Il problema: un percorso ad ostacoli Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici 12 marzo 2013 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Sapreste rispondere senza A DOMANDA … RISPONDI Che cosa intendi per grandezze matematiche? Puoi scrivere alcuni esempi di grandezze? Che cosa intendi per grandezze omogenee? Puoi scrivere alcuni esempi di grandezze omogenee? Che cosa significa misurare una grandezza? Sapreste rispondere senza dubbi a queste domande? Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Le grandezze: il punto di vista della matematica (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) In matematica la teoria delle grandezze ha un’impostazione assiomatica, nella quale il concetto di grandezza è assunto come concetto primitivo, privo di definizione esplicita, caratterizzato da alcuni assiomi. Sia G un insieme i cui elementi sono detti grandezze omogenee. Si assumono come ipotesi a fondamento della teoria i seguenti assiomi: A1) In G è definita una relazione, detta uguaglianza e indicata con il simbolo =, che ha le proprietà - riflessiva: ogni elemento a di G è uguale a se stesso a = a - simmetrica: se a è uguale a b, allora b è uguale ad a a = b  b = a - transitiva: se a è uguale a b e b è uguale a c, allora a è uguale a c a = b e b = c  a = c Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Le grandezze: il punto di vista della matematica (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) L’uguaglianza a cui si fa riferimento assume un significato diverso in base alla particolare classe di grandezza esaminata e il suo sussistere può essere verificato con tecniche specifiche. Per esempio, se G è l’insieme delle lunghezze, per stabilire se due lunghezze sono uguali si opera il trasporto rigido: la lunghezza a di un segmento è uguale alla lunghezza b di un altro segmento se i due segmenti sono sovrapponibili mediante un movimento rigido. Se si tratta del peso, per stabilire l’eventuale uguaglianza si ricorre al posizionamento dei due corpi di cui si confronta il peso ciascuno su un piatto di una bilancia. Per constatare se due corpi hanno la stessa temperatura si può osservare se due colonnine di mercurio raggiungono la medesima altezza in un tubicino capillare (termoscopio), quando esse sono poste a contatto con ciascuno dei due corpi. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Le grandezze: il punto di vista della matematica (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) A2) In G è definita un’operazione, detta addizione ed indicata con +, che associa ad ogni coppia ordinata di elementi a, b di G un terzo elemento c , chiamato somma ed indicato con il simbolo c = a + b Questa operazione deve avere le medesime proprietà dell’addizione tra numeri naturali: - proprietà commutativa: a + b = b + a - proprietà associativa: a + (b + c) = (a + b) + c - esistenza dell’elemento neutro, detto grandezza nulla e indicato con 0: 0 + a = a + 0 = a Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Le grandezze: il punto di vista della matematica (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Anche l’addizione assume un significato specifico in relazione all’insieme di grandezze considerato. Nel caso della lunghezza, se a è la lunghezza di un segmento AB e b è la lunghezza del segmento BC, adiacente ad AB, allora c somma di a con b è la lunghezza del segmento AC. Nel caso della temperatura non ha, invece, senso l'operazione di addizione: se si mescola dell’acqua a 10°C con dell’acqua a 15°C, si ha acqua la cui temperatura non è la somma delle temperature, anzi ha un valore compreso tra 10°C e 15°C. Ne segue che la temperatura non può essere considerata una grandezza, secondo questa impostazione assiomatica. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Le grandezze: il punto di vista della matematica (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) L’addizione introdotta per via assiomatica permette di definire nell’insieme G una relazione: una grandezza a è non minore di una grandezza b, in simboli a ≥ b se esiste in G una grandezza c tale che sia a = b + c Dalla definizione si dimostra facilmente che la relazione è - riflessiva: ogni grandezza è non minore di se stessa a ≥ a - antisimmetrica: se a è non minore di b e b è non minore di a, allora a è uguale a b a ≥ b e b ≥ a  a = b - transitiva: se a è non minore di b e b è non minore di c, allora a è non minore di c a ≥ b e b ≥ c  a ≥ c . La relazione è, dunque, una relazione d’ordine largo; Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Le grandezze: il punto di vista della matematica (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Si dimostra, inoltre, che la grandezza nulla, elemento neutro della addizione, è unica. Ne consegue che è anche possibile definire la sottrazione tra grandezze: se la grandezza a è non minore della grandezza b (a ≥ b) si chiama differenza di a con b la grandezza c indicata con c = a  b tale che a = b + c. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Le grandezze: il punto di vista della matematica (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Sempre a partire dall’addizione è possibile definire il multiplo di un dato elemento dell'insieme G secondo un numero naturale n; considerata una grandezza a e un numero naturale n, il multiplo di a secondo n viene indicato con na In generale, se n  2 la grandezza multiplo di a secondo n è la somma di a con se stessa n volte na = a + a + ... + a . n volte Si dimostra che qualunque siano la grandezza a e il numero naturale n, il multiplo di a secondo n è non minore di a na  a. Questa proprietà non è valida se si considera l’ampiezza degli angoli, per cui l’ampiezza di un angolo non può essere denominata grandezza nel senso del termine dato da questa impostazione assiomatica (si veda Nel mondo della geometria volume 2 da pag. 103 a pag.113). Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Le grandezze: il punto di vista della matematica (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Un assioma importante è quello che garantisce la possibilità di “suddividere” in un numero qualsiasi di parti uguali una grandezza: A 4) Data una grandezza a  0 e un numero naturale n  0, esiste una ed una sola grandezza b tale che a sia multipla di b secondo n, ossia a = nb. La grandezza b dell’assioma viene detta sottomultiplo di a secondo n e viene indicata anche con b = a = . L’assioma afferma l’esistenza di sottomultipli di una grandezza piccoli a piacere. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Le grandezze: il punto di vista della matematica (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) GRANDEZZE COMMENSURABILI GRANDEZZE INCOMMNESURABILI Consideriamo un insieme G di grandezze; diciamo che due grandezze a e b sono fra loro commensurabili quando hanno un sottomultiplo comune, cioè quando esiste una grandezza c tale che a = nc e b = mc - incommensurabili se non hanno un sottomultiplo comune. La scoperta delle grandezze incommensurabili viene attribuita storicamente alla scuola Pitagorica: con il teorema di Pitagora si dimostra, infatti, che la lunghezza del lato di un quadrato e la lunghezza della relativa diagonale non hanno un sottomultiplo comune. Un altro esempio di coppia di grandezze incommensurabili è data dalla lunghezza della circonferenza e di quella del relativo diametro. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

La misura “Quando voi potete misurare ed esprimere in numeri ciò di cui state parlando, solo allora sapete effettivamente qualcosa; ma quando non vi è possibile esprimere numericamente l’oggetto della vostra indagine, insoddisfacente ne è la vostra conoscenza e scarso il vostro progresso dal punto di vista scientifico”. Lord Kelvin (Sir William Thomson, 1824 – 1907) Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

La misura quantifica, attraverso convenzioni fissate dall’uomo, qualità degli enti e degli oggetti dette grandezze, “non ne scopre nulla di intrinseco […] ma inventa un numero che quella grandezza descrive entro certi limiti e sotto certe condizioni” (Cunietti) Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Grandezze e misura: quadro teorico (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) La misura è intrinsecamente connessa con la vita quotidiana si quantifica il tempo e il suo scorrere il peso, la quantità di spazio… il valore delle cose l’affinità tra le persone, … il quoziente di intelligenza Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Grandezze e misura: quadro teorico (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) … La misurazione, intesa come processo con cui si determina una misura, è fondamentale tanto che Lord Kelvin afferma “che quando voi potete misurare ed esprimere in numeri ciò di cui state parlando, solo allora sapete effettivamente qualcosa; ma quando non vi è possibile esprimere numericamente l’oggetto della vostra indagine, insoddisfacente ne è la vostra conoscenza e scarso il vostro progresso dal punto di vista scientifico” Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Grandezze e misura: quadro teorico (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Sempre più la misura la fa da padrona in molti campi, anche non appartenenti alle scienze sperimentali. Ma “frequenza d’uso” non è sinonimo di facilità Infatti è necessario definire il significato del termine misura circoscrivere l’ambito di stretta pertinenza della misura OSSIA individuare ciò che può essere misurato. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Grandezze e misura: quadro teorico (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Cunietti (1990/1991: 45) rileva che “la misura riguarda sì la realtà fisica, concreta, ma contemporaneamente il modello mentale che questa realtà vuole rappresentare […] Perciò la misura partecipa di vari ambiti: quello concreto della realtà, quello astratto e mentale […] dell’interpretazione della conoscenza di questa realtà, quello nuovamente concreto, ma di derivazione totalmente umana, della tecnica”. La definizione di misura comporta, quindi, la precisazione del punto di vista da cui viene formulata. Quello che si può affermare in generale è che la misura quantifica, attraverso convenzioni fissate dall’uomo, qualità degli enti e degli oggetti denominate grandezze, “non ne scopre nulla di intrinseco […] ma inventa un numero che quella grandezza descrive entro certi limiti e sotto certe condizioni” Il concetto di misura rimanda, quindi, al concetto di grandezza. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Indagine sulle conoscenze pregresse (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) da pag. 55 a pag. con bambini di 7-8 anni prima di avviare il percorso sulla premitura Le esperienze sulla misura sono frequenti nella quotidianità degli alunni, così come l’uso di parole relative a grandezze e unità di misura. Per la progettazione di un itinerario didattico che assuma le conoscenze pregresse come oggetto di approfondimento, revisione, formalizzazione, precisazione, si ritiene quanto mai opportuno effettuare un’indagine su tali conoscenze. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Che cos’è, secondo voi, la misura? È una cosa che serve per misurare le case, le strade, la pressione delle gomme, la pressione della nonna. Si misura il pane con la bilancia. 1.a) Che cosa si misura del pane? Quanto è pesante. Si misura la febbre. Anche l’aria se è calda o fredda. Si misura il tempo: i minuti, i secondi, le ore. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Che cos’è, secondo voi, la misura? Il mio papà ha misurato il tavolo per comprarne uno più grande. 1.b) Come ha fatto il papà? Ha preso il metro e ha cominciato dove comincia il tavolo ed è andato fino alla fine, ha detto alla mamma 120, ne vuole comprare uno più grande. 1.c) A che cosa serve la misura che ha preso? La dice al venditore, lui gliene dà uno più lungo. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Che cos’è, secondo voi, la misura? La mia mamma mi misura quanto sono lunga per farmi un vestito. Anche la bilancia della dottoressa misura quanto sei alto e anche quanto pesi. A casa mia si misurano i mobili per vedere se ci stanno nella casa nuova. C’è anche la misura dei vestiti e delle scarpe per sapere quale comprare giusta per la tua misura. Io ho la media. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

2.a) Come si fa a sapere se vanno bene? Avete detto molte cose che si possono misurare: la lunghezza di una persona per fare un vestito, la febbre, il caldo e il freddo, queste cose si misurano tutte adoperando lo stesso strumento? Non si può misurare tutto allo stesso modo; bisogna usare cose diverse che vanno bene. 2.a) Come si fa a sapere se vanno bene? Si sa: per la febbre c’è il termometro, per i vestiti c’è il metro, per il pane c’è la bilancia. Quando giochi a bocce misuri per vedere chi è più vicino e chi è più lontano dal boccino. C’è un’asta apposta con su i numeri: chi fa il numero più piccolo è il più vicino. Io quando gioco misuro con i piedi e conto i passi: se uno è tre e l’altro è quattro, ha vinto il tre perché è più vicino. Il metro si usa per misurare quanto è lungo qualcosa. Si può misurare con le mani, con un bastoncino, con la matita. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Perché si adoperano cose diverse? Si adoperano cose diverse perché i viventi si pesano sulla bilancia, come dalla dottoressa, per il tavolo che non è vivente si adopera il metro. Non è vero, perché mia mamma misura quanto sono cresciuto e adopera il metro. Prima fa un segno sulla mattonella dove arrivo e poi misura. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Perché si misura? Perché il tavolo è largo tre metri e se non lo misuri non sai la vera misura. Se non misuri il latte dei bambini gliene dai troppo e stanno male. Per sapere quanto è la lunghezza o il peso di una cosa. La misura ti fa sapere qualche cosa di più di una cosa che prima non sapevi. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Matrice cognitiva misura campioni, strumenti arbitrari campioni, strumenti convenzionali necessità di scegliere in base all’oggetto/proprietà da misurare di grandezze estensive: lunghezza, massa pressione, … misura “similitudine” tra grandezza e unità di misura di “grandezze” intensive: taglia, scarpe, temperature, … espressa da un numero di proprietà per confronto diretto di oggetti: tavolo, strade, mobili indirettamente con lettura dalla scala di uno strumento Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

La bellezza di un tramonto. La lunghezza di una strada. Sottolinea le proprietà che possono essere misurate, cioè che sono grandezze (da Matematix geometria primo anno pag.66 Ed. Ghisetti e Corvi La bellezza di un tramonto. La lunghezza di una strada. La facilità di un esercizio di matematica. L’estensione di un campo da rugby. La bontà di un dolce. Lo spessore di un foglio di quaderno. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Tutte le grandezze possono essere misurate. Stabilisci quali affermazioni sono vere e quali sono false (da Matematix geometria primo anno pag.66 Ed. Ghisetti e Corvi V F Tutte le grandezze possono essere misurate. L’aroma di un fungo è una grandezza L’altezza di un grattacielo e la lunghezza di un piede sono grandezze omogenee. Il tempo dedicato allo studio e l’età di una persona sono grandezze eterogenee. Per misurare una grandezza si deve fissare un’unità di misura omogenea con la grandezza data. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Le grandezze: il punto di vista della matematica (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) AREA LUNGHEZZA ESEMPI DI GRANDEZZE INTERVALLI DI TEMPO VOLUME MASSA Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013