Un altro esempio di linearizzazione

Consideriamo una certa quantità di aria a temperatura ambiente e pressione atmosferica posta in un recipiente dotato di un pistone. Agendo sul pistone comprimiamo l’aria e mediante due sensori misuriamo il valore della pressione e del volume durante la compressione. Raccogliamo i dati in una tabella e trasferiamoli su un foglio elettronico

Riportiamo in un grafico i valori della pressione (espressi in Pascal) in funzione del volume (espresso in m3). Qualche considerazione: come varia la pressione? il grafico ha l’andamento che ci si aspettava? siamo in grado di individuare il tipo di trasformazione subita dal gas (aria)? Adiabatica? Isoterma?

Ipotesi 1 : trasformazione adiabatica (PVg) = costante con g =7/5=1.4 Ipotesi 2 : trasformazione isoterma (PV) = costante

Cerchiamo una linea di tendenza del tipo “legge di potenza” : y = A x k Che significato hanno le diverse variabili dell’equazione?

PV1.0165 = 34.541 y  Pressione x  Volume Possiamo riscrivere l’equazione come: y x1.0165 = 34.541 che con la corrispondenza y  Pressione x  Volume diventa PV1.0165 = 34.541 Il valore dell’esponente di V suggerisce che la trasformazione subita dall’aria è isoterma (PV = costante)

Come possiamo linearizzare il problema Come possiamo linearizzare il problema? Cioe’, come possiamo trasformare le variabili coinvolte nel problema in modo da trovare una relazione lineare? Se riportiamo in un grafico la dipendenza della pressione da (1/V) otteniamo:

Se proviamo a cercare una linea di tendenza opportuna, otteniamo: Che significato hanno y e x in questo caso? Che legame ci aspettiamo tra il coefficiente angolare di questa retta e la costante moltiplicativa dell’equazione precedente? E per il valore dell’ordinata all’origine?

Possiamo applicare un’altra tecnica per linearizzare il problema. Se prendiamo una funzione del tipo: Y = A xm E calcoliamo il logaritmo di entrambi i membri otteniamo: log (y) = log(A xm)  log (y) = log A + log (xm) log (y) = log A + m log(x)

Applichiamo al nostro caso: e cerchiamo una linea di tendenza:

che significato hanno i parametri della retta? Facciamo il percorso inverso: log (y) = log A + m log(x) m= -1.0165 Log A = 1.5383  A = 101.5383 = 34.538

Partendo da questa equazione è possibile prevedere quale volume si otterrebbe per una pressione = 3 atm? Se x  1/V e y  P scriviamo: da y = 33.204 x - 0.0138 x = (y + 0.0138) / 33.204  1/V = (p + 0.0138)/33.204  V = 33.204/(p+0.00138)  V ≈ 11 m3