I modelli di valutazione delle opzioni su tassi Il modello di Vasicek Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi

Il modello di Vasicek O. Vasicek, An Equilibrium Characterization of the Term Structure “Journal of Financial Economics”, vol. 5, 1977 Il paper deriva una forma generale di term structure dei tassi di interesse Le ipotesi sono: Il tasso spot segue un processo markoviano continuo Il prezzo dei bond dipende solo dal tasso spot Il mercato è efficiente

Il modello di Vasicek Il tasso a breve termine viene fatto evolvere secondo un processo Ornstein-Uhlenbeck caratterizzato da un coefficiente costante nel drift dove k, θ, σ sono valori costanti e positivi. Questo processo viene anche detto random walk elastico. È un processo markoviano con incrementi distribuiti normalmente. Al contrario del processo Wiener, che con il passare del tempo tende a divergere verso valori infiniti, questo processo è caratterizzato da una distribuzione stazionaria

Il modello di Vasicek Il drift istantaneo rappresenta una forza che porta il processo nel lungo termine verso la media di lungo termine θ, con forza proporzionale alla deviazione del processo dalla media Media di lungo termine La componente stocastica fa fluttuare il processo intorno alla media di lungo termine in modo erratico ma continuo

Il modello di Vasicek La dinamica proposta da Vasicek risulta interessante per alcuni motivi: L’equazione è lineare e può essere risolta esplicitamente Il prezzo del titolo può essere determinato sulla base della seguente Che si calcola come espressione dipendente da k, θ, σ e r(t). Una volta definito il prezzo del titolo si può facilmente calibrare l’intera curva dei tassi.

Il modello di Vasicek Integrando l’equazione del tasso spot, si ottengono le formule per determinare il rendimento e la varianza che sono, rispettivamente

Il modello di Vasicek Si consideri il seguente esempio: Sostituendo i singoli valori nelle equazioni del rendimento e della varianza si ottengono i seguenti valori

Il modello di Vasicek Sulla base dei valori precedentemente stimati, si può dimostrare che una distribuzione normale giustifica l’eventualità di rendimenti negativi, con le seguenti probabilità

Il modello di Vasicek Un vantaggio è quello della mean reversion che permette al tasso a breve di convergere verso il valore di lungo termine ( ). Si consideri il seguente esempio: Il tasso a breve termine dopo 10 anni tende verso il rendimento del 5 per cento.

Il modello di Vasicek

Il modello di Vasicek: la term structure

Il modello di Vasicek: la calibrazione

Il modello di Vasicek: i vantaggi Presenza di mean reversion Trattabilità analitica per il prezzo di un titolo (non è necessario applicare metodologie di simulazione à la Montecarlo) Facilitazione del calcolo ipotizzando un processo del tasso di interesse distribuito normalmente

Il modello di Vasicek: gli svantaggi Utilizzo di parametri non osservabili sul mercato Non perfetta adesione alla struttura a termine iniziale dei tassi rendimenti Il tasso può diventare negativo con probabilità positive I rendimenti dei titoli con differenti scadenze, essendo proporzionali alla varianza, sono correlati fra loro

Il modello di Vasicek: il pricing di un titolo ZC Una volta stimato il processo evolutivo del tasso spot nel tempo secondo il processo descritto da Vasicek è possibile stimare il prezzo di un titolo zero coupon derivandolo dalla seguente

Il modello di Vasicek: il pricing di un titolo ZC Si ottiene la seguente dove

Il modello di Vasicek: il pricing di un titolo ZC Si consideri il seguente esempio Il prezzo di uno zero coupon bond di 5 anni stimato in t(0) alle condizioni definite dai parametri in termini esogeni è di 87,4 con un rendimento annuo composto di 2,72%

Il modello di Vasicek: il pricing di un titolo ZC Ora immaginiamo di stimare uno ZCB a 30 anni Il prezzo scende a 46,8 con un rendimento pari 2,566% su base annua Si noterà come questo rendimento converge verso la mean reversion

Il modello di Vasicek: il pricing di un titolo ZC Se s=t=0 la varianza del tasso di interesse è nulla e il processo del rendimento è governato solo dal drift Ma il modello diventa interessante (perché stocastico) se t>s Supponiamo ora che t=1 con s=0 Il modello Vasicek permette di stimare uno ZCB a scadenza successiva da quella di quotazione Foglio elettronico Vasicek

Il modello di Vasicek: il pricing di un’opzione La possibilità di stimare un titolo a scadenza è la base della valutazione di un’opzione Vasicek nel suo articolo non presenta direttamente le equazioni di stima che vengono derivate dal suo modello da Jamshidian [An Exact Bond Option Pricing Formula, “Journal of Finance”, vol. 44, 1989]

Il modello di Vasicek: il pricing di un’opzione Per stimare il prezzo al tempo t di un’opzione europea (O) con uno strike X, durata T e basata su un titolo zero coupon con scadenza al tempo S è necessario conoscere la distribuzione di r(T) cioè la dinamica della term structure. Dove: ω=1 per le call e ω=-1 per le put Φ(°) è funzione di distribuzione cumulata normale

Il modello di Vasicek: il pricing di un’opzione Si consideri l’esempio seguente (call option scadenza 6 anni con strike 0,95) La procedura di calcolo permette di determinare il premio dell’opzione