La scomposizione in fattori di un polinomio. Le frazioni algebriche. Il tallone d'Achille La scomposizione in fattori di un polinomio. Le frazioni algebriche.

Che cosa significa scomporre un polinomio? Scomporre in fattori un polinomio significa determinare opportuni polinomi, diversi da 1, che, moltiplicati tra loro, diano come prodotto il polinomio stesso.

La scomposizione di un polinomio in fattori è un’operazione del tutto simile alla scomposizione in fattori di un numero naturale. Osserva le analogie. Scomporre in fattori un numero significa scriverlo come prodotto di altri numeri. Per esempio: 15 = 5 * 3 fattori 5 * 3 è una scomposizione in fattori di 15 Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo come prodotto di polinomi aventi grado inferiore. Per esempio: X2 – 1 = (x – 1 )(x + 1) fattori (x – 1 )(x + 1) è una scomposizione in fattori di X2 – 1

Polinomi riducibili e polinomi irriducibili Polinomi riducibili e polinomi irriducibili. Un polinomio in una o più variabili è riducibile quando può essere scomposto nel prodotto di polinomi, tutti di grado minore. Un polinomio non riducibile si dice irriducibile. Teorema fondamentale dell’aritmetica. Ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo, oppure può scriversi in un unico modo come prodotto di numeri primi ( a meno dell’ordine dei fattori). Teorema di scomposizione per i polinomi. Ogni polinomio a coefficiente in Q (o in R) o è irriducibile oppure può scriversi in un unico modo prodotto di fattori irriducibili (a meno dell’ordine dei fattori o di fattori numerici).

Raccogliere a fattore comune; Raccogliere parzialmente; I metodi per la scomposizione dei polinomi . (Purtroppo non esiste un metodo generale per ottenere la scomposizione di un polinomio riducibile ma studiamo quelli più comuni). I metodi sono: Raccogliere a fattore comune; Raccogliere parzialmente; Individuare i prodotti notevoli; Riconoscere particolari trinomi di secondo grado; Individuare la somma o la differenza di un binomio con lo stesso esponente naturale. Utilizzare la regola di Ruffini.

Il raccoglimento totale Il raccoglimento totale. Per moltiplicare un monomio per un polinomio, applichiamo la proprietà distributiva e moltiplichiamo il monomio per ciascun termine del polinomio. Se tutti i termini di un polinomio hanno un fattore in comune, possiamo scomporre il polinomio applicando la proprietà distributiva “al contrario”. Quando si applica questo procedimento, detto raccoglimento totale, si dice che il fattore comune è stato raccolto o messo in evidenza. Esempio : Moltiplicazione 2x(3x+1)= =2x*3x+2x*1= 6x2+2x Scomposizione 6x2+2x= =2x*3x+2x*1= =2x(3x+1)

Una tecnica base per scomporre un polinomio è quella di raccogliere il massimo comune divisore fra i termini del polinomio ed utilizzando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione lo mettiamo in evidenza. Per mettere in evidenza il M.C.D. procediamo in questo modo: - lo portiamo fuori dalla parentesi; - dividiamo per esso ogni monomio dell’espressione, ottenendo così una nuova espressione in parentesi.

Scomponiamo in fattori i seguenti polinomi effettuando dei raccoglimenti totali . 18x2y+12x = =6x(3xy+2) 20x4+30x2y3-40x3y= =10x2(2x2 +3y3 -4xy) 4ab-4a-8ab3= =4a(b–1–2b3) Il M.C.D. (18x2y ; 12x)è 6x ora mettiamo il M.C.D. in evidenza e lo dividiamo per ogni termine del polinomio . Il M.C.D.(20x4;30x2y3 - 40x3y)è 10x2 ora mettiamo il M.C.D. in evidenza e lo dividiamo per ogni termine del polinomio . Il M.C.D.(4ab ;- 4a ; - 8ab3)è 4a ora mettiamo il M.C.D. in evidenza e lo dividiamo per ogni termine del polinomio .

Negli esempi precedenti abbiamo raccolto fra i termini del polinomio originario, un monomio; a volte può capitare di raccogliere anche un polinomio. Come per esempio: x(2a-3b)-4y(2a-3b)= (2a-3b)(x-4y) 15xy2(4a-3b)-20xz3(4a-3b)= 5x(4a-3b)(3y2-4z3) I due termini del polinomio hanno in comune il fattore (2a-3b) raccogliendo (2a-3b) I due termini del polinomio hanno in comune il fattore 5x(4a-3b) raccogliendolo

Mettere in evidenza per parti. Consideriamo ora il polinomio : ax+ay+2x+2y= Non c’è un divisore (diverso dall’unità) comune a tutti i suoi termini, quindi non è possibile effettuare un raccoglimento totale. Possiamo, però, osservare che i primi due termini hanno in comune il fattore a e gli ultimi due hanno in comune il fattore 2. Possiamo quindi operare un raccoglimento tra i primi due termini e tra gli ultimi due: a(x+y)+2(x+y)= Questi raccoglimenti non essendo stati effettuati fra tutti i termini del polinomio ma solo fra alcuni, vengono chiamati raccoglimenti parziali . Nel polinomio ottenuto, tra i due termini c’è ancora un fattore in comune (x+y) quindi dobbiamo effettuare un raccoglimento totale : (x+y)(a+b)

Attenzione! Non ci sono regole precise per scegliere fra quali termini eseguire i raccoglimenti parziali ma bisogna sempre tener presente l’obiettivo finale:i raccoglimenti parziali vanno effettuati in modo da consentire, successivamente, un raccoglimento totale.

Scomponiamo i seguenti polinomi: x2-xy+5x-5y= = x(x-y)+5(x-y)= = (x-y)(x+5) x2-2x-x+2= = x(x-2)-1(x-2)= = (x-2)(x-1) I primi due termini hanno in comune il fattore x e gli ultimi due il fattore 5 Dopo aver fatto i raccoglimenti parziali è necessario il raccoglimento totale del fattore (x-y) I primi due termini hanno in comune il fattore x e gli ultimi due sembrerebbe che a priva vista non abbiano in comune nulla se noi raccogliamo il fattore -1 possiamo fare il raccoglimento totale del fattore (x-2)

Scomponiamo il polinomio: xa+ya+xb+yb+za+zb Come tentativo di scomposizione viene naturale eseguire i seguenti raccoglimenti tra il primo e il secondo termine mettere in comune il fattore a; tra il terzo e il quarto termine il fattore b e tra il quinto e sesto termine il fattore z a(x+y)+b(x+y)+z(a+b) Ma a questo punto , però, non possiamo proseguire nella scomposizione per aver un raccoglimento totale perché i termini del polinomio non hanno fattori in comune quindi dobbiamo cambiare la messa in evidenza parziale: xa+ya+xb+yb+za+zb= x(a+b)+y(a+b)+z(a+b)= (a+b)(x+y+z)

Fine Realizzato da Loredana Ettorre Con la collaborazione tecnica di Elisa De Giorgio