CALCOLI DI VERIFICA È a questo punto necessario effettuare una serie di calcoli per verificare se gli obiettivi primari (Vcc ed ) sono stati raggiunti Vcc =>la conoscenza di Zcc (Rcc ed Xcc)  => la conoscenza delle perdite nel ferro e nel rame Le dimensioni geometriche della macchina, la sua configurazione ed i materiali scelti giocano un ruolo fondamentale

DETERMINAZIONE DELLA CORRENTE A VUOTO I0 Per calcolare I0 devo conoscere la componente magnetizzante e quella di perdita La I deriva dal calcolo delle Asp effettive La Ia si determina dalle perdite nel ferro e nel rame a vuoto Si calcola la componente magnetizzante I l’integrale si svolge lungo il circuito magnetico

Sappiamo che =BS=HS, essendo nota B dalla curva di magnetizzazione, il che implica: Suddividendo il circuito magnetico in n tronchi dove S e B sono costanti (in prossimità dei giunti dove avviene il cambio di direzione del circuito magnetico, sia S che B non sono rigorosamente costanti) Nei traferri si ha: H0 = BMC/0 Conoscendo la lunghezza media dei gioghi lg e delle colonne lc, ed assumendo nota la lunghezza totale lt del traferro (valori convenzionali), si calcola la f.m.m. nel nucleo As

Asm=2Asc+2Asg+4As Bc=/Sc Bg=/Sg Caso dei Trasformatori Monofase La relazione di sopra si particolarizza in: Asm=2Asc+2Asg+4As Vediamo le As di colonna e del giogo Bc=/Sc Bg=/Sg  lg hc Il materiale ferromagnetico con cui verrà realizzato il circuito magnetico è già stato scelto, per cui si dispone della relativa curva di magnetizzazione e della curva descrittiva della cifra di perdita.

H0 = As/0=BC/0 => As=0.8 BC 0 106 Note Hc ed Hg, si calcolano le As di giogo e colonna Asc=Hchc Asg=Hghg Per quanto riguarda i giunti, questi sono in aria. Quindi: H0 = As/0=BC/0 => As=0.8 BC 0 106 (0 =1.26 10-6 [H/m]) Per 0 si considerano gli spessori convenzionali riferiti al tipo di giunto che si è scelto (appoggiato, intercalato, etc.) Le As magnetizzanti possono essere espresse come: Asm=2 Hchc +2 Hghg +4(0.8 BC 0 106)

I=(2 Hchc +2 Hghg +4(0.8 BC 0 106)) Caso dei Trasformatori Trifase Si conclude che la corrente magnetizzante per un trasformatore monofase è data dalla relazione: I=(2 Hchc +2 Hghg +4(0.8 BC 0 106)) Caso dei Trasformatori Trifase 0 hc lg 1 2 3 C’è dissimmetria nel circuito magnetico Circuito 1 => As1 Circuito 2 => As2 Circuito 3 => As3

As1m= As3m = Asc+2Asg+2As As2m = Asc+2As Asm= (As1m +As2m+ As3m)/3 Considero il valore medio di As Asm= (As1m +As2m+ As3m)/3 Asm= Asc + 2As+ (4/3)Asg I=( Hchc +(4/3) Hghg +2(0.8 BC 0 106))

Calcolo della Ia Per determinare le perdite nel ferro: La componente attiva Ia vale: con P0=Pfe+Pcu0 La potenza persa per effetto Joule a vuoto si determina conoscendo il valore della corrente a vuoto, I0=> PCu0=3RIo2 La posso porre, in prima approssimazione, pari a PCu0=3RI2 Per determinare le perdite nel ferro: si fa riferimento alla cifra di perdita specifica (W/kg) che è valida per B=1 Wb/m2 e per f=50Hz e si determina sperimentalmente con il giogo di Epstain si ricorre ai diagrammi di perdita

CALCOLO DELLE PERDITE NEL FERRO Si determina il peso delle colonne e del giogo Gc = 3hc Sc fe ; Gg = 2lg Sg fe dove: hc = lunghezza media di una colonna; lg = lunghezza media di un giogo. fe = peso specifico del ferro Sc, Sg =sezioni di base di colonna e di giogo Il peso complessivo del circuito magnetico è G= Gc + Gg

, PCu0=3RI2 , Le perdite nel ferro si determinano con la relazione: pfe = cifra di perdita del ferro con B = 1 (T) p’fe = cifra di perdita del ferro con B = BMC Kfe = 1,05 - 1,2 funzione delle tecniche adottate. Questo coefficiente tiene conto della qualità della punzonatura , PCu0=3RI2 ,

RIFERIMENTI PER LA I0 La differenza è determinata dalla influenza dei traferri che nei piccoli trasformatori è percentualmente elevata

Vcc=ZccIn CALCOLO DELLA Vcc La tensione di corto circuito è importante perché ha dirette implicazioni su: sicurezza (determina la Icc) parallelo dei trasformatori sulle cadute resistive ed induttive a carico Per definizione è la tensione di alimentazione di un trasformatore quando nel secondario, collegato in corto circuito, circola la corrente secondaria nominale Vcc=ZccIn dove Rcc=R1+R21; Xcc=X1+X21

Icc=Vn/Zcc Icc=InVn/Vcc Allo stesso modo posso definire la corrente di corto permanente Icc=Vn/Zcc Se eguaglio le relazioni sulla base della Zcc vedo che Icc=InVn/Vcc Poiché di solito la Vcc è circa il 5% della Vn, Icc è circa 20In e gli sforzi elettrodinamici sono 400 maggiori Vcc è un dato di specifica che deve essere raggiunto. Per poterlo fare si agisce su Zcc e quindi su Xcc e su Rcc Se aumento Rcc, aumentano le perdite e cala  Se diminuisco Rcc aumento l’ingombro ed il costo della macchina. Quindi si agisce su Xcc

DETERMINAZIONE DELLA RESISTENZA DEGLI AVVOLGIMENTI Sulla base della sezione SCu e della lunghezza la dei conduttori dei singoli avvolgimenti si ottiene la loro resistenza ohmica RDC: Dove t è la resistività del materiale conduttore impiegato alla temperatura di riferimento t (75 °C per le classi A ed E, 105 °C per le classi B, F ed H).

La variazione di t con la temperatura è linearizzabile 2= 1[ 1+(T2-T1)] I valori caratteristici di t alle varie temperature sono t(0°C)=0.0160 [ mm2/m] t(20°C)=0.0173 [ mm2/m] t(75°C)=0.0210 [ mm2/m] (temperatura media per i trasformatori in olio) t(115°C)=0.0238 [ mm2/m] (temperatura media per i trasformatori cast-resin in epossidica)

Per quanto riguarda la valutazione della lunghezza dei conduttori, essa è determinabile considerando le relazioni analitiche descrittive di una traiettoria a spirale che tiene conto del modo con cui è stato realizzato l’avvolgimento Si preferisce ricorrere a delle relazioni approssimate che tengono conto del numero di spire e della lunghezza media di spira, ovvero del perimetro di spira valutato sul raggio medio dell’avvolgimento lc1,2=Nlm1,2 => (a 75°C)

FENOMENI DI ADDENSAMENTO DI CORRENTE Poiché i conduttori sono percorsi da corrente alternata, i flussi dispersi producono una non uniforme distribuzione della corrente nella loro sezione, ciò dà luogo a perdite addizionali di cui si tiene conto con un coefficiente KAC, si ha quindi: RAC = KAC RDC KAC dipende dalla forma e dalle dimensioni del conduttore, dalla disposizione e dalla forma dell’avvolgimento preso nel suo insieme. KAC varia tra 1 e 1.15 a 50 Hz PCu = 3KAC RDCI2

SITUAZIONE DEI FLUSSI DISPERSIONE BT AT FLUSSO UTILE FLUSSO DISPERSO

La potenza persa per effetto Joule sarà: P=RI2 Dato un conduttore massiccio, di resistenza R, attraversato da una corrente I. La potenza persa per effetto Joule sarà: P=RI2 Suppongo ora che la corrente si ripartisca in due sezioni ognuna pari alla metà della sezione di partenza (R=>2R per ogni sezione) Inoltre, una sezione abbia un incremento I e l’altra un decremento della stessa entità (I/2+ I; I/2-I) 2R I/2+ I 2R I/2-I L’esempio mostra come la non uniforme distribuzione di corrente possa provocare un aumento delle perdite

Conduttore Massiccio Dato un conduttore rettangolare massiccio, di dimensioni H*B*, si considerino le seguenti ipotesi: 1) linee di campo a 90° rispetto al profilo del conduttore 2) linee di flusso parallele 3) permeabilità = nel ferro e 0 nell’aria, nell’isolante e nel rame Sono ipotesi che consentono lo studio del problema in una dimensione lineare e non tridimensionale. Siano (x) ed H(x) il valore locale della densità di corrente e della intensità di campo H* B* F H* x dx Con riferimento alla figura, nel tratto dx circola la corrente dI

Per il teorema di Ampere Dalle leggi di Maxwell Per le ipotesi fatte (unidimensionalità) uguagliando i gradienti si ha essendo poi che

Se x=0 => H=0 Se x=H* => (N=1) Quindi se H(x,t) varia sinusoidalmente nel tempo se si pone allora la cui soluzione è costituita da combinazioni di funzioni iperboliche. Le costanti si determinano in base alle condizioni al contorno Se x=0 => H=0 Se x=H* => (N=1)

Allora le soluzioni sono con il cambio di variabile le soluzioni diventano

Avendo posto 0 è il valore di densità di corrente per una distribuzione uniforme Si definisce una altezza ridotta del conduttore si definisce come fattore di resistenza KAC: () può essere sviluppato in serie

Studio asintotico per >1 => ()   per <1 => () può essere anche rappresentato in grafico

DETERMINAZIONE DI Kac AVVOLGIMENTI CONCENTRICI Considero l’avvolgimento di bassa avvolto a spirale in multi strato Considero un conduttore a sezione rettangolare bxh Suppongo di avere m conduttori affiancati ed n sovrapposti in modo che il numero di spire sia N=mn e che le dimensioni complessive siano H*xB* * H h’ * n B b m

a = B* + 0,2H* (lunghezza ridotta delle linee di flusso) Definisco una altezza ridotta per il conduttore come:  = h con Le lunghezze sono in cm con riferimento alla figura.  = pulsazione = resistività del materiale conduttore in ( mm2/m) m ed n gli strati sovrapposti nei due sensi a = B* + 0,2H* (lunghezza ridotta delle linee di flusso)

Conduttore rettangolare: Conduttore circolare: b = h = d d = diametro del conduttore. * H h n * B b m

Tutte le dimensioni sono in cm, mentre  è espressa in  cm, (a 0°C, 1,6  cm per il rame, e 2,65  cm per l’alluminio, in ambedue i casi con 0 = 0,00426). Da queste formule deriva l’opportunità di disporre i conduttori rettangolari con il lato lungo in direzione radiale per gli avvolgimenti alternati ed in direzione assiale per gli avvolgimenti concentrici. Al crescere di  si ha una diminuzione di KAC, si ha cioè una diminuzione delle perdite addizionali a trasformatore caldo, di ciò si deve tenere conto nella determinazione del rendimento. In realtà KAC varia da strato a strato e quindi le relazioni fornite sono da considerasi per una stima del suo valor medio

DETERMINAZIONE DI Kac AVVOLGIMENTI A BOBINE O ALTERNATI Conduttore rettangolare: Conduttore circolare: b = h = d d = diametro del conduttore. n * H b h m * B

dove si ha:  = h con Le lunghezze sono in cm con riferimento alla figura. f = frequenza in Hz = resistività del materiale conduttore in (W mm2/m) m ed n gli strati sovrapposti nei due sensi a = B*+ 0,6H*  = altezza ridotta del conduttore a = lunghezza ridotta della linea di flusso

LE REATTANZE DI DISPERSIONE BT AT FLUSSO DISPERSO UTILE + H - H h Dal valore della reattanza di dispersione Xd dipende la tensione di corto circuito del trasformatore VCC, che costituisce uno dei parametri di progetto del sistema in cui il trasformatore viene inserito.

Calcolo Mediante l’Energia Magnetica Ipotesi semplificative: 1) Avvolgimenti uniformemente distribuiti; 2) Trascuro la I0 => N1I1=N2I2 => H=NI/h l’andamento delle Asp/m è di tipo trapezioidale nella direzione radiale 3) Le linee di flusso siano parallele e di altezza. Questa approssimazione è valida per avvolgimenti a spirale, meno per quelli a bobina per la presenza dei distanziatori 4) Suddivisione del flusso disperso in due contributi per BT per AT 5) si assume, grossolanamente, che lm1=lm2=lm e che (ipotesi meno valida)

eguagliando i flussi dispersi Dalla conoscenza del campo H in ogni sezione verticale ricavo il coeff di auto induzione L si ricorda che il flusso concatenato con N spire è in relazione con la corrente che lo genera eguagliando i flussi dispersi dalla ipotesi 1) possiamo calcolare il coeff. di auto induzione dLx nel tratto dx, a distanza x dalla colonna h x dx

Per calcolare L, integro dLx tra 0 e 1 Nell’interspazio tra i due avvolgimenti, il campo H rimane costante perché il numero di spire non varia, quindi: se particolarizziamo il calcolo di L nel tratto L=>L1

La reattanza di dispersione si calcola di conseguenza (le distanze sono misurate in metri) l’espressione ricavata, verificata in pratica, ha evidenziato la necessità di aggiustare il coeff. iniziale da 8 ad 8.5. Con lo stesso ragionamento si perviene ad una espressione analoga per il secondario si riporta tutto al primario

la reattanza complessiva vale si noti come la reattanza di dispersione vari con le dimensioni geometriche degli avvolgimenti. Ciò permette di regolare il valore di Xcc per influire sulla Vcc Esistono dei vincoli strutturali che non consentono di variare Xcc a piacere (es. il canale tra AT e BT deve rimanere largo abbastanza per consentire la circolazione del fluido di raffreddamento) Si può variare 1 e 2 però devo fare attenzione ai costi del rame posso variare h ma anche in questo caso attenzione ai costi ed alla sollecitazione Asp/cm (macchina sovra o sotto dimensionata)

DETERMINAZIONE DELLA REATTANZA DI DISPERSIONE 1  2 BT AT r1 R r2 + H - H FLUSSO DISPERSO UTILE h’ R1 R2

METODO DEL FLUSSO CONCATENATO Per due avvolgimenti concentrici di pari altezza, trascurando la corrente a vuoto si ha: N1 I1 = N2 I2 Determiniamo l’induzione nel canale di dispersione B0 e negli avvolgimenti B1 e B2:

Determiniamo quindi i flussi corrispondenti: concatenato con tutte le spire N1 del primario; concatenato con 2/3 delle spire N1 del primario; concatenato con tutte le spire N1 e 2/3 N2:

I flussi concatenati valgono quindi: Si può adesso calcolare la reattanza di dispersione Ld come rapporto fra il flusso disperso totale * e la corrente I1:

(H) Avendo posto p = lunghezza della spira media dei due avvolgimenti. Poiché si ha: 0 = 1,25 10-6 (H/m)

Adottando come unità di misura per le lunghezze i centimetri si ottiene: Per tenere conto che le linee di flusso sono inferiori ad h si pone: Si ottiene infine la reattanza di dispersione Xd:

AVVOLGIMENTI CONCENTRICI BT AT X O 1  2 Se non si riesce a raggiungere l’obiettivo, di adottano altre soluzioni

AVVOLGIMENTI BICONCENTRICI AT BT X O X 1/2 2 1/2    Questo avvolgimento presenta una X inferiore al caso precedente, però costa di più

AVVOLGIMENTI BICONCENTRICI DISSIMMETRICI Regolaz. AT X O X BT AT

AVVOLGIMENTI ALTERNATI SIMMETRICI  Gruppo (bobina intera) b BT AT 1 2/2

Nell’espressione di X si è posto: b = dimensione radiale delle bobine; N = numero totale di spire dell’avvolgimento di riferimento; q = numero di bobine intere del primario o del secondario (2 nel caso in figura); K = coefficiente che tiene conto della reale configurazione delle linee di flusso: Rogowsky ha proposto la seguente espressione:

AVVOLGIMENTI ALTERNATI DISSIMMETRICI BT AT

AVVOLGIMENTI ALTERNATI DISSIMMETRICI BT AT

Può essere utile esprimere la Xd per unità. Da: si ha:

CADUTA DI TENSIONE TRA VUOTO E CARICO Sono calcoli che hanno lo scopo di mettere bene in chiaro il comportamento del trasformatore nel passaggio da vuoto a carico con diversi cos Collegando un carico generico al secondario del trasformatore, la tensione ai suoi morsetti diventa V2, e viene erogata una corrente I2 sfasata di 2 Sia Z”e=R”e+X”e la impedenza equivalente vista dal secondario del trasformatore

E022=(V2cos2+R”eI2)2+(V2sin2+X”eI2)2 Dal diagramma si ricava la relazione E022=(V2cos2+R”eI2)2+(V2sin2+X”eI2)2 Risolvendo rispetto a V2 posso calcolarmi la caduta di tensione da vuoto a carico. Questo approccio non viene utilizzato perché si cerca di sfruttare le conoscenze delle caratteristiche di macchina La differenza aritmetica tra delle caratteristiche di macchina tra E02 e V2 viene rappresentata dal segmento AD Il calcolo della caduta di tensione si riduce al calcolo di questa differenza In prima approssimazione considero VAF il che significa trascurare il trattino FD

V  R”eI2 cos2+X”eI2 sin2 Ne viene che V  R”eI2 cos2+X”eI2 sin2 Per migliorare la approssimazione, devo considerare ancora il tratto FD che, con sufficiente approssimazione può essere ritenuto pari a metà di FH (FD=FH/2) FH si può determinare con il teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo OCH FH:CF=CF:OF FD=FH/2=CF2/2OF Dalla figura si rileva che CF=CK-FK=>

CF= X”eI2 cos2-R”eI2 sin2 OFE02 FD( X”eI2 cos2-R”eI2 sin2)2/2E02 OF può essere approssimato con E02 OFE02 Quindi posso scrivere che FD( X”eI2 cos2-R”eI2 sin2)2/2E02 La variazione di tensione assume l’aspetto V  R”eI2 cos2+X”eI2 sin2+ +( X”eI2 cos2-R”eI2 sin2)2/2E02 in percentuale V%  100(R”eI2 cos2+X”eI2 sin2)/E02+ +50( X”eI2 cos2-R”eI2 sin2)2/E022

V%  100(I1/V1)(R’e cos2+X’esin2)+ Ora riporto tutte le grandezze al primario (I2=kI1; E02=kV1; Re’=k2Re”; Xe’=k2Xe e dove k è il rapporto di trasformazione) e trascuro la corrente a vuoto V%  100(I1/V1)(R’e cos2+X’esin2)+ +50 (I1/V1)2( X’e cos2-R’e sin2)2 Si osservi che R’e I1=Vcccoscc ed X’e I1=Vccsincc La caduta di tensione tra vuoto e carico può essere espressa in termini di tensione di corto circuito V%  100(Vcc/V1)(coscccos2+ sinccsin2)+ +50 (Vcc/V1)2(sincccos2- cosccsin2)2 se si considera che Vcc%= 100(Vcc/V1) posso scrivere che Vcc%= 100(1.73ZccI1/V1)

VRcc%= 100(1.73ZccI1/V1)coscc= 100(1.73RccI1/V1) Vcc%= 100(1.73ZccI1/V1) posso anche definire le cadute percentuali di tipo resistivo ed induttivo come: VRcc%= 100(1.73ZccI1/V1)coscc= 100(1.73RccI1/V1) deve essere compresa tra il 5% per i piccoli e lo 0.5% per i grandi trasformatori. Inoltre: VXcc%= 100(1.73ZccI1/V1)sincc= 100(1.73XccI1/V1) che deve essere compresa tra il 4% per i piccoli e l’8% per i grandi trasformatori.

V%  100(Vcc/V1)(coscccos2+ sinccsin2)+ Sulla base di queste posizioni, la relazione V%  100(Vcc/V1)(coscccos2+ sinccsin2)+ +50 (Vcc/V1)2(sincccos2- cosccsin2)2 diventa: V%  VRcc%cos2+ VXcc%sin2+ +(VXcc%cos2- VRcc%sin2)2/200 per cos =1 => V%  VRcc%+(VXcc%)2/200 In questo modo è possibile valutare il comportamento del trasformatore nella variazione tra vuoto e carico, al variare del cos 

Come valori di riferimento, posso considerare la seguente tabella

CALCOLO DELLE PERDITE NEI CONDUTTORI Si determinano i pesi degli avvolgimenti: GCuAT= 3 laAT SCuAT CuAT GCuBT= 3 laBT SCuBT CuBT Le perdite negli avvolgimenti valgono: Pcu = 3 KACAT RDCAT I2AT + 3 KACBT RBT I2DC BT Di solito di può porre: KACAT = 1

DETERMINAZIONE DEL RENDIMENTO Determinate le perdite del ferro e nei materiali conduttori è possibile calcolare il rendimento, essendo noti la potenza apparente nominale P ed il fattore di potenza di riferimento cos: