Teoria delle decisioni Ricerca operativa Teoria delle decisioni

Sommario Introduzione Premesse Definizione di ricerca operativa Fasi di uno studio di ricerca operativa Problemi di scelta Esempi Chiudi

Introduzione Uno dei fenomeni caratteristici di questo secolo è la rapida espansione delle organizzazioni umane, sia nelle loro dimensioni sia nella loro complessità. Viste le dimensioni delle imprese moderne, le scelte direzionali possono coinvolgere quantità notevoli di capitali e risorse umane. Le conseguenze di una scelta sbagliata possono mandare in fumo anni di lavoro ed ingenti capitali; D’altro canto il ritmo della vita e dell’economia attuali esigono decisioni in tempi rapidi. Per questi motivi sono nati metodi e tecniche capaci di dare una base più obbiettiva e meno frammentaria alle decisioni che si devono prendere in qualsiasi campo dell’attività umana. La ricerca operativa si occupa delle tecniche e dei metodi che sono di supporto alle decisioni in campo economico ed organizzativo. Sommario

Premesse Il termine “ RICERCA OPERATIVA” sembra sia stato usato per la prima volta nel 1939, ma una volta individuata e definita la RO, le sue origini furono fatte risalire a tempi molto lontani della scienza e della società. Fra gli esempi isolati, ma importanti di anticipazione dei metodi della RO possiamo ricordare i seguenti : Nel 1776 il matematico G.MONGE ha affrontato un problema di trasporti esaminandone con metodi analitici gli aspetti economici. Nel 1885 F.W. TAYLOR ha pubblicato uno studio sui metodi di produzione Nel 1908 A.K. ERLANG ha studiato il problema della congestione del traffico telefonico. Tuttavia il progresso della RO non si sarebbe forse verificato se non fosse stato per i suoi sviluppi nelle organizzazioni militari durante la seconda guerra mondiale. Continua

Premesse (continua) I responsabili militari inglesi si rivolsero agli scienziati per chiedere il loro aiuto, quando iniziò l’attacco aereo tedesco sulla Gran Bretagna. L’aiuto specifico chiesto agli scienziati riguardava l’adozione del radar nella strategia di difesa aerea. Piccoli gruppi di scienziati, provenienti da diverse discipline, lavorarono su questi problemi con notevole successo nel 1939,1940. Questi gruppi di scienziati venivano generalmente assegnati i responsabili delle operazioni militari e quindi il loro lavoro divenne noto come “Ricerca Operativa”. Durante la guerra altri gruppi di scienziati fiancheggiarono i responsabili militari americani, è da ricordare lo studio fatto per approvvigionare i reparti militari che operavano in Africa od in Europa, in modo da rendere minime le perdite causate dagli attacchi aerei tedeschi durante l’attraversamento dell’Oceano Atlantico. Si trattava di scegliere tra convogli di grosse dimensioni e superdifesi e piccoli convogli con una difesa più agile e meno dispendiosa. Per la cronaca fu scelta questa seconda via. Dopo la guerra, questi operatori vennero, poco a poco, assorbiti dall’industria, dalle aziende di consulenza, da università e da organizzazioni statali. Oggi la maggior parte delle grandi imprese si serve della RO. Nel 1957 fu stabilita la ‘International Federation of Operational Research’ Sommario

Definizione di ricerca operativa Dare una definizione di RO per dichiararne gli scopi e farne intendere la natura non è facile. Si potrebbe definire: “ L’ arte di rispondere male a quei quesiti a cui altrimenti si risponderebbe peggio” Questa definizione , più che una battuta, vuole mettere in evidenza la difficoltà di applicazione, ma nello stesso tempo, la necessità della ricerca operativa. Fra le molte definizioni che si sono date la migliore è da ritenere questa: “La Ricerca Operativa è la preparazione scientifica delle decisioni” Più precisamente: La Ricerca operativa è l’applicazione del metodo scientifico da parte di gruppi interdisciplinari a problemi che implicano il controllo di sistemi organizzati (uomo-macchina) allo scopo di fornire soluzioni che meglio servano alle finalità dell’organizzazione nel suo insieme. Sommario

Fasi di una ricerca operativa 1 – Formulazione del problema 2 – Raccolta dei dati 3 – Costruzione del modello matematico 4 – Ricerca di una soluzione 5 – Controllo del modello e della soluzione 6 – Attuazione e aggiornamento della soluzione Sommario

Formulazione del problema Contrariamente agli esempi didattici, i problemi pratici sono comunicati ad un gruppo di RO in modo vago ed impreciso. E’ quindi necessario ben determinare gli obbiettivi appropriati, i vincoli da porre, le intercorrelazioni tra il settore da studiare e gli altri settori dell’organizzazione ecc… Questa fase è fondamentale, perché influenza molto le conclusioni dello studio e sfocia nella seconda fase dello studio cioè la raccolta dei dati. Fasi

Costruzione del modello matematico I modelli matematici sono rappresentazioni astratte di situazioni reali espresse in termini di simboli ed espressioni matematiche. Ci sarà sempre una funzione obbiettivo (o funzione di utilità, o funzione economica) da massimizzare(ricavi, profitti, vendite) o minimizzare(costi, perdite, macchinari, infrastrutture); tale funzione dipenderà da una o più variabili d’azione (o variabili di decisione) di cui si dovranno determinare i rispettivi valori. Le variabili spesso sono legate tra di loro, e devono sottostare a determinate limitazioni. Tutto questo sarà rappresentato nel modello da equazioni e da disequazioni. Fasi

Ricerca di una soluzione Creato il modello matematico, si cerca, se esiste, la soluzione ottimale, o con i metodi della matematica classica, o con metodi di analisi numerica, oppure con tecniche di iterazione partendo da una soluzione e cercando di migliorarla. Una soluzione ottimale è quella che massimizza o minimizza (a seconda dei casi) la misura del rendimento in un modello. L’ottimizzazione produce, quindi, la soluzione ottima del problema che viene formulato sotto forma di modello. Poiché un modello non è mai una rappresentazione perfetta del problema reale, la soluzione non è mai la migliore soluzione del problema, ma tanto più si avvicinerà alla migliore soluzione quanto più il modello sarà ben costruito. Fasi

Controllo del modello e della soluzione Trovata la soluzione ottimale nel modello, bisogna verificare la corrispondenza tra il modello e la realtà e la soluzione deve essere valutata. In pratica il funzionamento del modello deve essere confrontato con la politica o la procedura che deve sostituire. Alcuni controlli utili per il modello sono questi : Controllare se esistono errori banali ( di trascrizione, di calcolo, …), se si sono dimenticati fattori o relazioni importanti. Controllare che tutte le espressioni matematiche siano dimensionalmente coerenti con le unità di misura usate. Variare i parametri di input, le variabili di decisione e controllare se i risultati sono attendibili. Fasi

Attuazione e aggiornamento della soluzione Dato che l’obbiettivo della RO non è solo quello di produrre rapporti ma, soprattutto, di migliorare il comportamento di sistemi, i risultati devono essere praticamente attuati, dopo essere stati accettati da coloro che devono prendere delle decisioni. A questo punto si fa l’ ultima prova e valutazione della ricerca. Infine, se la decisione oggetto dello studio dovrà essere presa più volte, bisognerà controllare il modello in modo che si adegui sempre più alla realtà, e se occorre, aggiornarlo. Fasi

Condizioni di certezza Condizioni di incertezza Problemi di scelta Condizioni di certezza Condizioni di incertezza Effetti Immediati Effetti differiti Effetti differiti Campo di scelta discreto Campo di scelta continuo Effetti immediati Investimenti industriali Investimenti finanziari In funzione di una variabile Ogni via dà un risultato Ogni via dà un unico risultato Ad una variabile d’azione A più variabili d’ azione Sommario

Esempi Effetti differiti Effetti differiti Condizioni Certezza Campo di scelta Discreto Effetti Immediati 1 Variabile Campo di scelta Continuo Effetti differiti 2 o più Variabili Condizioni Incertezza Effetti Immediati Effetti differiti Sommario

Campo scelta discreto Esempi Ad una industria viene richiesta la fornitura di un prodotto fabbricato in serie di 200 pezzi ciascuna, in quantità non inferiore a 1200 pezzi giornalieri. Il prezzo per la fornitura di una sola serie al giorno è di L 400.000, per due serie è di L 390000 ciascuna, per tre serie di L 380.000 ciascuna, e cosi via . Il costo di fabbricazione è di L 150.000 per ogni serie, più L 300.000 giornaliere fisse. Determinare il numero più conveniente di serie da fabbricare ogni giorno, tenendo presente che esso non può essere maggiore di 15. Soluzione Per trasportare della merce, ci si può servire di 3 imprese A, B, C, le quali offrono i loro servizi alle seguenti condizioni : L 75.000 a tonnellata L 150.000 fisse, più L 6.000 a tonnellata L 350.000 fisse, più L 5.000 a tonnellata Determinare quando sarà più conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese. Soluzione Per il noleggio di un autocarro è previsto un compenso di L 80 al Km più un canone fisso giornaliero. L’ utente può scegliere il canone tra i seguenti : L 50.000 con 100 Km gratuiti L 55.000 con 200 Km gratuiti L 60.000 con 300 Km gratuiti Determinare l’ alternativa più conveniente a seconda della distanza giornaliera da percorrere. Soluzione Esempi

Campo scelta

Fino a 100 tonnellate Impresa A Tra 100 e 200 Impresa B Impresa C Fino a 100 tonnellate Impresa A Tra 100 e 200 Impresa B Oltre 200 impresa C Campo scelta

Fino Km 162,5 canone A Canone B fino a 262,5 Poi canone C Campo scelta

Campo Scelta continuo con una variabile azione Un’ industria può produrre al massimo 110.000 litri di birra al giorno.Il prezzo unitario base di vendita è L 250 al litro, e diminuisce proporzionalmente alla quantità x venduta secondo la seguente relazione 250 – 0,002 x , cioè del 2 per 1000 per ogni litro venduto. Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa di L 500.000 più 40 – 0,001x per ogni litro prodotto. Determinare la quantità di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno supponendo che tutta la produzione venga venduta. Soluzione I dati relativi a un magazzino di una industria sono i seguenti Consumo giornaliero di materia prima : 100 q Costo di magazzinaggio : L 5 al q/giorno Spesa fissa per ordinazione : L 100.000 Determinare il Lotto economico di acquisto ed il numero di ordinazioni annue Teoria Soluzione In una fabbrica di scarpe si sostiene una spesa fissa giornaliera di L 5.290.000 più una spesa per ogni paio di scarpe, variabile secondo la legge 10.000 + 0,4 x Dove x è il numero di paia di scarpe prodotto giornalmente. Determinare x in modo tale che il costo di un paio di scarpe sia minimo, nelle due ipotesi : Che la massima capacità produttiva sia di 10.000 paia al giorno Che la massima capacità produttiva sia di 15.000 paia al giorno. Soluzione Esempi

Funzione obbiettivo P(x)=R(x)-C(x)= - 0,0019x^2 +210 x – 500000 (Parabola) Massimo nel Vertice x = 55263 Campo scelta continuo

Problema delle scorte di magazzino (Lotto economico d’acquisto) Un tipico problema di scelta nel continuo è il problema delle scorte di magazzino. Si tratta di minimizzare i costi di approvvigionamento e di stoccaggio di materia prima che occorre ad una impresa nel suo ciclo di produzione. Dobbiamo considerare tre tipi di costo : Costi della materia prima Costi fissi per ogni ordinazione Costi di magazzinaggio Osserviamo subito che, per limitare i costi di ordinazione, bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantità , questo però aumenterebbe i costi di magazzino. Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantità immagazzinata. Per costruire il modello matematico (in questo caso il modello sarà una iperbole non equilatera) facciamo alcune astrazioni : Il consumo di materia prima sia costante nell’unità di tempo Il prezzo unitario di acquisto sia costante (non ci siano sconti di quantità) Le spese di magazzinaggio siano direttamente proporzionali alla quantità immagazzinata La funzione obbiettivo Y, da minimizzare, è il costo complessivo (Costo della materia prima + Costi fissi per tutte le ordinazioni annuali + Costi per lo stoccaggio ) . Essa dipende dalla quantità X di materia prima di ogni ordinazione e dal numero di ordinazioni. Indicato con Q il fabbisogno annuo di materia prima, il numero di ordinazioni è Q/X. Chiamiamo C1 il costo fisso di ogni ordinazione Chiamiamo C2 il costo di stoccaggio espresso in L/unità-giorno(Es. L 5 al quintale per ogni giorno) Avendo supposto che il consumo sia costante nel periodo di tempo la giacenza in magazzino sarà X all’ inizio del periodo e nulla cioè 0 alla fine. Mediamente sarà (X+0)/2, cioè X/2. ( Grafico) Continua

Problema delle scorte di magazzino (continua) Troviamo, ora, il costo totale da minimizzare, esso è dato da : Costo totale di ordinazione C1*(Q/X) Costo di magazzinaggio (x/2)*C2*360 = 180 * C2 * X Y = 180*C2*X + C1*(Q/X) Funzione del tipo Y=aX + b/X Per trovare il Minimo vediamo dove si annulla la derivata prima: La soluzione negativa per x non va accettata perché nel nostro caso è priva di significato. Campo scelta continuo

Campo scelta continuo Il lotto economico d’acquisto è 2000 e si Derivata prima Valori che annullano la derivata prima Minimo Il lotto economico d’acquisto è 2000 e si fanno 18 ordinazioni all’anno. Campo scelta continuo

La funzione obbiettivo è il costo medio, da minimizzare Derivata prima Valori che annullano la Derivata prima Capacità Produttiva Ipotesi A Capacità Produttiva Ipotesi B Ipotesi A: Per minimizzare il costo medio bisogna produrre fino al massimo della capacità produttiva, 10.000 paia al giorno con il costo di L. 10929 al paio. 10.929 10.921 Ipotesi B: Per minimizzare il costo medio bisogna produrre 11.500 paia al costo di L. 10921 al paio. 10.000 15.000 Campo scelta continuo

Facciamo ora un esempio di funzione obbiettivo non lineare Problemi tipici di questo tipo sono quelli risolvibili con la programmazione lineare Un’industria fabbrica due tipi di prodotto A e B che richiedono rispettivamente 20 e 30 minuti di macchina e 20, 10 minuti di lavoro manuale. La fabbrica può disporre al massimo di 1200 ore-macchina e di 800 ore-operaio. Determinare le quantità dei due prodotti che conviene produrre giornalmente per avere il massimo utile, sapendo che la vendita di una unità di A procura un utile di L 4.000 ed una unità di B L 5.000 Soluzione Un’industria fabbrica due tipi di prodotto A e B che richiedono rispettivamente 20 e 30 minuti di macchina e 20, 10 minuti di lavoro manuale. La fabbrica può disporre al massimo di 1200 ore-macchina e di 800 ore-operaio.Determinare le quantità dei due prodotti che conviene produrre giornalmente per avere il massimo utile, sapendo che la vendita di una unità di A procura un utile di L 4.000 ed una unità di B L 5.000 Soluzione In un deposito, di una casa editrice, che può portare 120 q, si possono immettere per un volume massimo di 16 m cubi, due tipi di pacchi contenenti rispettivamente 10 dizionari di formato piccolo e 10 di formato grande: Ogni pacco del primo tipo ha volume di 0,01 m cubi e pesa 5 Kg Ogni pacco del secondo tipo ha volume di 0,02 m cubi e pesa 20 Kg Nell’ipotesi che tutti i pacchi siano venduti e che il prezzo di ogni dizionario piccolo sia di L 9.000 e quello di formato grande sia di L 20.000, determinare la ripartizione dei pacchi che consenta il massimo ricavo. Soluzione Facciamo ora un esempio di funzione obbiettivo non lineare Un’ impresa produce due beni x ed y, la funzione costo è data da C = 140x + 190y I prezzi di vendita sono p1 e p2 rispettivamente per x e per y, dove p1 = 660 – 0,8x – 0,2y e p2 = 620 – 0,6x – 0,4y . Determinare la quantità di x e quella di y che massimizzano il profitto. Soluzione Esempi

Programmazione lineare Vertici A(0,0); B(0,2400); Modello Matematico C(2400,0); D(1800,1200) Valori z(0,0)=0 z(0,2400)=12.000.000 z(2400,0)=11.600.000 z(1800,1200)=13.200.000 Regione ammissibile Massimo Vertici Programmazione lineare

Programmazione lineare Vertici A(0,0); B(1600,0); Modello matematico C(0,600); D(800,400). z(0,0)=0 z(1600,0)=144.000.000 z(0,600)=120.000.000 z(800,400)=152.000.000 Regione ammissibile Massimo 6 Vertici Programmazione lineare

Programmazione lineare Evidenziamo solo la parte positiva della funzione obiettivo, in quanto la parte negativa non ci interessa Tracciamo le curve di livello con z=0 z=50.000 z=120625 z=100.000 z=120.000 z=120000 z=120.625 Massimo x=112,5 425 y=425 112,5 Programmazione lineare

Problema delle scorte di magazzino (Lotto economico d’acquisto)