.. Il Fiocco di Neve .. .. In Matematica ..

Tutto parte dalla curva di Koch..

La Curva di Koch è una delle prime curve frattali di cui si conosca una descrizione. È apparsa in un documento del 1904 intitolato "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire" del matematico svedese Helge von Koch.

.. la curva di Koch .. Un frattale tra i più conosciuti è la curva di Elge von Koch. Tale curva è una curva continua. Considerato di nuovo il segmento AB lo si divide in tre parti e poi si toglie il segmento centrale CE, sulla parte vuota infine si costruisce sempre da una stessa parte un triangolo equilatero CDE privo del lato CE.

Si ripete la costruzione precedente su ognuno dei segmenti AC, CD, DE ed EB Proseguendo l'iterazione della costruzione si ottiene

dopo ulteriori passaggi: Iterando infinite volte la poligonale essa si avvicinerà ad una curva, in quanto ad ogni applicazione della costruzione si sostituisce a 3 segmenti uguali 4 segmenti.

Applicazione della curva di Koch al fiocco di neve. Anche la stilizzazione del fiocco di neve avviene usando una costruzione simile a quella precedente partendo da un triangolo equilatero ABC e costruendo poi il triangolo che ha il lato 1/3 del lato del triangolo precedente verso l'esterno. La prima iterazione porta a:

poi proseguendo nelle iterazioni si ottiene la figura seguente che è la rappresentazione di un fiocco di neve:

Corrispondente alla curva di Koch sui quadrati .. la curva di Peano .. Corrispondente alla curva di Koch sui quadrati

Si riprenda il segmento AB e lo si divida ora in tre parti e si costruiscano due quadrati CEFD e CELG di lato CE=1/3 AB, come in figura: Il percorso ACGLEFDCEB ci dice che è possibile percorrere l'intera poligonale da A a B senza passare due volte per lo stesso tratto. Iterando poi su ognuno dei nove segmenti la costruzione precedente si ottiene:

Le successive iterazioni danno luogo ad una figura simile alla seguente

Si presenta un quadrato a griglia e proseguendo nella iterazione del procedimento si avrà l'impressione di arrivare ad annerire il quadrato, ciò sembra un paradosso in quanto una linea ha dimensione mentre il quadrato è una superficie. Questo è il paradosso a cui era giunto Peano nel 1890.

.. la curva di Sierpinsky ..

Si riprenda la costruzione di Peano e si tolga il segmento centrale CE e cosi si ottiene la base per la curva di Sierpinski:

dopo una iterazione: e successivamente: