Processi Aleatori : Introduzione – Parte II Accademia Navale, Livorno Processi Aleatori : Introduzione – Parte II Fulvio GINI Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione: Elettronica, Informatica, Telecomunicazioni Università di Pisa E-mail: f.gini@ing.unipi.it

Processi aleatori Gaussiani Un processo X(t) si dice Gaussiano se per ogni N e per ogni N-upla di istanti t1 , t2 , …, tN , il vettore delle N variabili aleatorie X = [ X(t1) X(t2) … X(tN) ]T è un vettore Gaussiano, ovvero le N v.a. sono congiuntamente Gaussiane Vettore Gaussiano: N v.a. congiuntamente Gaussiane ddp congiunta di ordine N

Processi aleatori Gaussiani La ddp congiunta di ordine N è univocamente determinata dalla conoscenza della funzione valor medio e della funzione di autocovarianza del processo: Vettore valori medi [ statistica di ordine 1 ] Matrice di covarianza [ statistica di ordine 2 ]  

Proprietà dei vettori Gaussiani Proprietà 1: la ddp congiunta di ordine N di un vettore aleatorio Gaussiano è completamente specificata dal vettore valori medi e dalla matrice di covarianza Proprietà 2: una trasformazione lineare di vettori Gaussiani preserva la Gaussianità: Proprietà 3: una qualsiasi r-upla di v.a. estratte da X è ancora un vettore aleatorio Gaussiano, in particolare ogni Xk è una v.a. Gaussiana

Proprietà dei vettori Gaussiani Proprietà 4: Funzione caratteristica di un vettore Gaussiano Se {Xi;i=1,2, … , N} sono v.a. Gaussiane indipendenti: Se {Xi;i=1,2,3,4} sono v.a. Gaussiane:

Proprietà dei vettori Gaussiani Proprietà 5: se N v.a. congiuntamente Gaussiane sono a due a due incorrelate, esse sono anche indipendenti Se sono anche identicamente distribuite: , dove I è la matrice identità, e

Proprietà dei vettori Gaussiani Proprietà 6: la ddp di una qualsiasi r-upla di v.a. condizionata ad un qualsiasi sottogruppo di k v.a. (prese tra le rimanenti N-r) è Gaussiana vettore valori medi e matrice di covarianza condizionati

Densità di Probabilità (ddp) di due v.a. congiuntamente Gaussiane: Sistema di 2 v.a. congiuntamente Gaussiane Densità di Probabilità (ddp) di due v.a. congiuntamente Gaussiane: y x

Generazione di V.A. cong. Gaussiane correlate ? desiderati Decomposizione di Cholesky matrice triangolare superiore oppure Decomposizione spettrale

Campionamento di processi tempo-continui Sia dato un processo tempo- continuo Y(t), stazionario almeno in senso lato, con funzione di autocorrelazione e densità spettrale di potenza date: Campioniamo Y(t) negli istanti tn=nT, in modo da ottenere la sequenza di v.a. Y[n]=Y(nT), ovvero il processo tempo-discreto Y[n] filtro anti-aliasing La ACF di Y[n] è data dalla versione campionata di quella del processo tempo-continuo Y(t), infatti:

Campionamento di processi tempo-continui Il legame tra la PSD di Y(t) e quella di Y[n] è noto dal Teorema del Campionamento: campionamento nel tempo comporta la periodicizzazione nel dominio della frequenza: fa è la frequenza analogica [Hz] - f è la frequenza discreta [Adimens.]

Processo bianco tempo-discreto Un processo tempo-discreto Y[n] si definisce “bianco” quando è formato da una sequenza di v.a. incorrelate e a valor medio nullo, ovvero quando la sua ACF ha la seguente forma: La PSD di Y[n] è quindi data da: ovvero è costante per tutte le f, giustificando l’apellativo “bianco” Nota bene: la potenza media è finita, a differenza dei processi bianchi tempo-continui:

Processi lineari tempo-discreti Processo bianco MATLAB: y=conv(x,h) Il processo in uscita è “colorato” dal filtro

Processi Autoregressivi a Media Mobile ARMA(P,Q) Filtro IIR WGN White Gaussian Noise x=randn(N,1) Eq. alle differenze ricorsiva Poli del filtro = soluzioni dell’Equazione Caratteristica MATLAB: y=filter(b,a,x)

Processi Autoregressivi AR(P) Filtro IIR di ordine P WGN White Gaussian Noise x=randn(N,1) Eq. alle differenze ricorsiva Poli del filtro = soluzioni dell’Equazione Caratteristica MATLAB: y=filter(b,a,x)

Spettro di un processo AR(1)

Processi a media mobile MA(Q) Filtro FIR di ordine Q WGN White Gaussian Noise x=randn(N,1) Eq. alle differenze non ricorsiva Risp. impulsiva: Zeri del filtro = soluzioni dell’equazione MATLAB: y=filter(b,a,x)

ACF e spettro di un processo MA(16) Filtro a media mobile

Segnali tempo-discreti: ACF e PSD Confronto tra alcune definizioni per segnali aleatori e deterministici

Segnali tempo-discreti: ACF e PSD Confronto tra alcune definizioni per segnali aleatori e deterministici

Processi ergodici tempo-discreto Come nel caso di processi ergodici tempo-continui, per processi ergodici tempo-discreti è possibile misurare certe statistiche, definite come medie d’insieme, mediante le corrispondenti medie temporali calcolate su una qualsiasi realizzazione: valor medio ACF

Analisi in potenza di un processo ergodico In pratica, valor medio, funzione di autocorrelazione e densità spettrale di potenza di un processo s.s.l., ergodico, si misurano dai dati come segue: dati valor medio ACF PSD [ di fatto, si usa la FFT ]

Analisi di Fourier: segnali tempo-continuo Trasformata Serie di Fourier di un segnale periodico tempo-continuo (FS o TSF) Trasform. Continua di Fourier di un segnale aperiodico tempo-continuo (FT o TCF)

Analisi di Fourier: segnali tempo-discreto Trasformata Serie di Fourier di un segnale periodico tempo-discreto (DTFS o DFT) Trasformata Continua di Fourier di un segnale aperiodico tempo-discreto (DTFT)