Pensare male fa male Breve corso di logica

Notula sul titolo L’intestazione del corso è – come tutti vedono – un calembour, un gioco di parole,cioè, basato su una figura retorica: la diafora, ossia la ripetizione di due parole con significato diverso. significato morale: “a pensar male (c’è un’apocope rispetto al titolo) si fa male (= peccato) ma spesso ci si azzecca”(Giulio III e un suo tardo ammiratore, Giulio Andreotti); significato logico: pensare male (ossia illogicamente) fa male: all’emittente, al destinatario o a entrambi. Rudolf Carnap assicura che in logica non c’è morale, secondo un principio di tolleranza che ammette per ognuno una propria logica, purché si rispettino convenzioni logiche. Insomma, siamo liberi di essere di essere anche illogici, se lo facciamo con logica! I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Limiti di questo corso I Questi incontri procederanno su stretti sentieri ben definiti. Poiché,infatti, il termine logica è polisemico, alfine di evitare fraintendimenti qui il significato è univoco. Ci occuperemo della logica proposizionale classica o comunemente logica formale. In questo regno vige il principio di bivalenza, ossia ogni suo abitante - chiamato proposizione - possiede due soli valori: vero o falso. La proposizione è un’asserzione che quindi è o vera o falsa. Vanno pertanto escluse dal novero delle proposizioni frasi del genere che ora è? Oppure chiudi la finestra! O ancora è obbligatorio l’uso della cintura o anche credo che lei mi ami. L’elenco potrebbe continuare; infatti i tipi di logica non standard (o non classica) è piuttosto esteso ed accresciuto negli ultimi anni. Tutte le frasi in corsivo suesposte hanno – notate – la peculiarità di non potersi dichiarare vere o false. Invece, affermazioni come la luna è l’unico satellite della terra, il cantante dei Led Zeppelin è Gigi D’Alessio sono rispettivamente vera e falsa. Solo di queste ci occuperemo. P.S. Dato il carattere introduttivo del presente corso, non distingueremo tecnicamente i sostantivi proposizione ed enunciato I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Limiti di questo corso II Le frasi vere o false sono dette dichiarative o assertive. Vero e falso sono detti valori di verità. (1)Campofranco è la capitale della Tasmania ha falso quale valore di verità. (II)5 è un numero dispari ha vero quale valore di verità. (III)Mi piacerebbe apprendere la logica senza studiare non ha né vero né falso quali suoi valori. È comodo servirsi di simboli per indicare frasi assertive: p,q r…. Ad es. (I) la possiamo indicare con p, mentre (II) con q. Sia p sia q sono proposizioni semplici o atomiche, ossia, detto alla buona, si riferiscono ciascuna a un solo stato di cose. Ora, cosa accade se si nega p e, al contempo, si congiunge con q? Intanto, si ottiene una proposizione composta che si riferisce ad almeno due stati di cose. Poi,la negazione di una proposizione falsa dà una proposizione vera; quindi non-p = V. Infine, se congiungo non-p a q, ottengo “non-p e q”. Essendo vera non-p ed essendo vera q, ottengo una proposizione congiunta vera; cioè Campofranco non è la capitale della Tasmania e 5 è un numero dispari. In definitiva, la logica si occupa delle proposizioni e del mettere in relazione proposizioni per vedere che conclusioni si ottengono. I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Perché abbiamo bisogno della logica Siamo logici? NO! Ecco una prova. Un novizio chiese al priore: “Padre, posso fumare mentre prego?” e fu severamente redarguito. Un secondo novizio chiese allo stesso priore: “Padre, posso pregare mentre fumo?” e fu lodato per la sua devozione. I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Siamo logici? II Questo argomento è corretto? Argomento E questo ? Tutti i siciliani sono mafiosi Alcuni mafiosi portano la coppola Quindi, alcuni siciliani portano la coppola. E questo ? Quindi, alcuni siciliani non portano la coppola. I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Formalizzare1 Ovvero come trasformare le frasi in simboli Nelle lingue naturali come l’italiano le frasi possono essere poetiche (Donna: mistero senza fine bello) o prosaiche (I rigatoni sono scotti). In logica però conta una sola cosa: la loro verità o falsità. Le frasi sintatticamente sono semplici o complesse; mentre in logica sono atomiche e non atomiche. È atomica la frase in cui un oggetto soddisfa un predicato. Es. 1)La Sicilia è un isola. È non atomica quella in cui o un oggetto ha uno, due (o più) predicati oppure più oggetti hanno uno o più predicati. Es. 2)Carlo è alto e grosso 3)Carlo e Giulia si amano 4)Chi dorme non piglia pesci I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Formalizzare 2 Ovvero come trasformare le frasi in simboli Ebbene, è sempre possibile trasformare in simboli le frasi rintracciando la loro forma logica. La 1 così diventa: p. La 2 invece p ∧ q. La 3 Axy. La 4 p →q. Impareremo a usare questi e altri pochi simboli. Ma per quale ragione è utile -anzi indispensabile- trasformare in simboli le frasi? Perché ciò che dà verità alle frasi non è il loro contenuto, ma la forma nella esse si presentano. Es. Se dovessimo decidere della verità della frase 2, indipendentemente dal contenuto, possiamo con certezza affermare che la frase è vera solo se sono vere p e q. Nella fattispecie, la 2 è vera se Carlo è alto e grosso. Invece, se fosse alto ma non grosso oppure grosso ma non alto o ancora né alto né grosso, la frase sarebbe falsa. I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

La logica: un tronco, due rami Tutti i manuali di logica prevedono la trattazione di almeno due parti essenziali, le stesse delle quali sommariamente ci dovremo occupare: la logica proposizionale e la logica predicativa. La prima è stata già accennata. Si occupa della forma delle proposizioni per deciderne la verità o la falsità. La seconda si occupa della relazione tra le proposizioni, ossia i ragionamenti, tra i quali - nei test di ingresso, ma solo in essi - domina il sillogismo. Le due sezioni sono strettamente congiunte, e solamente per ragioni didattico-espositive sono normalmente trattate disgiuntamente. Per gli stessi motivi anche qui si procederà al medesimo modo. I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

I protagonisti della logica proposizionale ¬ negazione “non” ∧ congiunzione “e” ∨ disgiunzione “o” vel = o inclusiva ⊕ disgiunzione “o” aut = o esclusiva → implicazione “ se… allora” ↔ doppia implicazione “se e solo se” ← controimplicazione I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Esempi di formalizzazione 1 È fondamentale individuare correttamente la forma logica degli enunciati. Per farlo, occorre un po’ di teoria e molta pratica. Non si può avere la botte piena e la moglie ubriaca. Innanzi tutto, la 1 è una congiunzione di due proposizioni; inoltre presenta un’incompatibilità (o avere la botte piena o la moglie ubriaca). Pertanto, la 1 risulterà falsa quando si avrà la moglie ubriaca e la botte piena (o viceversa); vera negli altri casi. Se p = botte piena e q = moglie ubriaca ¬ (p ∧ q) che equivale a (¬p ∨ ¬q) ovvero o non si ha la botte piena o non si ha la moglie ubriaca Ecco la prova con le tabelle di verità p q ¬ (p ∧ q) V V F V V F V F F V F F p q ¬ p ∨ ¬ q) V V F V F V F V F F I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Esempi di formalizzazione 2 Un esempio un po’ più complesso. Sarai bocciato, a meno che non studi con impegno La 2 risulta una implicazione. Esattamente l’antecedente (ovvero la condizione) è a meno che non studi con impegno = p; il conseguente sarai bocciato = q. Poiché p risulta una negazione, si avrà allora ¬ p → q p q ¬ p → q V V V V F F V F F F La 2 risulta falsa nel caso in cui siano falsi p e q, ossia quando si studia con impegno o si è bocciati. Infatti, ¬ p → q equivale a p v q. I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Esempi di formalizzazione 3 Adesso un esempio ancora più complesso. Andrò in vacanza in aereo o in auto. Se andrò in vacanza in aereo, giungerò prima a destinazione e non porterò molti bagagli. Se andrò in auto porterò molti bagagli. Se avrò una vacanza confortevole, allora avrò portato molti bagagli. Quindi se avrò una vacanza confortevole, sarò andato in auto. La 3 risulta una formula piuttosto complessa. Formalizzata con p = vacanza in aereo; q = vacanza in auto; r = giungere prima; s = portare molti bagagli; t = avere una vacanza confortevole, sara la seguente stringa (p ∧ ¬ q) ∨ (¬ p ∧ q) ∧ ((p → (r ∧ ¬ s)) ∧ (q → s) → (t → q) Quindi se avrò una vacanza confortevole, sarò andato in auto. Se andrò in auto porterò molti bagagli Andrò in vacanza in aereo o in auto è chiaramente una “o” esclusiva, riproducibile come un’alternativa che afferma p negando q o negando p e affermando q. Se andrò in vacanza in aereo etc. La congiunzione lega il primo enunciato disgiuntivo al condizionale successivo Quindi. È il connettivo principale della formula, che divide le condizioni dalle conseguenze Anche qui la congiunzione lega l’enunciato precedente al successivo I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

(p ∧ ¬ q) ∨ (¬ p ∧ q) ∧ ((p → (r ∧ ¬ s)) ∧ (q → s) → (t → q) Analisi di una formula La 3 è chiaramente un esempio di ragionamento intuitivamente corretto. Potremmo servircene per verificare in maniera formale la sua validità. (p ∧ ¬ q) ∨ (¬ p ∧ q) ∧ ((p → (r ∧ ¬ s)) ∧ (q → s) → (t → q) P Q L’enunciato ha la forma complessiva di un condizionale P → Q. Per tentare di verificarne la correttezza dobbiamo cercare di assegnare a Q (= t → q) il valore F, cioè falso, e a P il valore V, cioè vero. Sappiamo infatti che un condizionale è falso quando l’antecedente è vero e il conseguente falso. Adesso, se Q non è una conseguenza di P, sarà possibile assegnare valori di verità che rendano P vera. Primo passo, assegnare F a t → q, quindi t = V e q = F. secondo, procedere verso sinistra. Ci accorgiamo che P è una congiunta di una disgiunta e due condizionali. Per rendere vera una congiunzione è necessario che le sue congiunte risultino vere. Poiché per ottenere il valore falso a Q si è assegnato a q = V, dobbiamo assegnare a s = V, in modo da rendere q → s vera. Se s è vera, allora r ∧ ¬ s sarà necessariamente falsa, quindi dovremmo assegnare a p il valore F. Essendo p = F la disgiunta risulta falsa, rendendo falso il valore di P. Quindi, Poiché P è falso e Q è falso, la loro implicazione è vera; pertanto la 3 risulta vera. I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Tabelle di verità 1 p q p ⋀ q V V V V F F F V F F Descrizione – Il funzionamento di questo connettivo è evidente: la congiunzione risulta vera solo se le proposizioni sono vere; falsa negli altri casi. Il simbolo va letto come “e”; quindi, nella fattispecie, “p e q”. Es: “Napoleone è nato in Corsica ed è diventato imperatore” p q p ∨ q V V V V F F V F F F Descrizione – Il funzionamento di questo connettivo corrisponde alla disgiunzione “o” inclusiva (vel in latino), quindi “o questo o quello o entrambi”. Il simbolo va letto come “o” Es: “ Al concorso si può accedere col diploma o con la laurea”. p q p → q V V V V F F F V F F Descrizione – Il funzionamento di questo connettivo corrisponde alla subordinante “se … allora”. Il se precede l’antecedente, l’allora il conseguente. Esso va letto come “se … allora” o anche “… implica ….” Es: “Se piove, allora rimango a casa” I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Tabelle di verità 2 p q p ↔ q V V V V F F F V F F Descrizione – Il funzionamento di questo connettivo corrisponde alla locuzione “se e solo se”, ovvero a una equivalenza dei valori di verità tra due (o più) proposizioni. Es: “Odi un tuono se e solo se c’è un fulmine”. Esso va letto come “se e solo se” oppure come “…equivale a…” p ¬ p V F Descrizione – Il funzionamento di questo connettivo corrisponde all’avverbio non, e rappresenta perciò la negazione di una o più proposizioni. Es: “ Non ho posteggiato fuori dagli spazi consentiti”. Esso va letto come “non” oppure come “non è vero che…” p q p ← q V V V V F F F V F F Descrizione – Il funzionamento di questo connettivo corrisponde a “allora … se”. In pratica corrisponde a un q implica p. Alla diapositiva 19 vengono forniti altri dettagli sul funzionamento e il significato di questo connettivo

I protagonisti della logica predicativa Tutti Alcuni Nessuno I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Le leggi di De Morgan ¬ (p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) ¬ (p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) Es. di 1: p = avere moglie ubriaca; q = avere la botte piena Non è vero che si può avere la moglie ubriaca e la botte piena equivale a O non si ha la moglie ubriaca o non si ha la botte piena Es di 2: p = si spende poco; q = ci si veste bene Non è vero che o si spende poco o ci si veste bene È vero che non si spende poco e non ci si veste bene I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

C’è chi pone e c’è chi toglie (p → q) ∧ p → q Modus ponens (p → q) ∧ ¬ q → ¬ p Modus tollens Es. di 1: p = Carlo parte; q = andrà a Parigi così si legge Se Carlo parte andrà a Parigi; Carlo parte perciò andrà a Parigi Es di 2: p = si spende molto; q = ci si veste bene Se si spende molto, allora ci si veste bene; ma non ci si veste bene, allora non si spende molto I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Bisogna essere equivalenti (p → q) = ¬ p v q (p → q) = ¬ (p ∧ ¬ q) (p → q) = (¬ q → ¬ p) I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

necessaria A quali condizioni? Tutti sappiamo che non bastano le nubi perché piova. Però senza nubi non può piovere. Quindi la presenza delle nuvole è necessaria o sufficiente? Oppure necessaria e sufficiente? Naturalmente, la risposta corretta è necessaria I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Condizione sufficiente Dati P e Q, P è condizione sufficiente di Q se ogni volta che troviamo P troviamo anche Q. Questo non esclude che si possa avere qualche Q senza P. Ciò equivale a dire P→Q, data la tavola di verità della implicazione. Quindi, se P implica Q, possiamo anche dire che P ne è condizione sufficiente. I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

A quali condizioni? Dati P e Q, P è condizione necessaria di Q se ogni volta che troviamo Q troviamo anche P. Questo non esclude che si possa avere qualche P senza Q. Ciò equivale a dire Q→P; possiamo anche introdurre un apposito connettivo, inverso della implicazione semplice, la controimplicazione: P ← Q C’è tra condizione necessaria e condizione sufficiente un rapporto inverso: Se P è condizione sufficiente di Q, Q è condizione necessaria di P Se P è condizione necessaria di Q, Q è condizione sufficiente di P I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Necessaria e sufficiente Dati P e Q, P è condizione necessaria e sufficiente di Q (e viceversa) se ogni volta che troviamo P troviamo Q, e ogni volta che troviamo Q troviamo anche P. Non è data la situazione in cui si abbia l’uno senza avere l’altro. Ciò equivale a dire P↔Q, data la tavola di verità dell’equivalenza I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Proposizioni categoriche 1 Proposizione categorica è quella che afferma l’appartenenza o la non appartenenza di qualcosa o qualcuno a una classe o categoria. Una proposizione categorica è o vera o falsa. Es. – Nessun mammifero è un oviparo Qualche studente ammira Pamela Anderson/(Brad Pitt) Qualche studente non ama la filosofia Tutti i professori sono intelligentissimi Qualche professore è puntuale Aristotele ha classificato tutte le proposizioni categoriche in quattro tipi, che i logici medievali hanno denominato come segue I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Proposizioni categoriche 2 A – Universale positiva: Tutti gli S sono P E – Universale negativa: Nessun S è P I – Particolare affermativa Qualche S è P O – Particolare negativa Qualche S non è P Esercizi I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Proposizioni categoriche 3 A partire dal ‘700 con metodi perfezionati poi nell’800, le proposizioni categoriche sono state espresse con diagrammi insiemistici. Apprendere questa tecnica permette di provare visivamente la correttezza o la non correttezza dei ragionamenti sillogistici. Pertanto, vediamo come visualizzare le proposizioni A, E, I, O. E -Nessun S è P A - Tutti gli S sono P P S P S I – Qualche S è P O – Qualche S non è P S P S P X X I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Proposizioni categoriche 4 Il quadrato delle opposizioni è una introduzione dei logici medievali. contrarie E -Nessun S è P A - Tutti gli S sono P subalternazione subalternazione superalternazione superalternazione contraddittorie I – Qualche S è P subcontrarie O – Qualche S non è P I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Proposizioni categoriche 5- Inferenze immediate Le inferenze immediate del quadrato delle opposizioni sono così elencabili. A ed E sono contrarie poiché non possano essere entrambe vere, sebbene possono essere entrambe false. Le contrarie corrispondono a ¬ (p ∧ q) Es. Tutti gli uomini sono generosi e Nessun uomo è generoso risultano false quando c’è Qualche uomo generoso assieme a Qualche uomo non generoso I ed O sono subcontrarie poiché non possono essere entrambe false, sebbene possano essere entrambe vere. Le subcontrarie corrispondono a (p ∨ q) Es. Alcuni metalli sono preziosi e Alcuni metalli non sono preziosi Questo è il quadro completo A vera: E falsa, I vera, O falsa A falsa: O vera, E e I indeterminate E vera: A falsa, I falsa, O vera E falsa: I vera, A e O indeterminate I vera: E falsa, A e O indeterminate I falsa: A falsa, E vera, O vera O vera: A falsa, E e I indeterminate O falsa: A vera, E falsa, I vera Se questi specchietti sono difficili da ricordare, ricordate queste due regole fondamentali: Se una contraria è vera,l’altra è falsa; se è falsa, l’altra è indeterminata Se una subcontraria è vera, l’altra è indeterminata; se falsa,l’altra è vera I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Altre inferenze immediate 1 Un’ inferenza è immediata quando da una premessa si può giungere a una conclusione. Es. da Tutti i farmacisti sono contro le liberalizzazioni a Chiunque è a favore delle liberalizzazioni non è un farmacista I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Altre inferenze immediate 2 Oltre a quelli compresi nel quadrato delle opposizioni, ci sono altre inferenze immediate,e, segnatamente quelle ottenute per Conversione Obversione Contrapposizione I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Conversione Una conversione consiste nel reciproco scambio delle posizioni dei termini del soggetto e del predicato. Es. Alcuni professori sono cretini diventa per conversione Alcuni cretini sono professori Manca la conversione di O. Es. Qualche pianta non è un albero la conversa sarebbe Qualche albero non è una pianta Conversione Convertendo Conversa A – Ogni S è P I – Qualche P è S E – Nessun S è P E – Nessun P è S I – Qualche S è P I – Qualche P è S O – Qualche S non è P --------------------- I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Obversione Per spiegare questa inferenza è necessaria qualche delucidazione. Ogni classe si definisce per una proprietà o predicato. Es. la classe di tutti gli studenti è definibile come l’insieme di quelle cose che studiano a scuola. La classe complemento degli studenti è quella definibile per la proprietà di non essere studente. Risulterà chiaro quindi il seguente schema: Obversione Obvertenda Obversa A – Ogni S è P E – Nessun S è non P E – Nessun S è P A – Ogni S è non P I – Qualche S è P O – Qualche S non è non P O – Qualche S non è P I – Qualche S è non P I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Contrapposizione Premesse Contrapposte Questa inferenza è la risultante combinate delle due precedenti. Per ottenere una contrapposta si sostituisce S col complemento di P e al contempo si sostituisce P col complemento di S. La contrapposta è dunque l’obversa della conversa dell’obversa. Avremo così A - Ogni metallo è un buon conduttore A - Ogni non buon conduttore è un non metallo Manca la contrapposta di I. Infatti, posso ottenere la obversa di I che è O, ma questa non ammette la conversa. Premesse Contrapposte A – Ogni S è P A – Ogni non P è non S E – Nessun S è P O – Qualche non P non è non S I – Qualche S è P --------------------------------------- O – Qualche S non è P O – Qualche non P non è non S I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Il sillogismo 1 È una forma di ragionamento costituita da tre enunciati: due premesse e una conclusione. Ciascun enunciato contiene un soggetto (S) e un predicato (P) uniti da una copula. Es. Tutti i gli studenti del Virgilio sono intelligenti Sigismondo è uno studente del Virgilio Sigismondo è intelligente In rosso il soggetto, verde il predicato. Come si nota la caratteristica di soggetto o predicato dipende dalla posizione. Il soggetto precede la copula, il predicato la segue. I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Il sillogismo 2 Se formalizziamo – ovvero traduciamo in simboli – il ragionamento precedente diventa così: Tutti gli S sono P X è un S X è un P Termine maggiore Termine minore L’elemento presente in entrambe le premesse ma non nella conclusione si chiama termine medio. Esso ha un ruolo fondamentale che dobbiamo ben capire. I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Il sillogismo 3 Esercitiamoci col seguente sillogismo Tutti gli italiani sono europei Tutti i siciliani sono italiani Tutti i siciliani sono europei Termine maggiore = Termine minore = Termine medio = europei siciliani italiani Chiameremo proposizione categorica ogni enunciato che costituisce il sillogismo. L’aggettivo categorico si spiega poiché ogni enunciato è un’asserzione intorno a una classe (o insieme). I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Il sillogismo 4 Chiameremo premessa maggiore quella contenente il termine maggiore; premessa minore quindi quella contenente il termine minore. Il termine medio è comune alle due premesse. Se esso manca o non è correttamente collocato, il sillogismo è invalido. A seconda della posizione del termine medio, i sillogismi sono classificati in quattro figure sillogistiche. I Figura II Figura III Figura IV Figura M – P S – M S – P P – M M – S Domanda: a quale figura appartiene il sillogismo precedente? I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Il sillogismo 5 Tutti gli S sono P Nessun S è P Qualche S è P Ogni enunciato che costituisce il sillogismo – ovvero le due premesse e la conclusione – può essere di quattro tipi. Tutti gli S sono P Nessun S è P Qualche S è P Qualche S non è P I logici medievali hanno classificato questi quattro tipi rispettivamente con la seguente denominazione: A – E – I – O. Ora, combinando i quattro tipi per i modi di ciascuna figura otteniamo 256 possibili schemi di sillogismo, chiamati modi sillogistici. Non tutti i modi sono però validi; anzi, i modi validi sono solo 24. cioè ciascuna delle quattro figure ha solo sei modi sillogistici validi. [In realtà bisognerebbe sottrarre al 24 cinque modi subalterni; ma di ciò non ci preoccuperemo] I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Il sillogismo 7 Questi diagrammi sono noti col nome di Eulero-Venn. Permettono una visione molto intuitiva delle condizioni di verità delle proposizioni A, E, I, O mediante la rappresentazioni di insiemi. Verifichiamo facilmente che: A è vera in I e III; falsa nelle altre E è vera in V; falsa nelle altre I è vera in I, II,III, IV; falsa in V O è vera in II, IV, V; falsa in I e III I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Il sillogismo 8 Verifica di correttezza Consideriamo il seguente sillogismo di forma AAA-4 Tutti i siciliani sono italiani Tutti gli italiani sono europei Tutti i siciliani sono europei E La correttezza del ragionamento è evidente. Invertendo le premesse , naturalmente il sillogismo rimane valido. Perciò qualunque argomentazione di questa forma è sempre valida, anche quando le classi sono vuote. [Cfr. sillogismo 14] Es. Tutti i blefardi sono lumardi Tutti i lumardi sono semardi Tutti i blefardi sono semardi I S I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Il sillogismo 9 Verifica di correttezza Consideriamo il seguente sillogismo di forma EAE-1 Nessun uomo è alto cinque metri Tutti gli italiani sono uomini Nessun italiano è alto cinque metri Anche in questo caso la validità del ragionamento è chiara. Pertanto, ogni ragionamento di questa forma è sempre vero. U A I I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Il sillogismo 10 Verifica di correttezza Consideriamo il seguente sillogismo di forma AOO-1 Tutte le rose hanno le spine La margherita non è una rosa La margherita non ha le spine Nonostante le tre proposizioni siano vere, la costruzione dei diagrammi ci mostra che non c’è intersezione tra la classe M e quella R. perciò la conclusione non può essere inferita dalle premesse. Quindi i sillogismi di forma AOO-1 non sono validi. La non validità dell’argomento ricalca la fallacia della negazione dell’antecedente ((p →q) ∧ ¬p) → ¬q. Il canonico sillogismo su Socrate mortale è invece una corretta affermazione dell’antecedente. M S R I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Il sillogismo 11 Verifica di correttezza Consideriamo il seguente sillogismo di forma AII-1 Tutti i metalli sono buoni conduttori Qualche opera d’arte è di metallo Qualche opera d’arte è un buon conduttore C Il sillogismo è corretto. Infatti, l’intersezione tra la classe O e la M permette di concludere O in C. O M x I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Il sillogismo 12 Verifica di correttezza Consideriamo il seguente sillogismo di forma EIO-1 Nessun tifoso è arbitro di qualche squadra Qualche giornalista è tifoso Qualche giornalista non è arbitro di qualche squadra Il sillogismo è corretto. Infatti, l’intersezione tra la classe T e la G non è vuota, ma quella tra la G e la A è vuota. Pertanto, la conclusione -non è arbitro- non va segnata con la x. T A G x I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Il sillogismo 13 Verifica di correttezza Consideriamo il seguente sillogismo di forma AII-2 Tutti gli studenti del Virgilio sono intelligenti Qualche extraterrestre è intelligente Qualche extraterrestre è studente del Virgilio Il sillogismo non è corretto. Infatti, l’intersezione tra la classe E e la I non è vuota, ma da ciò non segue che la classe E intersechi la S. Anche in questo caso, tutti i sillogismi di forma AII-2 sono scorretti. I S E x I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Il sillogismo 14 Verifica di correttezza Consideriamo il seguente sillogismo di forma AAI-3 Tutti gli studenti del Virgilio sono intelligenti Tutti gli studenti del Virgilio sono sexy Qualche intelligente è sexy Malgrado le apparenze, il sillogismo non è corretto, benché tradizionalmente venisse annoverato fra quelli che lo erano. Proviamo infatti a costruire un ragionamento analogo ma falso. Tutti i siciliani millenari sono alti Tutti i siciliani millenari sono bassi Qualche alto è basso. Il sillogismo diventa corretto se si assume la premessa aggiuntiva “ Esiste qualche M” [M = termine medio]. A questo sillogismo è stata attribuito il nome mnemonico darapti I SV S x I SV S I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Il sillogismo 15 Verifica di correttezza Consideriamo il seguente sillogismo di forma III-1 Qualche bandito è di cuore nobile Qualche politico è bandito Qualche politico è di cuore nobile Il sillogismo non è corretto. I diagrammi infatti intersecano B e C, B e P, ma non P e C. Pertanto tutti i sillogismi di questa forma non sono validi. B x C P x I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Limiti dei diagrammi Purtroppo ragioni di complessità e di tempo ci hanno costretto ad adoperare un sistema semplificato dei diagrammi Eulero-Venn. Anche quello completo ha tuttavia dei limiti intrinseci che vanno comunque corretti con alcune regole supplementari. L’alternativa ideale sarebbe stata la trattazione del calcolo dei predicati, che, però, presenta un livello di complessità non trattabile in questa sede. Ci dobbiamo accontentare perciò di completare l’uso dei diagrammi con otto regole integrative, seguendo le quali si giunge alla formulazione di un sillogismo valido I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Le otto regole1 Un sillogismo deve contenere esattamente tre termini Il soggetto e/o il predicato nella conclusione non possono avere una estensione maggiore di quella che hanno nella premessa Il termine medio non deve mai apparire nella conclusione In almeno una delle premesse il termine medio deve essere universale Due premesse negative non consentono alcuna conclusione Due premesse affermative non conducono a una conclusione negativa La conclusione deve contenere quantità e/o qualità in misura minore delle premesse Due premesse particolari non conducono ad alcuna conclusione I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Le otto regole 2. Regola 2 Le regole contrassegnate coi numeri 1,3,5,6,8 non necessitano di particolari chiarimenti. Analizziamo pertanto le tre rimanenti, che, al contrario, richiedono qualche delucidazione. Regola 2: Il soggetto e/o il predicato nella conclusione non possono avere una estensione maggiore di quella che hanno nella premessa. Per intendere la 2 si tenga conto di quanto segue: In una qualsiasi proposizione, il predicato è sempre più esteso del soggetto. Inoltre, il predicato in proposizioni A è di estensione minore rispetto a predicati in proposizioni di tipo E. Premessa maggiore M – P Tutti gli uomini sono animali Premessa minore S – M Tutti i mussomelesi sono uomini Conclusione S –P Tutti i mussomelesi sono animali Come si nota in questa figura, P è il termine esterno (o estremo) che, in quanto compare due volte nella stessa posizione, sarà necessariamente più esteso di S. Basterebbe d’altronde riprodurre coi diagrammi per rendersene visivamente conto Premessa maggiore M – P U A M A Conclusione S - P Come si vede qui per il predicato e per il soggetto, l’estensione non è maggiore di quanto hanno in premessa. Questo sillogismo è perciò corretto

Le otto regole 3. Regola 2 bis Proviamo a vedere cosa accade invece con sillogismo che non rispetta questa regola. Premessa maggiore Tutti i cani sono mammiferi Premessa minore Nessun gatto è un cane Conclusione Nessun gatto è un mammifero Formalmente si tratta di un sillogismo identico al precedente. Tuttavia, in questo l’estensione di P in conclusione è maggiore di P in premessa. Il sillogismo pertanto non è valido. C M G M Premessa maggiore S- P Conclusione S - P Nel diagramma di sinistra la classe M è parzialmente occupata da quella dei cani, ed è perciò meno estesa rispetto alla classe M del diagramma di destra. Ciò giustifica quanto detto nella slide precedente, ovvero che nelle proposizioni di tipo A l’estensione del predicato è minore rispetto al predicato in proposizioni di tipo E.

Le otto regole 4. Regola 2 tris Proviamo ancora a vedere cosa accade un altro sillogismo che non rispetta questa regola. Premessa maggiore Tutti i filosofi sono saggi Premessa minore Tutti i filosofi sono uomini Conclusione Tutti gli uomini sono saggi L’estensione di P nella conclusione non è maggiore di quella della premessa, ma il predicato della seconda premessa ha estensione maggiore del soggetto della conclusione F U U M Premessa minore S- P Conclusione S - P Nel diagramma di sinistra la classe U è visivamente più estesa rispetto alla classe U del diagramma di destra. Ciò giustifica quanto detto nella slide 45, ovvero che nelle proposizioni l’estensione del soggetto è sempre minore dell’estensione del predicato.

Le otto regole 5. Regola 4 Ricordiamo la regola in fattispecie. Regola 4: In almeno una delle premesse il termine medio deve essere universale. Questa regola impone che il termine medio abbia nelle due premesse una estensione diversa, altrimenti il passaggio nella conclusione è non corretto. Vediamolo con un esempio. Premessa maggiore Tutti i francesi sono europei Premessa minore Tutti gli italiani sono europei Conclusione Tutti gli italiani sono francesi Poiché il termine medio ha in entrambe le premesse la posizione di predicato che, in proposizioni di tipo A – come detto – ha un’estensione particolare, il sillogismo non rispetta la regola 4; quindi è invalido. F E I Nel diagramma appare visivamente evidente che l’estensione del termine medio ha uguale estensione, nella fattispecie particolare. Quindi il sillogismo è non corretto. Lo studente provi a riprodurre dei diagrammi di sillogismi corretti; si renderà conto osservando il termine medio che in almeno una premessa esso è universale.

Le otto regole 6. Regola 7 Ricordiamo la regola in che ci interessa analizzare Regola 7: La conclusione deve contenere quantità e/o qualità in misura minore delle premesse. Per comprendere questa regola, ricordiamo che per qualità si intende la proposizione affermativa (A -I) o negativa (E – O); mentre per quantità l’essere universale (A-E) o particolare (I-O). La regola perciò impone che per due premesse diverse in qualità e/o quantità, la conclusione dovrà avere una misura qualitativa e quantitativa minore rispetto alle premesse. Con degli esempi vedremo che si possono verificare tre casi. Due premesse affermative, una universale e una particolare conclusione affermativa particolare. Due premesse universali, una affermativa e una negativa conclusione negativa universale o particolare. Due premesse , una affermativa e una negativa, di cui una universale e una particolare conclusione negativa particolare. Tutti gli altri casi rientrano nelle rimanenti regole. Nelle slide successive seguiranno degli esempi

Le otto regole 6. Regola 7 bis Caso 1- Due premesse affermative, una universale, l’altra particolare. Premessa maggiore Tutti gli uomini sono esseri parlanti A Premessa minore Qualche essere vivente è un uomo I Conclusione Qualche essere vivente è un essere parlante I Caso 2 - Premesse universali, una affermativa, una negativa. Premessa maggiore Tutti i gatti sono animali Nessun cerchio è un quadrato Premessa minore Nessun fiore è un animale Tutti i cerchi sono figure piane Conclusione Nessun fiore è un gatto Qualche figura piana non un quadrato Caso 3 – Premesse una affermativa, una negativa di cui una universale l’altra particolare Premessa maggiore Tutti gli uomini sono razionali Nessun uomo è una pietra Premessa minore Qualche vivente non è razionale Qualche vivente è un uomo Conclusione Qualche vivente non è uomo Qualche vivente non è una pietra

Logica e quiz vari 1 Ecco come applicare la logica per la soluzione di diversi indovinelli. Due persone di sesso diverso: una bionda e una mora. La mora: Io sono un uomo; la bionda dice: Io sono una donna. Se almeno una delle due mente, quale delle seguenti affermazioni è vera? La donna è bionda, l’uomo moro La donna è mora, l’uomo biondo Solo l’uomo mente Solo la donna mente La bionda è donna I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Logica e quiz vari 1- soluzione Servendoci della logica proposizionale simbolizziamo così: p = io sono uomo – q = io sono donna. Poi ipotizziamo che p lo dica la bionda e q la mora. Inoltre, ricordiamo il dato: almeno una delle due affermazioni era falsa. Costruiamo una tabella di verità p ∧ q p(bionda) q(mora) p ∧ q V V Impossibile, direbbero entrambe il vero V F Impossibile, risulterebbero entrambe bionde F V Impossibile, risulterebbero entrambe more F F Persona mora: donna – Persona bionda: uomo I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Il sillogismo 16 Verifica di correttezza 3) Nessun gatto è un cane 1) Alcuni uomini sono santi Tutti i criminali sono uomini Tutti i criminali sono santi Nessun santo è criminale 2) Ogni pipistrello è un volatile Ogni pipistrello è un mammifero Qualche mammifero è un volatile Qualche volatile non è un mammifero 3) Tutti i cani sono mammiferi Nessun gatto è un cane Nessun gatto è un mammifero 3) Tutte le sirene hanno la coda di pesce Tutte le sirene hanno una voce melodiosa Qualche voce melodiosa ha la coda di pesce Qualche voce melodiosa non ha la coda di pesce 4) Nessun matematico ha mai quadrato il cerchio Nessun matematico ha mai guidato un dirigibile Tutti coloro che hanno quadrato un cerchio non sono matematici Tutti coloro che non guidano i dirigibili sono matematici I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Fallacie 1 Una fallacia è un errore di deduzione, che, spesso, si presenta in apparenza come una forma corretta di ragionamento. Es. 1) Tutti i mammiferi sono mortali Tutti i cani sono mortali Tutti i cani sono mammiferi oppure 2)Se Carlo è colpevole, allora va condannato; ma Carlo non è colpevole, pertanto non va condannato. Il compito che abbiamo davanti è perciò quello di capire come si distingue la forma di ragionamento corretto (o valido) da quella scorretta ( o non valida). I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Fallacie 2 Come si è notato la correttezza di un ragionamento non ha a che vedere con la verità né con la persuasione. Pertanto, possono esistere ragionamenti logicamente invalidi e tuttavia persuasivi o veri. Nella slide n° 19 l’esempio 2 si presenta persuasivo, e tuttavia invalido. Ma come è possibile capire quando un argomento è non valido? I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Bibliografia essenziale E.J. Lemmon - Elementi di logica Ed. Laterza, Bari (1985) Copi I. M., Cohen C.-Introduzione alla logica, Ed. Il Mulino, Bologna (1999) D. Zambella - Elementi di logica www.dm.unito.it/personalpages/zambella/papers/elementi/e.pdf I.I.S. Virgilio - Michele Morreale