DECISIONI IN CONDIZIONI DI RISCHIO Progetto Lauree Scientifiche. Liceo Scientifico Benedetti – Venezia Prof. Elio Canestrelli, 15 dicembre 2005

Approccio quantitativo (matematico-statistico-economico) RISCHIO: - definizione - criteri di misurazione Rischio = possibilità che si realizzi un risultato diverso da quello atteso Una misura del rischio (molto usata) = dispersione dei risultati dal risultato atteso varianza statistica

In condizioni di rischio, di fronte a due possibili decisioni aleatorie A e B, quale conviene scegliere ? Si può enunciare un criterio che indichi al decisore razionale la scelta migliore tra le due alternative possibili A e B ? Esaminiamo alcuni criteri formulati storicamente.

Blaise Pascal (1623-1662) Scommessa (“le pari”) sull’esistenza di Dio, a cui l’uomo non può sottrarsi, perché imprigionato nel gioco assurdo e tragico dell’esistenza. Seguendo l’impostazione di János Lájos von Neumann (1903-1957), presentata nel 1928 (“Sulla teoria dei giochi di società”), si può ricorrere alla seguente matrice perdite/guadagni:

Mi comporto come se Dio esistesse Una infinità NON ESISTE Mi comporto come se Dio esistesse Una infinità di vita infinitamente felice Rinuncia ai piaceri mondani Mi comporto come se Dio non esistesse Dannazione eterna Godimento dei piaceri mondani

Assegnando probabilità finite ai due stati del mondo: Dio esiste probabilità p Dio non esiste probabilità 1-p si possono calcolare i risultati attesi (valori medi, media) associati alle due decisioni A e B: Valore atteso (media) della decisione A = +  (+ infinito) Valore atteso (media) della decisione B = -  (- infinito) Conclusione: Mi conviene comportarmi come se Dio esistesse

1° CRITERIO DI SCELTA IN CONDIZIONI DI RISCHIO (B. Pascal, 1658 circa) “MASSIMIZZAZIONE DEL RISULTATO ATTESO”

Il giocatore (decisore) che accetta di entrare in questo Paradosso di San Pietroburgo discusso nel 1738 da Daniel Bernoulli (1700-1782): Lanci ripetuti di una moneta non truccata. Se esce TESTA al primo lancio il giocatore vince 1; se invece esce CROCE si rilancia la moneta e se esce TESTA al secondo lancio il giocatore vince 2; se invece esce CROCE si rilancia la moneta e se esce TESTA al terzo lancio il giocatore vince 4; ….. e così via sempre raddoppiando la vincita. Il gioco termina la prima volta che esce TESTA. Il giocatore (decisore) che accetta di entrare in questo gioco vince sempre (almeno 1). Quanto è disposto a pagare per entrare nel gioco ?

Massimizzazione del risultato atteso Valore atteso (media) del risultato del gioco: Paradosso: non è equo pagare un importo infinito per ottenere in cambio un importo finito. Seguendo il criterio “massimizzazione del risultato atteso” di B. Pascal, la decisione di entrare in questo gioco è da preferirsi a qualunque importo monetario. Conclusione Massimizzazione del risultato atteso

2° CRITERIO DI SCELTA IN CONDIZIONI DI RISCHIO (D. Bernoulli, 1738) “MASSIMIZZAZIONE DEL LOGARITMO ATTESO DEL RISULTATO”

3° CRITERIO DI SCELTA IN CONDIZIONI DI RISCHIO (D. Cramer ,1704-1752) “MASSIMIZZAZIONE DELLA RADICE QUADRATA ATTESA DEL RISULTATO”

Ma perché gli importi devono essere trasformati mediante una funzione matematica (sia essa il logaritmo o la radice quadrata o un’altra conveniente funzione) ? Il quesito viene definitivamente chiarito nel 1944 da J. L. von Neumann (1903-1957) e da Oskar Morgenstein (1902-1977), che con il lavoro “ Theory of Games and Economic Behavior” fondano la TEORIA DELL’UTILITÀ. Presentano una teoria non solo in grado di descrivere le interazioni puramente economiche, ma anche applicabile ad un più vasto contesto di questioni industriali, politiche, militari, ambientali, ecc…

In sintesi: Ogni decisore ha una sua propria funzione di utilità, ad es. la funzione di B. Pascal: (utilità del risultato = valore del risultato = funzione identica) la funzione di D. Bernoulli (utilità del risultato = logaritmo del valore del risultato) la funzione di D. Cramer (utilità del risultato = radice quadrata del valore del risultato) La funzione di utilità tiene conto e incorpora l’atteggiamento del decisore nei riguardi del rischio: Funzione concava avverso al rischio Funzione convessa propenso al rischio Funzione lineare indifferente al rischio

Indifferente al rischio Avverso al rischio Propenso al rischio Indifferente al rischio Realistico

“MASSIMIZZAZIONE DELLA UTILITÀ ATTESA” 4° CRITERIO DI SCELTA IN CONDIZIONI DI RISCHIO (Teoria dell’utilità, 1944 e seg.) “MASSIMIZZAZIONE DELLA UTILITÀ ATTESA”

PROCEDURA per assumere decisioni in condizioni di rischio: Per ciascuna decisione A, B, ecc… valutare i possibili risultati conseguenti alla decisione, associare ai risultati una distribuzione di probabilità determinare la funzione di utilità del decisore, calcolare l’utilità associata a ciascun possibile risultato (1.), mediante la distribuzione di probabilità (2.), calcolare l’utilità (3.) attesa (media). Calcolata così l’utilità attesa associata ad ogni decisione, il decisore razionale assuma quella decisione a cui corrisponde la massima utilità attesa.

Con questa procedura si tiene conto dell’atteggiamento del decisore nei riguardi del rischio attraverso la sua funzione di utilità.