (100-50):(6-4)= i) 100-34·2-4·5+3·12:6-60:2:3-4·2= l) (45-9·4-243:3)·39+6·8:16+20:4-64:2:4= MENU NATURALI MENU GENERALE

Mappa concettuale Insieme N dei numeri naturali MENU TEST FINALE in esso si definisce ADDIZIONE MOLTIPLICAZIONE Potenza ORDINAMENTO a + b a · b an attraverso Se a multiplo di b e b0 Se ab SIMBOLI ammette l’operazione inversa   ammette l’operazione inversa SOTTRAZIONE DIVISIONE a - b a : b MENU NATURALI TEST FINALE MENU GENERALE

Il concetto di numero razionale Le frazioni I numeri razionali MENU GENERALE

Le frazioni La frazione come operatore Prodotto e potenza di frazioni Frazioni equivalenti Confronto tra frazioni Addizione e sottrazione di frazioni MENU RAZIONALI MENU GENERALE

I numeri razionali Il concetto di numero razionale I numeri decimali MENU GENERALE MENU RAZIONALI

La frazione come operatore La parola “frazione” deriva dal latino frangere che significa “rompere, “fare a pezzi”. In matematica la frazione di una certa quantità è quella parte ottenuta dividendo tale quantità in m parti uguali e considerandone n. L’operatore frazionario × è il procedimento che consente di dividere in n parti uguali la quantità di partenza e di considerarne m. MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Esempio Quantità iniziale Operatore frazionario Frazione MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Se la quantità iniziale è rappresentata da un numero p non divisibile per m (cioè non esiste un numero intero q che moltiplicato per m ci dia p) allora l’operatore frazionario x applicato a p ci dà: di 8 equivale a di 5 equivale a di 13 equivale a MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Se n=m allora l’operatore frazionario lascia invariata la quantità su cui viene applicato. Ad esempio di 3 dà proprio 3, di 8 dà 8. Questo perché prima abbiamo diviso in parti uguali una certa quantità e poi l’abbiamo ricomposta mettendo insieme le parti in cui l’avevamo frazionata. In una generica frazione , n viene detto numeratore e d denominatore. Il denominatore deve essere sempre diverso da zero perché la divisione per 0 non è definita. Il denominatore indica in quante parti bisogna dividere l’unità. Il numeratore n indica in quante volte bisogna considerare l’unità frazionaria MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Esempi di 12 di 6 di 8 MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Esercizi Calcola: di 24 di 160 di di 270 di 21 di 20 di di 24 MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Prodotto e potenza di frazioni Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori delle frazioni date. Esempi MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Divisione tra frazioni Dividere una frazione per una frazione significa moltiplicare per l’inversa di : Esempio: Due frazioni sono inverse fra loro quando il loro prodotto è uguale a 1 Esempio: è inversa di infatti MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Potenza di frazioni Data la frazione e il numero naturale n, si definisce potenza n-esima di e si scrive , il prodotto di n fattori uguali ad . Se n=0, ,cioè qualunque frazione, elevata a 0, dà come risultato 1. L’espressione con b≠0 non è definita in quanto è uguale a 00, espressione priva di significato matematico. Se allora Esempio infatti MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Esercizi Calcola: ; ; ; ; ; ; ; ; MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Frazioni equivalenti Data una qualsiasi frazione , se moltiplichiamo o dividiamo numeratore e denominatore per uno stesso numero otteniamo un’altra frazione detta “frazione equivalente” ad . Esempio MENU GENERALE MENU RAZIONALI

comune. Consideriamo ad esempio la frazione . Una frazione si dice ridotta ai minimi termini quando numeratore e denominatore sono primi fra loro, cioè se non hanno fattori in comune. Consideriamo ad esempio la frazione . La prima cosa che andiamo a fare è fattorizzarne i termini, cioè scomporre numeratore e denominatore in fattori primi: Dividendo per 2 si ottiene: Come si può vedere il numeratore e il denominatore hanno ancora un fattore in comune, cioè il 2. Quindi dividiamo ancora e otteniamo . La frazione ottenuta si dice ridotta ai minimi termini. Una frazione non ridotta ai minimi termini si dice riducibile. MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Potevamo operare anche in questo modo: Quando si calcola il prodotto tra frazioni è quindi utile ridurre prima le frazioni ai minimi termini. Dopo aver effettuato tale operazione occorre vedere se la frazione prodotto ottenuta è a sua volta riducibile e procedere alla semplificazione di questa. Potevamo operare anche in questo modo: 1 5 1 2 che comunemente viene detto procedimento di semplificazione in croce. MENU GENERALE MENU RAZIONALI

A tale insieme viene dato il nome di “classe di frazioni equivalenti”. Tutte le frazioni equivalenti fra loro costituiscono un insieme infinito di frazioni di cui una sola è ridotta ai minimi termini; le altre possono ottenersi da essa moltiplicandone numeratore e denominatore per uno stesso numero. A tale insieme viene dato il nome di “classe di frazioni equivalenti”. MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Consideriamo adesso due frazioni qualsiasi: e Determiniamo alcune frazioni equivalenti: Come si può osservare, tra le frazioni equivalenti a e a sono presenti due frazioni aventi a denominatore lo stesso numero: Naturalmente ve ne saranno infinite con uguale denominatore e precisamente tutte quelle che hanno a denominatore un multiplo del numero 21, detto comunemente minimo comune multiplo dei denominatori. e MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Per poter fare questo occorre: In generale comunque è sempre possibile trasformare due frazioni qualsiasi in frazioni ad esse equivalenti e aventi lo stesso denominatore. Per poter fare questo occorre: cercare un multiplo comune ai denominatori dividere tale nuovo denominatore per ciascun vecchio denominatore moltiplicare ciascun quoto per il corrispondente numeratore. Esempio Vogliamo trasformare e in frazioni ad esse equivalenti aventi lo stesso denominatore. Tra i multipli comuni a 5 e a 4 prendiamo il numero 20 (potremmo prenderne qualsiasi). Dividendo 20 per 5 otteniamo 4 e dividendo 20 per 4 otteniamo 5. moltiplicando questi quoti per 2 e per 3 otteniamo le frazioni e . MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Esercizi 1) Scrivi almeno 5 frazioni equivalenti a ciascuna delle seguenti: 2) Dove è possibile, riduci ai minimi termini: Riconduci allo stesso denominatore le seguenti frazioni: a) b) c) MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Addizione e sottrazione di frazioni Somma e differenza di frazioni con uguale denominatore La somma (o differenza) di due o più frazioni aventi uguale denominatore è una frazione che ha per denominatore il denominatore dato e per numeratore la somma (o differenza) dei numeratori. Esempi MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Somma e differenza di frazioni con diverso denominatore Quando si devono sommare (o sottrarre) frazioni con diverso denominatore occorre prima di tutto trasformare le frazioni date in frazioni equivalenti che abbiano per denominatore un multiplo comune dei denominatori dati. Di solito, per brevità di calcolo, si sceglie il m.c.m. tra i denominatori. Il procedimento da seguire per addizionare o sottrarre le frazioni è il seguente: tracciare una linea di frazione abbastanza lunga da contenere tutti i numeratori; sotto la linea di frazione scrivere il denominatore-multiplo scelto (è conveniente scrivere il minimo comune multiplo dei denominatori); dividere tale denominatore per ciascuno dei denominatori delle frazioni che si stanno sommando (o sottraendo); moltiplicare il quoto ottenuto per il corrispondente numeratore; scrivere il risultato al posto del vecchio numeratore; sommare (o sottrarre) i nuovi numeratori; scrivere la nuova frazione ottenuta. MENU RAZIONALI MENU GENERALE

Esempi Esercizi Calcola: MENU GENERALE MENU RAZIONALI

I numeri decimali Uno stesso numero razionale può essere rappresentato da tante frazioni diverse, purchè tutte equivalenti fra loro. Ad esempio le frazioni , , rappresentano lo stesso numero razionale perché sono equivalenti. Ma vi è un altro modo di rappresentare i numeri razionali: la scrittura decimale. MENU GENERALE MENU RAZIONALI

La scrittura esprime il risultato della divisione m : n. Quindi: Come si può notare, mentre le prime due frazioni hanno dato luogo ad un numero decimale finito, le altre sono espresse da un numero decimale illimitato, in cui però ci sono dei gruppi di cifre che si ripetono costantemente, cioè un numero decimale periodico. La domanda che ci si pone è la seguente: dato un numero razionale espresso sotto forma di frazione, come sarà la sua rappresentazione decimale? MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Sono ad esempio frazioni decimali Definizione Si chiama frazione decimale una frazione che ha per denominatore una potenza del 10 con esponente maggiore di zero. Sono ad esempio frazioni decimali , , , Ogni frazione decimale si può rappresentare con un numero decimale finito. Infatti la divisione per una potenza del 10 comporta un semplice spostamento a sinistra della virgola: , MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Le potenze del numero 10 danno luogo ad una scomposizione che contiene come fattori primi solo potenze del 2 e del 5. Se una frazione, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero che ha come fattori della scomposizione solo potenze del 2 e/o del 5, è facile trasformarla in una frazione equivalente che sia una frazione decimale, che dà origine cioè ad un numero decimale finito. Per esempio: MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Un numero decimale finito può essere sempre scritto per mezzo di una frazione decimale moltiplicando e dividendo per le opportune potenze del 10. Ad esempio: Se una frazione ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero la cui scomposizione contiene altri fattori oltre al 2 e al 5, essa non potrà essere trasformata in una frazione decimale, e quindi il numero decimale ad essa associato non potrà essere finito. MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Ad esempio la frazione dà origine ad un numero decimale illimitato. Ma questo vale per tutte le frazioni con a denominatore un numero la cui scomposizione contiene altri fattori oltre al 2 e al 5? Quando eseguiamo una divisione a:b otteniamo un quoziente intero con un resto che è minore del divisore b (ad esempio 17:6=2 con resto 5, e 5 è minore di 6). Si può proseguire la divisione moltiplicando per 10 il resto e dividendo di nuovo. Otteniamo come quoziente la prima cifra decimale ed un nuovo resto con le stesse caratteristiche del precedente (50 : 6 = 8 con resto 2, e 2 è minore di 6). Se ripetiamo il procedimento altre volte, non troveremo comunque mai resto zero, altrimenti il numero decimale sarebbe finito e la frazione sarebbe una frazione decimale, cosa che abbiamo esclusa. Il resto sarà dunque una cifra compresa tra 1 e b (nell’esempio il resto potrà solo assumere i valori 1, 2, 3, 4, 5). Perciò dopo al massimo b divisioni (6 divisioni nell’esempio), la cifra del resto dovrà ripetere un valore precedente. Da quel punto in poi i quozienti ed i rispettivi resti si dovranno ripetere in successione costante. MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Esempi si scrive si scrive si scrive si scrive Un numero come o si dice periodico semplice perché il periodo, cioè il gruppo di cifre che si ripetono, inizia subito dopo la virgola. Un numero come o si dice periodico misto perché il periodo non inizia subito dopo la virgola. In quest’ultimo caso, la parte compresa tra la virgola ed il periodo si chiama antiperiodo Ad esempio: non c’è antiperiodo 53 periodo 6 antiperiodo 3 periodo 57 antiperiodo 8 periodo 1 antiperiodo 24 periodo MENU GENERALE MENU RAZIONALI

La frazione che genera un numero decimale periodico è determinabile mediante una semplice regola. La frazione generatrice di un numero decimale periodico è una frazione che ha per numeratore la differenza tra il numero intero che si ottiene togliendo la virgola ed il numero intero che si ottiene eliminando le cifre del periodo, e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo. Esempi MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Riassumendo, possiamo dire che: Una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero la cui scomposizione contiene solo potenze del 2 e/o del 5, dà origine ad un numero decimale finito Una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero la cui scomposizione contiene altri fattori oltre al 2 e al 5, dà origine ad un numero decimale periodico Un numero razionale quindi può essere espresso o da una qualsiasi delle frazioni equivalenti tra loro secondo la relazione di equivalenza introdotta o dalla sua espressione decimale: sono espressioni diverse dello stesso numero razionale. MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Esercizi 1) Scrivi sotto forma di numero decimale le frazioni che seguono: 2) Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali: 3) Trasforma i seguenti numeri decimali in frazioni: 4) Senza eseguire le divisioni, stabilisci quali frazioni danno origine a numeri decimali finiti, quali a numeri decimali periodici semplici, quali a numeri decimali periodici misti. MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Confronto tra frazioni Confrontare due frazioni se queste hanno lo stesso denominatore è semplice: la frazione maggiore è quella che ha il numeratore maggiore. D’altra parte, se due frazioni non hanno lo stesso denominatore, se ne possono scegliere altre ad esse rispettivamente equivalenti che abbiano lo stesso denominatore. Per fare ciò possiamo considerare le due frazioni che hanno per denominatore il m.c.m. fra i denominatori delle due frazioni, o anche il prodotto stesso dei due denominatori. Date due frazioni e prenderemo dunque le frazioni ad esse equivalenti e potremo dire che se e solo se Per confrontare due numeri razionali positivi possiamo allora confrontare due qualsiasi frazioni che li rappresentino. MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Esempi infatti infatti infatti infatti ed è perchè infatti MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Esercizi 1) Ordina in senso crescente i seguenti numeri razionali: 2) Confronta le seguenti coppie di frazioni e individua la minore MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Il concetto di numero razionale Supponiamo di avere a disposizione una serie di nove bicchieri graduati tutti uguali e due siringhe da 10ml: una per l’acqua e una per l’inchiostro. Immettiamo nei primi tre bicchieri rispettivamente 1ml, 5ml e 10ml di inchiostro e tanta acqua quanto basta per portare il livello del liquido a 10ml. Nella seconda serie da tre bicchieri immettiamo rispettivamente 2ml, 10ml e 20 ml di inchiostro e tanta acqua quanto basta per portare il livello del liquido a 20ml. Infine nella terza serie da tre bicchieri immettiamo rispettivamente 3ml, 15ml e 30ml di inchiostro e tanta acqua quanto basta per avere un livello del liquido risultante pari a 30ml. 5/10 10/10 1/10 2/20 10/20 20/20 3/30 15/30 30/30 MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Il rapporto inchiostro/liquido-totale naturalmente varia tra i bicchieri e può essere espresso attraverso una frazione numerica. La cosa interessante è che i bicchieri aventi del liquido con la stessa gradazione di colore sono rappresentati da frazioni tra loro equivalenti. Questo ci permette di affermare che operando una partizione dell’insieme dei bicchieri in base al criterio del colore, tali bicchieri formano una classe di equivalenza. Se non abbiamo limitazioni sulla quantità d’acqua e di inchiostro, possiamo ottenere un dato colore in numero infinito di modi, poiché esistono infinite frazioni equivalenti ad una data. Ciò significa che ogni classe di equivalenza individuata dal colore è costituita da infinite frazioni. Chiameremo ciascuna classe di equivalenza col nome di numero razionale. Nel nostro gioco mentre a ogni bicchiere corrisponde una frazione, a ogni colore corrisponde un numero razionale. Il numero razionale rappresenta il rapporto fra il numeratore e il denominatore delle frazioni equivalenti che esso rappresenta MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Esercizi Scrivi almeno 5 frazioni di una classe di equivalenza individuata dal numero razionale 2) Scrivi il rappresentante della classe di equivalenza cui appartengono le seguenti frazioni: 3) Indica fra le seguenti frazioni quelle corrispondenti allo stesso numero razionale: MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Test finale A MENU GENERALE MENU RAZIONALI 1) 7 signore dividono una pezza di seta in parti uguali, ma 3 di esse decidono di mettersi in comune e di usare 2/5 della loro seta per fare abiti di Carnevale. Se la seta era 70 metri, quanti metri serviranno per gli abiti di carnevale? 2) Lorenzo si versa nel bicchiere ¼ della bottiglia di aranciata. Se Ilaria, con una spinta, gliene fa cadere 2/3, quale frazione dell’aranciata della bottiglia è caduta? Sapresti dire, allora, quale frazione di tale aranciata rimane a Lorenzo? 3) Ognuno di noi ha ricevuto metà del corredo cromosomico dal padre e metà dalla madre. Quale frazione abbiamo del corredo cromosomico del nonno? E del padre di questi? 4) L’acqua di un grosso condotto viene suddivisa in 5 condotti uguali e ognuno di questi riversa la sua acqua in 5 tubi, ognuno dei quali porta acqua a 5 ville. Se nel condotto iniziale fluiscono 5000 litri di acqua al secondo, quanta acqua al secondo arriverà a ogni villa? Essa equivale a quale frazione dell’acqua iniziale? 5) Il capitale di Marco aumenta ogni anno diventando i 5/4 dell’anno precedente. Di quanto sarà aumentato dopo 3 anni? E dopo 5 anni? E dopo n anni? 6) Devo dividere 9 litri di olio in ampolle da 3/8 di litro. Quante ampolle occorreranno? 7) Divido 3 focacce fra 4 amici. Se gli amici diventano 20, quante focacce dovrò avere per dar loro sempre la stessa quantità? 8) Se le donne che ricoprono le alte cariche pubbliche da 7/30 diventassero 2/9, per i movimenti paritari questo sarebbe un traguardo augurabile oppure no? 9) Luigi guadagna 5/4 dello stipendio di Alessio, mentre Andrea guadagna i 7/3 dello stipendio di Alessio. Chi guadagna di più? 10) Percorro in macchina 5/8 della strada e in bicicletta 3/10. Il resto della strada è ancora di 6 chilometri. Quanto è lungo tutto il percorso? MENU GENERALE MENU RAZIONALI

Calcola il valore delle seguenti espressioni: Test finale B Calcola il valore delle seguenti espressioni: MENU GENERALE MENU RAZIONALI

RAPPORTI E PROPORZIONI PROPORZIONALITA’ DIRETTA ED INVERSA MENU GENERALE

Dal rapporto alla proporzione Proprietà delle proporzioni MENU PROPORZIONI MENU GENERALE

Dal rapporto alla proporzione Dati due numeri a e b, con b≠0, si chiama rapporto fra i due numeri il quoziente ottenuto dividendo il primo per il secondo, cioè a : b. Si chiama invece, rapporto inverso il quoziente ottenuto dividendo il secondo per il primo, cioè b : a. Tale numero sarà un numero razionale esprimibile sotto forma di frazione. Esempi di rapporti Rapporto fra numeri: è il numero che si ottiene dividendo il primo numero per il secondo. (2 : 5 = 0,4) Rapporto tra grandezze omogenee: è il numero che si ottiene dividendo la prima grandezza per la seconda (o la misura della prima grandezza rispetto alla seconda). (15kg : 3kg = 5kg) Rapporto fra grandezze eterogenee: è la grandezza che si ottiene dividendo la prima grandezza per la seconda (40m : 5s = 8m/s) MENU GENERALE MENU PROPORZIONI

L’uguaglianza di due rapporti è una proporzione: In un rapporto, il dividendo viene detto antecedente e il divisore conseguente. L’uguaglianza di due rapporti è una proporzione: a : b = c : d Tale uguaglianza si legge in questo modo: “Il rapporto fra a e b è uguale al rapporto fra c e d” oppure: “a sta a b come c sta a d”. I numeri che compaiono nella proporzione vengono detti termini della proporzione. In particolare il primo e il quarto vengono detti estremi, il secondo e il terzo medi. Una proporzione si dice continua se i medi sono uguali Esempio: 36 : 12 = 12 : 4 In generale la forma di una proporzione continua è la seguente: a : b = b : c In una proporzione continua b viene detto medio proporzionale MENU GENERALE MENU PROPORZIONI

La proprietà fondamentale In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. SE a : b = c : d ALLORA b x c = a x d Esempi 7 : 2 = 21 : 6 → 2 x 21 = 7 x 6 = 42 → Grazie alla proprietà fondamentale possiamo quindi verificare se quattro numeri, in un dato ordine, formano una proporzione. Adesso andremo a vedere come, sfruttando la proprietà fondamentale, è possibile calcolare un termine incognito conoscendo gli altri termini della proporzione. MENU GENERALE MENU PROPORZIONI

Se applichiamo la proprietà fondamentale otteniamo: 1 ∙ x = 900 ∙ 2,5 Poniamoci una domanda su un problema abbastanza semplice: se un operaio percepisce 900€ in un mese quanti euro percepirà in due mesi e mezzo? In questo caso, basterà moltiplicare 900 per 2,5 e otterremo il risultato. Ma se pensiamo il problema in termini di rapporti tra i termini numerici che vi compaiono, potremmo andare a scrivere la seguente proporzione: 900 : 1 = x : 2,5 Se applichiamo la proprietà fondamentale otteniamo: 1 ∙ x = 900 ∙ 2,5 Il termine incognito a questo punto sarà dato proprio dal prodotto tra i termini numerici dati. Quindi attraverso la proprietà fondamentale possiamo calcolare il valore dell’incognita tenendo conto ogni volta della posizione che essa occupa all’interno della proporzione. In particolare: MENU GENERALE MENU PROPORZIONI

SE a : b = b : c ALLORA b ∙ b = a ∙ c. Se il termine incognito è un estremo, esso si calcola dividendo il prodotto dei medi per l’estremo noto. Esempi x : 3 = 4 : 9 Per la proprietà fondamentale 3 ∙ 4 = x ∙ 9 e quindi Se il termine incognito è un medio, esso si calcola dividendo il prodotto degli estremi per il medio noto. Esempi 5 : x = 15 : 7 → Se la proporzione è continua e il termine incognito è un medio allora esso sarà dato dalla radice quadrata del prodotto degli estremi; se il termine incognito invece sarà un estremo lo si otterrà dividendo il quadrato del medio per l’altro estremo. SE a : b = b : c ALLORA b ∙ b = a ∙ c. Cioè b2 = a ∙ c. Dunque e mentre Esempi 3 : x = x : 12 → MENU GENERALE MENU PROPORZIONI

Proprietà delle proporzioni Le proporzioni godono di interessanti e utilissime proprietà che ne fanno uno strumento molto potente nella risoluzione di problemi riguardanti i più diversi ambiti. Riuscire ad applicare nella maniera corretta tali proprietà è fondamentale nella risoluzione di tali problemi. Vediamole tutte quante. PROPRIETA’ DELL’INVERTIRE Data la proporzione a : b = c : d, poiché, se due rapporti sono uguali, lo sono anche i loro inversi, si può scambiare di ogni posto ogni antecedente col proprio conseguente, e la proporzione resta valida. SE a : b = c : d ALLORA b : a = d : c Esempi MENU GENERALE 6 : 3 = 24 : 12 diventa 3 : 6 = 12 : 24 9 : 2 = 45 : 10 diventa 2 : 9 = 10 . 45 MENU PROPORZIONI

PROPRIETA’ DEL PERMUTARE In ogni proporzione, poiché il prodotto dei medi è eguale al prodotto degli estremi e il prodotto è commutativo, è possibile scambiare di posto i medi fra loro e/o gli estremi fra loro, e la proporzione resta valida. SE a : b = c : d ALLORA Esempio permutando i medi 4 : 20 = 6 : 30 4 : 6 = 20 : 30 permutando gli estremi 30 : 6 = 20 : 4 Se in una proporzione i medi e gli estremi vengono permutati simultaneamente si ottiene un risultato “banale” cioè la proporzione scritta a rovescio. Esempio 7 : 5 = 21 : 15 diventa 15 : 21 = 5 : 7 MENU GENERALE MENU PROPORZIONI

PROPRIETA’ DEL COMPORRE In una proporzione, la somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo) come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo (o al quarto). a : b = c : d → (a + b) : a = (c + d) : c oppure (a + b) : b = (c + d) : d Esempi 4 : 7 = 12 : 21 Applicando la proprietà del comporre otteniamo: (4 + 7) : 4 = (12 + 21) : 12 cioè 11 : 4 = 33 : 12 Quella che abbiamo ottenuto è una nuova proporzione. Infatti: 4 ∙ 33 = 11 ∙ 12 = 132. MENU GENERALE MENU PROPORZIONI

PROPRIETA’ DELLO SCOMPORRE La differenza fra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo) come la differenza fra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto). Data la proporzione : a : b = c : d, se a > b e c > d si ha che (a – b) : a = (c – d) : c oppure (a – b) : b = (c – d) : d; se, invece, a < b e c < d, prima di eseguire le sottrazioni si dovrà applicare ai termini della proporzione la proprietà dell’invertire. Esempio 7 : 2 = 28 : 8 Applichiamo la proprietà dello scomporre: (7 – 2) : 2 = (28 – 8) : 8 cioè 5 : 2 = 20 : 8 Si è ottenuta una nuova proporzione. Infatti 2 ∙ 20 = 5 ∙ 8 = 40 MENU GENERALE MENU PROPORZIONI

Le proprietà del comporre e dello scomporre si rivelano utilissime quando si tratta di risolvere problemi del tipo “somma-rapporto” e del tipo “differenza-rapporto”. Esempio Il rapporto fra due numeri è 2/5 e la loro somma è uguale a 40. Determinare i due numeri. x + y =40 x :y = 2 : 5 Applicando la proprietà del comporre otteniamo: (x + y) : x = (2 + 5) : 2 40 : x = 7 : 2 Esercizio Determina due numeri la cui differenza è pari a 22 e il cui rapporto è uguale a 3/2. (devi applicare la proprietà dello scomporre) MENU GENERALE MENU PROPORZIONI

Esercizi Trova quali dei seguenti rapporti sono equivalenti a 21/9: 3/7; 7/3; 25/13; 210/90; 49/21 2) Calcola il valore di x 3) Calcola il, termine incognito 4) Trova due numeri sapendo che la loro somma è 45 e il loro rapporto 4/5 5) Nell’anidride solforica il rapporto fra le masse di zolfo e di ossigeno è 2/3. Quanti grammi di zolfo sono contenuti in 250g di anidride solforica? 6) Se Mario e Carlo hanno in tutto 240 figurine e Carlo ne possiede i 3/5 di quelle di Mario, quante ne ha ciascuno? MENU GENERALE MENU PROPORZIONI

Grandezze direttamente ed inversamente proporzionali Prima di analizzare nei dettagli l’argomento riguardante la proporzionalità diretta e inversa fra grandezze, è opportuno ritornare brevemente su un concetto tipicamente matematico che trova largo uso nelle scienze sperimentali: quello di funzione. Si considerino due grandezze qualsiasi che per comodità indichiamo con x e y. Spesso si verifica (soprattutto in fisica) che scelte le due grandezze in modo opportuno, al variare della prima (la x) anche la seconda (la y) subisca variazioni. Se poi la legge è tale che ad ogni valore assunto dalla x, è possibili associare uno ed un solo valore della y diremo allora che y è funzione di x. Denoteremo questa condizione con la scrittura y = f(x) nella quale la grandezza x viene detta variabile indipendente mentre la grandezza y variabile dipendente nel senso che i valori assunti da questa dipendono da quelli assegnati alla x. MENU GENERALE MENU PROPORZIONI

Consideriamo ora un’esperienza nella quale vengono pesati blocchetti di ferro di volume assegnato e rispettivamente uguale a 1, 2, 3, 4, 5, 6 cm3. La tabella che segue mostra i valori del peso al variare del volume. Volume (cm3) 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 Peso (g) 7.8 15.6 23.4 31.2 39.0 46.8 Osservando attentamente la tabella ci si rende conto che esiste una regolarità tra i valori assunti dalle due grandezze fisiche, e cioè quando il volume raddoppia, triplica, ecc., anche il peso raddoppia, triplica, ecc… Possiamo esprimere questa regolarità anche notando che il rapporto tra il peso P ed il volume V si mantiene costante. Infatti: MENU GENERALE MENU PROPORZIONI

In generale quando due grandezze x e y sono tali che il loro rapporto si mantiene costante diremo allora che le due grandezze sono direttamente proporzionali. In formule scriveremo : (dove k rappresenta una qualsiasi costante) e chiameremo questa legge della proporzionalità diretta. Si considerino ora l’insieme dei rettangoli aventi per area un valore dato A. Se si indicano con b e h rispettivamente la base e l’altezza dei rettangoli in questione, l’espressione che determina l’area sarà b ∙ h = A Anche in questo caso tra le due grandezze esiste una dipendenza ma di tipo completamente diverso da quella vista sopra. Ora infatti è immediato riconoscere che se il valore di b raddoppia, triplica ecc., affinchè l’area si mantenga sempre uguale ad A. occorre necessariamente che il valore di h diventi rispettivamente la metà, un terzo, ecc. MENU GENERALE MENU PROPORZIONI

x ∙ y = k (k costante qualsiasi) In generale quando due grandezze x e y sono tali che il loro prodotto si mantiene costante diremo allora che le due grandezze sono inversamente proporzionali. In formule scriveremo x ∙ y = k (k costante qualsiasi) e chiameremo questa legge della proporzionalità inversa. La rappresentazione attraverso una tabella può aiutare a comprendere meglio quanto è stato detto. Posto A = 24 cm2 assegniamo valori arbitrari alla base b e determiniamo i corrispondenti valori dell’altezza h. base b (cm) 1 2 3 4 6 8 12 24 Altezza h (cm) MENU GENERALE MENU PROPORZIONI

ESERCIZI Diretta Inversa Nessun legame 1) Stabilisci se tra le seguenti coppie di grandezze variabili esiste una relazione di proporzionalità diretta, inversa oppure non esiste alcun legame di proporzionalità. Diretta Inversa Nessun legame Calorie assimilate e peso di una persona Superficie e altezza di un trapezio Strada percorsa e benzina consumata da un’auto Numero di operai e tempo di esecuzione di un lavoro Crescita di una pianta e tempo MENU GENERALE MENU PROPORZIONI

2) Individua le relazioni fra gli elementi delle seguenti tabelle e trova gli elementi mancanti. x 2 4 6 10 y 1 3 … x 2 4 8 16 y … x 1 5 8 10 y 3 7 … x 4 5 7 6 y 9 11 15 … MENU GENERALE MENU PROPORZIONI