Anno Accademico 2005-06 1°Parte - Fisica IV Anno Accademico 2005-06 1°Parte - Definizione di campo elettrico. Campo vettoriale. Linee di flusso. Teorema di Gauss. Superfici gaussiane e applicazioni del teorema di Gauss Lavoro della Forza elettrica. Potenziale elettrostatico. Circuitazione del campo elettrico. Campo generato da un dipolo elettrico. Forze esercitate dal campo elettrico su un dipolo. Energia di un dipolo in campo. Molecole polari. Comportamento della materia in presenza di un campo. Polarizzazione per deformazione. Polarizzazione per orientamento Vettore polarizzazione. Suscettività dielettrica, costante dielettrica. Dielettrici densi. Legge di Clausius-Mossotti Cristalli ferroelettrici.

Campo Elettrico Definizione operativa di campo elettrico: Il vettore campo elettrico E associato ad una determinata distribuzione di cariche in un punto P è dato dalla forza F esercitata su una carica di prova q0 posta nel punto P divisa per la carica q0. Tale definizione di campo elettrico è indipendente dalla carica di prova (purchè sia piccola e/o molto lontana dalle cariche che generano E) e prescinde dal manifestarsi di una forza misurabile. Proprio in virtù dell’equazione (1) il campo elettrico potrà essere valutato misurando la forza esercitata su una carica di prova Il campo elettrico è diretto radialmente rispetto alla carica che lo ha generato ed è proporzionale alla carica che lo ha generato.

Campo vettoriale Che cosa è un campo vettoriale ? Una grandezza che varia nello spazio e ha un modulo una direzione ed un verso, che possono essere individuati da un vettore. Alcuni esempi a noi noti sono: un fiume che scorre (un liquido che scorre), il vento che soffia (una massa di gas che si sposta), la densità di corrente elettrica che scorre in un conduttore (cariche elettriche che si muovono), il flusso di calore che fluisce da un corpo ad un altro (energia che viene trasferita), I campi elettrico e magnetico nello spazio. Con trasferimento di massa senza trasferimento di massa Un campo può essere rappresentato tramite linee di flusso

Operazioni con i vettori Prodotto scalare v2 v1 v2 q q v1 v2cosq Prodotto vettoriale v2 q v1v2 v2sinq v1

Proprietà delle linee di forza del campo elettrico In ogni punto le linee di forza del campo elettrico hanno direzione tangente al campo in quel punto e verso concorde con la direzione del campo Le linee di forza del campo elettrico partono dalla carica positiva e confluiscono nella carica negativa (o all’infinito). Le linee non si creano e non si distruggono nello spazio tra le cariche. - q + q + 2q L’intensità del campo elettrico in ogni punto è proporzionale al numero di linee che intercettano perpendicolarmente l’area unitaria

Utilizzando le tre proprietà delle linee di forza calcolare l’intensità del campo I a distanza R1 ed R2 da una carica puntiforme Q , da una carica puntiforme –Q e da una carica puntiforme 2Q Carica Q R2 R1 I2 I1 Carica -Q Carica 2Q La definizione del campo tramite linee di flusso ne permette una immediata visualizzazione, ma ha il un limite legato al fatto che le linee di forza sono discrete.

Alcuni esempi di linee di forza

Flusso di un campo vettoriale Un modo per valutare l’intensità del campo vettoriale è quello di valutare quante linee di flusso fluiscono attraverso una superficie ben definita nello spazio. Questo dipende dalla estensione della superficie e anche da come la superficie è orientata rispetto alla direzione del campo. Campo vettoriale v Superficie A Flusso nullo Flusso proporzionale alla proiezione della superficie A nella direzione del campo Flusso massimo

F(E) = E Acosq = Eû A Flusso del campo elettrico E A û E A û A cosq L’area di una spira può essere rappresentata da un vettore A che ha come modulo la superficie della spira ed è orientato perpendicolarmente al piano della spira. L’angolo tra il campo v e A è q. Una superficie chiusa per convenzione viene rappresentata con le normali alla superficie orientate verso l’esterno Flusso del campo elettrico A û E F(E) = E Acosq = Eû A A E q A cosq Il numero di linee di flusso che attraversa una superficie A è proporzionale alla proiezione della superficie perpendicolarmente alla direzione del campo E û Per una qualunque superficie A

Calcolare il flusso del campo elettrico F(E) attraverso una superficie cilindrica chiusa di raggio R e lunghezza L immersa in un campo E costante diretto parallelamente all’asse del cilindro. Calcolare il flusso del campo elettrico F(E) attraverso una superficie cubica chiusa di lato L immersa in un campo E costante che forma un angolo q con la faccia e e parallelo alle facce b e f.

Flusso attraverso una superficie chiusa in una regione di campo senza cariche Nel caso di una superficie arbitraria immersa in un campo elettrico E non uniforme la superficie può essere suddivisa in piccoli elementi di superficie DA. Gli elementi di flusso DF(E)=EDA vanno sommati su tutta la superficie A Il flusso è proporzionale al numero di linee di flusso che attraversano la superficie. Poiché in assenza di cariche all’interno della superficie le linee di flusso sono continue (né nascono né muoiono). Tante linee entrano tante escono e quindi il flusso totale è zero.

Calcolare il flusso del campo elettrico F(E) attraverso una superficie sferica A chiusa di raggio R che contiene una carica Q posta al centro R û E Q A Q Questo vale per qualunque superficie chiusa che contiene la carica Q perché intercetta tutte le linee di flusso uscenti da Q, indipendentemente dalla forma della superficie Per N cariche Q1, Q2, ..QN contenute all’interno di una superficie chiusa possiamo applicare il principio di sovrapposizione Teorema di Gauss

Superfici Gaussiane Utilizzando il teorema di Gauss calcolare il campo elettrico in prossimità delle seguenti distribuzioni di carica: Carica puntifome Guscio sferico uniformemente carico Piano uniformemente carico Filo uniformemente carico

Distribuzione di carica a simmetria sferica

y x In una regione dello spazio il campo elettrico è dato da: Nel caso in cui a=1 V/m2 , calcolare il valore di E nei punti P1 (0,0,0), P2  (1,0,0), P3  (2,0,0), P4 (1,1,0), P5 (2,2,0), e riportarlo in un grafico. Calcolare il flusso di E attraverso un cubo di lato L=1 m posizionato con un angolo nell’origine delle coordinate. Quanta carica è contenuta nel cubo ? A1 A2 A3 A4 x y P1 P2 P3 P4 P5 y x

Lavoro della forza elettrica

Energia potenziale elettrica Q q0 ri rf Il lavoro per portare una carica esploratrice q0 da una distanza ri ad una distanza rf rispetto ad una carica Q : Se il lavoro, e quindi la variazione di energia potenziale, dipende solo dalla posizione del punto di partenza e del punto di arrivo la forza è detta conservativa. Infatti si possono fare cammini chiusi (trasformazioni cicliche) senza variare l’energia potenziale del sistema.

Anche se solo le variazioni di energia hanno significato fisico si può definire uno zero per l’energia. Per molte applicazione si pone uguale a zero l’energia quando le due cariche sono a distanza infinita: U()=0 Questo permette di definire l’energia potenziale di due cariche a distanza r come: Esercizi 1) Due protoni del nucleo dell’ 238U si trovano ad una distanza di 6 fm (1fm=10-15m). Calcolare l’energia potenziale associata alla forza elettrica tra i due protoni. 2) Consideriamo l’atomo di idrogeno. Calcolare il lavoro necessario a ionizzare l’atomo di idrogeno.

Potenziale del campo elettrico Il lavoro per spostare una carica esploratrice q0 all’interno di un campo elettrico per la definizione stessa di campo è proporzionale a q0: U potenziale della forza F V potenziale del campo E Nel caso del campo generato da una carica puntiforme Potenziale generato da una carica puntiforme Q. A differenza del campo E, V non è un vettore ma è una funzione scalare E(x,y,z)  un campo vettoriale V(x,y,z)  un campo scalare

Definizione di differenza di potenziale La differenza di potenziale è la grandezza direttamente misurabile. La sua Unità di misura nel Sistema Internazionale (S.I.) è il Volt Di conseguenza l’unità di misura del campo elettrico nel S.I. è il Volt/m Nella fisica atomica le cariche di maggior interesse sono le cariche elementari (elettroni e protoni) . È quindi conveniente definire una nuova unità di misura per l’energia data dal lavoro per portare una carica elementare (e=1.6 10-19 C) tra due punti la cui differenza di potenziale è 1 V è dato da: e DV= 1.6 10-19  1= 1.6 10-19 Joule  1 eV

Circuitazione del campo elettrico b a La circuitazione del campo elettrostatico è nulla Equazioni di Maxwell del campo E in condizioni stazionarie Il campo E è generato da cariche elettriche Il campo E è conservativo

Il campo elettrico in un conduttore carico All’equilibrio E=0 F(E)=Q/e00 c’è carica

w 1 2 3 4 l >> w = Q/e0 A1 A2 A3 n t

Calcolare la differenza di potenziale noto il campo DVcb=Vb-Vc=? DVba=Va-Vb=? DVac=Vc-Va=? Calcolare la carica q

Superficii equipotenziali Sono dette superfici equipotenziali quelle per cui DV=0 Le superfici equipotenziali sono in ogni punto perpendicolari alle linee di flusso

La relazione tra potenziale e campo elettrico Supponiamo di voler calcolare la differenza di potenziale tra due punti vicini a(x,y,z) e b(x+Dx,y,z). Tali due ponti sono connessi da un vettore: y x (x,y,z) (x+Dx,y,z) Dx

Calcolare il campo elettrico noto il potenziale In tre dimensioni si ha che: Esercizi: Dato il potenziale associato ad una carica puntiforme Q calcolare il campo elettrico Dato il potenziale V=xy+2y calcolare il campo E nell’origine delle coordinate O(0,0,0) e nel punto P(1,1,0)

Calcolare il campo elettrico generato da un dipolo a grande distanza (r>>d) + - d P r r+ r- q ½ d cosq z per r >> d y x

Sistema di coordinate sferiche Un altro sistema che si può usare per orientarsi nello spazio è il sistema sferico. È formato da tre coordinate: ρ, θ e φ. Si considera sempre un generico punto P e la sua proiezione sul piano XY chiamata Q. Con ρ questa volta si indica la distanza di P dall'origine e θ è l'angolo che ρ      forma con l'asse Z. Indichiamo invece con ρ’        il vettore che collega l'origine con il punto Q, φ individua l'angolo che quest'ultimo vettore forma con l'asse X. Per passare da un sistema sferico ad uno rettangolare si usano le seguenti uguaglianze: Per passare da coordinate sferiche a cartesiane:                                                                                        

Campo del dipolo in coordinate sferiche

Distribuzione di cariche qi di ri = r - di r z x y q P di << r Nel caso di una molecola neutra il potenziale e quindi il campo elettrico generato dipenderà solo dal momento di dipolo complessivo

Calcolare la carica risultante, il momento di dipolo risultante e il potenziale in un punto P a distanza r dall’origine delle coordinate. Q=q1+q2+q3+q4=0 P=22qdk Q=0 = q1= -q d1 d2 d3 d4 q4= +q q2= -q q3= +q p1 p2 p3 p4 = = Q=q1+q2+q3+q4=0 q1= +q d1 d2 d3 d4 q4= -q q2= -q q3= +q p1 p2 p3 p4 = = p=0 Q=0 =

~ p Q p Q Q=q1+q2=q0 Q=q1+q2=q0 P=3qdk P=4qdk p1 p2 Q=q1+q2=q0 P=3qdk p Q q1= -q d2 q2= 2q p2 Q=q1+q2=q0 P=4qdk p Q ~ Molecola dell’acqua (H2O) Calcolare il momento di dipolo in modulo e direzione

q1= -q q4= +2q q2= -q q3= +2q q5= -2q q1=q 120° q2=q q3=-3q

Dipolo in un campo elettrico q + - d E F+ F- p Momento torcente indotto da un campo elettrico E su un dipolo p Energia di un dipolo in un campo elettrico Equivale ad aver fissato lo zero dell’energia a q=90°

Esercizio 1 Esercizio 2 A, B, C, D sono quattro dipoli elettrici. Orientare i momenti di dipolo corrispondente Valutare l’energia potenziale. Calcolare il momento torcente in modulo e direzione Esercizio 2 d p1 p3 p2 Calcolare il campo elettrico generato dal dipolo p1 nella posizione in cui si trovano il dipolo p2 ed il dipolo p3. Calcolare l’energia dei dipoli p2 e p3 nel campo generato da p1 Calcolare il momento torcente sui dipoli p2 e p3 dovuto al campo generato da p1

Molecole polari p = 3.410-30 C m p = 6.410-30 C m p = 4.510-30 C m

 C’=C er  E’=E /er d d +Q -Q +Q E E’ -Q DV DV’ CONDENSATORE IN PRESENZA DI UN DIELETTRICO d d +Q -Q +Q E E’ -Q DV DV’ Sperimentalmente si trova che: DV’ < DV DV’ = DV /er er >1 costante dielettrica relativa  C’=C er  E’=E /er

er dipende da: Problema: Tipo di materiale Stato di aggregazione Temperatura Orientazione del cristallo Problema: Come è legata la costante dielettrica (grandezza microscopica) ai momenti di dipolo degli atomi e delle molecole (grandezze microscopiche).

POLARIZZAZIONE PER DEFORMAZIONE POLARIZZAZIONE PER ORIENTAMENTO Come si comporta la materia in presenza di un campo E POLARIZZAZIONE PER DEFORMAZIONE E = 0 E p = 0 p  0 Atomo H Come si comportano gli atomi E = 0 <p> = 0 <p>  0 E POLARIZZAZIONE PER ORIENTAMENTO Come si comportano le molecole dotate di momento di dipolo proprio Come dipende p da E ?

Polarizzazione per deformazione Il campo elettrico a cui è sottoposto il nucleo quando si trova ad una distanza d rispetto al baricentro della carica negativa è dato da: + R d E Nucleo +Ze Elettroni -Ze Densità di carica elettronica Campo di richiamo all’interno dell’atomo + Fest=ZeE Fat=ZeEat

aD Polarizzabilità atomiche (10-40 farad m2) H He Li Be C Ne Na Ar K 0.66 0.21 12 9.3 1.5 0.4 27 1.6 34 R(Å) 1.55 1.12 0.94 1.9 2.35 Perché aD è più grande per il potassio che per il litio Calcolare aD per il berillio ed il potassio Confrontare la polarzzabilità del Li con quella del Li+ e con quella del He Esercizi: Polarizzabilità elettroniche di ioni (10-24 cm-3 = 0.910-40 farad m2) +3 -2 -1 +2 Li Li+ He aD 12 0.03 0.2 Esercizio 3

Polarizazione per orientamento <px> = <py> = <pz> = 0 p y x z <p>  0 <px> = <py> = 0 <pz>  0 E p Temperatura T < > media statistica Per un sistema che si trova a temperatura T la probabilità di essere in uno stato di energia U è proporzionale al fattore di Boltzmann exp (-U/kBT) In un sistema termodinamico composto di molte “particelle” all’equilibrio termico, la condizione di equilibrio non è più determinata semplicemente dal minimo dell’energia potenziale, ma dipende anche dalla temperatura a cui si trova il sistema

T  0 kBT<<DU T  0 kBT>>DU T = 0 T  0 kBT<<DU DU=pE

Per un sistema di dipoli p in campo E posto a temperatura T Nel limite di piccoli campi e grandi temperature pE/kBT <<1

E q dW=2p sinq dq p z dq <pz>=<p cosq> = p<cosq> elemento di angolo solido con q fissato p <pz>=<p cosq> = p<cosq>

Una molecola dotata di dipolo permanente p in presenza di un campo elettrico E presenterà un momento di dipolo medio <p> dato da: proporzionale al campo applicato E orientato in direzione e verso di E Prossimo obbiettivo: connettere il punto di vista MICROSCOPICO  MACROSCOPICO (momenti di dipolo di atomi e molecole) (costante dielettrica)

Esercizi: Calcolare la polarizzabilità dell’acqua a temperatura di 20° C e a temperatura di 110° C. È più importante il contributo per deformazione o per orientamento ? In che modo è possibile distinguere fra i due contributi ? Quale dei composti in figura è costituito di molecole polari ? Polarizzabilità molare per composti derivati dal metano, con sostituzione polare o non polare, in forma gassosa 8 6 4 2 Polarizzabilità (10-40 farad m2)

DOBBIAMO ANCORA CONNETTERE Definizione del vettore polarizzazione P P DV pi abbastanza grande da contenere molti momenti di dipolo p sufficientemente piccolo in modo che E non vari troppo al suo interno DV Vettore Polarizzazione Come dipende P da E ? Se abbiamo un sistema contenente molti dipoli in presenza di un campo elettrico E il vettore polarizzazione P sarà dato da: N numero di molecole contenute nel volume DV n=N/DV densità delle molecole per unità di volume a polarizzabilità della singola molecola o atomo c suscettibilità di n atomi o molecole er costante dielettrica del materiale DOBBIAMO ANCORA CONNETTERE a, c  er

Come si comporta un dielettrico nel suo complesso? E e P costanti E e P variabili

Come si calcola la carica di polarizzazione ? dcosq p=qd P=np QP carica distribuita sulla superficie S dovuta alla polarizzazione della materia volume in cui è contenuta densità di carica sP carica superficiale di polarizzazione

E’ E=0 P=np P=e0cE’ p=qd _________ + + - + E’ P=np P=e0cE’ p=qd E=0 - + + Q carica vera sulle armature del condensatore QP carica di polarizzazione alla superficie del dielettrico s carica superficiale vera sulle armature del condensatore sP carica superficiale di polarizzazione alla superficie del dielettrico

Campo nel dielettrico Campo nel vuoto Il campo all’interno del dielettrico (E’) è minore del campo che ci sarebbe in assenza di dielettrico (E). Dal confronto delle capacità di un condensatore in vuoto (C) ed un condensatore riempito di dielettrico (C’=Cer) avevamo trovato la seguente relazione tra il campo E ed E’: Da cui segue che:

Esercizi Data la costante dielettrica del H2O in forma gassosa a T=110°C e pressione di 1 Atmosfera, er=1.0126, calcolare la polarizzabilità della molecola di H2O Data la costante dielettrica del H2O in forma liquida a T=20°C e, er=80, calcolare la polarizzabilità della molecola di H2O Confrontare i valori di polarizzabilità a trovati nei due casi precedenti con il valore di polarizzabilità per orientamento aD, prevista alle due diverse temperature. Discutere. NA= 6.021023 mol-1; kB =1.38 10-23 Joule/K ; 1 Atmosfera =1.05105 N/m2

Dielettrici densi Contributo dei dipoli vicini Fino ad ora abbiamo trascurato l’interazione tra i momenti di dipolo che diventa rilevante in un materiale denso come un liquido o un solido. In questo caso il momendo di dipolo sarà proporzionale non al campo esterno, ma al campo locale agente nella posizione in cui si trova la molecola. Il campo locale Eloc in generale dipende dal contributo dei dipoli vicini. In un liquido o in un solido ad alta simmetria (cubico) si ha che: Contributo dei dipoli vicini Relazione di Clausius-Mossotti

Dielettrici diluiti: Gas Dielettrici densi: liquidi o solidi isotropi Relazione di Clausius-Mossotti

Cristalli ferroelettrici Un cristallo ferroelettrico presenta un momento di dipolo elettrico anche in assenza di un campo elettrico applicato. La ferroelettricità scompare al di sopra di una certa temperatura detta temperatura di transizione o temperatura di Curie (Tc) . Si definisce polarizzazione di saturazione Ps=n p, dove n è il numero di celle cristalline per unità di volume e p è il momento di dipolo associato a ciacuna cella. La polarizzazione di saturazione è quella che si ha quando tutti I dipoli sono orientati parallelamente.

a p Esercizio p = 6ed = 9.6 10-30 Cm n = 1/a3= 1.6  1028 m-3 Il titanato di bario (BaTiO3) è un cristallo ionico in cui la valenza dei singoli elementi è la seguente Ba++ , Ti4+ e O--. Se la cella è perfettamente cubica il momento di dipolo risulta nullo. Al di sotto della temperatura di Curie la cella si deforma e si genera un momento di dipolo. Esercizio Si calcoli la polarizzazione di saturazione del titanato di bario assumendo che gli ioni positivi Ba++ e Ti4+ siano spostati di d=0.1 Å rispetto agli ioni negativi O– e che la cella sia cubica di lato a=4 Å. Si calcoli quindi l’energia di interazione tra due dipoli primi vicini posti sullo stesso asse e si confronti il valore trovato con l’energia termica a T ambiente a p p = 6ed = 9.6 10-30 Cm n = 1/a3= 1.6  1028 m-3 Ps= n p = 0.15 C m-2 U=p2/(2pe0a3)=p2n  18 109=2.6 10-20 J UT=kT= 1.3810-23 300=4 10-21J

Costante dielettrica dei materiali ferroelettrici