Funzioni Una funzione (o applicazione) fra due insiemi A e B è una legge che associa a ciascun elemento di A uno e un solo elemento di B. L'insieme di partenza A è il dominio della funzione; l'insieme di arrivo B il codominio. In simboli, una funzione f di dominio A e codominio B verrà indicata con f:A→B. Se la funzione f manda l'elemento a appartenente ad A nell'elemento b appartenente a B, scriveremo b = f(a), e diremo che b è immagine di a tramite f. L'insieme degli elementi di B che sono immagine tramite f di elementi di A è l'immagine di f, e viene indicata con Im f oppure con f(A);

f(A) = {b Є B | b = f(a) per qualche a Є A} Oppure in modo più compatto: f(A) ={f(a) Є B \ a Є A}

b = f(a) Variabile dipendente Variabile indipendente Mentre a può essere qualsiasi elemento del dominio e dunque variabile indipendente, l’ elemento b del codominio è determinato univocamente da a e da f e pertanto è la variabile dipendente.

Esempi: Il lancio di un dado genera sei eventi e se il dado non è truccato tutti hanno la stessa probabilità. La probabilità è un numero tra 0 e 1 . Dunque una prova aleatoria da luogo ad una funzione che associa ad ogni evento un numero reale compreso tra 0 e 1 1/6 Numeri reali da 0 a 1 Codominio Dominio

Si consideri l’ insieme dei bambini (A) e l’ insieme delle donne (B) Si consideri l’ insieme dei bambini (A) e l’ insieme delle donne (B). Mediante la funzione mamma (f) è possibile associare ad ogni bambino la donna che lo ha generato. Ma se consideriamo come insieme di partenza le mamme e come insieme di arrivo i bambini questa è anch’ essa una funzione ? ? f:{mamme}→ {bambini}

L’ andamento della popolazione italiana dall’ unità di Italia ad oggi è una funzione che presenta come dominio gli anni dal 1861 ai giorni nostri e come codominio la popolazione italiana in ciascun anno. Ovviamente questa funzione non è trasformazione algebrica del dominio ma è ottenuta osservando empiricamente la popolazione italiana nel trascorrere degli anni.

Funzioni suriettive, iniettive e biettive, : dominio A: l'insieme su cui una funzione è definita codominio B: l'insieme di valori che una funzione può assumere immagine: l'insieme di valori che una funzione assume, ovvero gli elementi b del codominio per i quali esiste almeno un elemento a del dominio A tale che f(a)=b  funzione suriettiva: quando l'immagine coincide col codominio, cioè per ogni elemento b del codominio per i quali esiste almeno un elemento a del dominio A tale che f(a)=b  funzione iniettiva: quando elementi distinti del dominio hanno un'immagine distinta, cioè ogni elemento del codominio corrisponde a un solo o a nessun elemento del dominio. una funzione allo stesso tempo iniettiva e suriettiva è biettiva   funzione biettiva: o corrispondenza biunivoca, è una funzione che a ogni elemento del dominio A corrisponde uno e un solo elemento del codominio B, e a ogni elemento di B corrisponde uno e un solo elemento di A.

Funzioni biiettive posseggono l’ inversa: Si considera la seguente funzione biiettiva: f: A→B. Chiameremo funzione inversa: f—1(B) = A Ovvero:

ESEMPI SURIETTIVE INIETTIVE BIIETTIVE codice fiscale (fare esempio) A={bambini}; B = {mamme} ; ƒ: "essere figlio di" Ogni mamma (per definizione!) lo è di qualche bambino . Un figlio purtroppo può essere orfano di madre ma se si ha una mamma questa è unica, non esiste una mamma che non abbia un figlio (non stiamo qui a precisare le tragedie che possono capitare..). INIETTIVE A: {donne}; B: {uomini}; ƒ: (in un paese monogamico) “essere sposata con" Ogni uomo (elemento del codominio) può essere sposato con una o nessuna donna (elemento del dominio), non accade mai che due donne (elementi del dominio) siano sposate con lo stesso uomo (elemento del codominio). Ovviamente stiamo parlando di paesi monogami. BIIETTIVE codice fiscale (fare esempio)

Esempio: la funzione : è definita per tutti i reali ad eccezione di 0. Gran parte del nostro corso si occuperà di funzioni reali di una variabile reale ovvero di funzioni f con dominio costituito da numeri reali se non da tutti i numeri reali e un codominio costituito dai numeri reali, dunque: Per queste funzioni è dunque essenziale stabilire i valori che definiscono il dominio della funzione. Il dominio della funzione viene chiamato Campo di Esistenza. Esempio: la funzione : è definita per tutti i reali ad eccezione di 0. Dunque il suo Campo di Esistenza è: La funzione: ha come Campo di Esistenza :