Particella in una buca di potenziale A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Buca di potenziale unidimensionale infinita Particella in una buca di potenziale Particella confinata in una regione limitata di spazio unidimensionale Classicamente: la particella può avere qualunque energia E ³ 0 e qualunque velocità (momento) se si misura la sua posizione i valori 0 < x < L sono equiprobabili condizioni al contorno:

  Equazione di Shroedinger indipendente dal tempo A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Equazione di Shroedinger indipendente dal tempo con potenziale nullo ovunque, ossia se V(x) = 0, si ha assunto che e posto ossia che l’ equazione di Shroedinger indipendente dal tempo si riconduce a equazione dell’oscillatore armonico semplice se supponiamo che sia una soluzione si ha e   dunque in conclusione: esistono due soluzioni immaginarie per il principio di sovrapposizione se e sono soluzioni anche sara’ una possibile soluzione dove in generale C1 e C2 saranno due numeri complessi

 possiamo allora porre con utilizzando le formule di Eulero e A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli possiamo allora porre con  utilizzando le formule di Eulero e dove A e B si dovranno determinare in funzione delle condizioni al contorno

A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli se nell’equazione di Schroedinger con potenziale nullo non fosse presente il segno negativo, e questo equivarrebbe ad avere energia cinetica negativa ! la sola cosa che cambierebbe e’ che al posto della dovremmo risolvere la ragionando in modo identico a prima se ipotizzassimo che otterremmo quindi, da un punto di vista strettamente matematico anche in questo caso esisterebbero due soluzioni , questa volta reali dato che e per il principio di sovrapposizione se e fossero soluzioni anche sarebbe una possibile soluzione e anche in questo caso C1 e C2 sarebbero in generale dei numeri complessi che si dovranno determinare in funzione delle condizioni al contorno da notare pero’ come queste soluzioni in linea di massima non siano normalizzabili perche’ l’integrale tra e diverge quindi se possibile assumeremo che E > 0 se V = 0 ed E - V > 0 se V e’ diverso da zero , ossia assumeremo che E sia sempre maggiore di V, anche nel caso V sia negativo di modo che risulti sempre E - V > 0 e dato che E e’ l’energia totale , cinetica piu’ potenziale cio’ si traduce nell’ imporre che l’ energia cinetica T sia positiva in caso contrario dovremo valutare caso per caso le possibili soluzioni scartando quelle non normalizzabili

( buca di potenziale infinita ) A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli nel caso della buca di potenziale unidimensionale infinita occorrera’ determinare la funzione d’onda per un potenziale dato da: ( buca di potenziale infinita ) la particella in questo caso non può mai trovarsi a x negative, né a x > L una prima soluzione e’ : ψI(x)=0 per x < 0 e ψIII(x)=0 per x > L

A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Per determinarli ricorreremo alle proprieta’ della funzione d’onda ed alle condizioni al contorno A, B, e k e quindi E sono incogniti. richiedendo la continuità della funzione d’onda per x = 0 : quindi imponendo la continuità anche per x = L con n = 1, 2, 3, … intero solo certi valori di energia sono permessi  l’ energia è quantizzata per determinare A imporremo la condizione di normalizzazione della funzione d’onda normalizzazione: dunque in questo particolare caso si puo’ scegliere A reale quindi:

y(x) ¹ 0 per 0 < x < L y(x) = 0 per x £ 0, x ³ L A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli y(x) ¹ 0 per 0 < x < L Stati stazionari: y(x) = 0 per x £ 0, x ³ L autofunzioni Þ autovalori Þ NB.: a) n ³ 1, altrimenti y(x) = 0 dato che se n=0 la funzione seno si annullerebbe per ogni x b) P(x) dipende da x c) Notare l’equivalenza con le onde stazionarie.

Buca di potenziale infinita A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Buca di potenziale infinita Autovalori Esempio: elettrone in una buca di potenziale larga L=100 pm (dimensioni tipiche di un atomo) E può avere solo valori discreti (livelli energetici), con E >0 . Il livello inferiore n =1 è lo stato fondamentale. Gli altri livelli di energia sono detti stati eccitati. Se fosse E = 0 sarebbe p= 0, Dp = 0, ma da DpDx=h sarebbe Dx = ¥ Þ Se l’impulso tende a zero (o la particella è ferma), la lunghezza d’onda cresce a piacere i sistemi confinati devono avere energia E > 0 vai all’esercizio  Livelli energetici in una buca di potenziale infinita

Parte indipendente dal tempo Densità di probabilità … A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Buca di potenziale infinita Autofunzioni Parte indipendente dal tempo sono funzioni ortonormali: ogni funzione f(x) può essere scritta Densità di probabilità … … degli stati stazionari: indipendente dal tempo

Buca di potenziale infinita A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Probabilità La densità di probabilità per un elettrone intrappolato è quindi: La probabilità non è costante per tutti gli x interni alla buca di potenziale, contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare dalla fisica classica inoltre La distribuzione di probabilità varia al variare del numero quantico n. All’aumentare di n la distribuzione di probabilità tende ad essere uniforme.Cioè la fisica quantistica approssima quella classica (principio di corrispondenza) Esempio per L= 100 pm vai all’esercizio  Probabilita’ per una particella intrappolata in una buca di potenziale infinita

Soluzioni dipendenti dal tempo Conservazione dell’energia A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Buca di potenziale infinita Soluzioni dipendenti dal tempo Analogo del moto di una particella Stato stazionario Þ probabilità costante. Stato generico: sovrapposizione di stati Þ probabilità variabile. http://www.falstad.com/qm1d/ Dalle relazioni di ortonormalità e di completezza si può dimostrare in generale che: … e in particolare: Conservazione dell’energia

Buca di potenziale infinita A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Momento in termini di operatori risolvere l’equazione di Schoredinger indipendente dal tempo equivale a determinare le autofunzioni e gli autovalori dell’equazione operatore Hamiltoniano classicamente e’ l’ Hamiltoniana ci si puo’ domandare se le soluzioni yn trovate siano anche autofunzioni dell’operatore momento e nel caso esistano, quali siano gli autovalori pn del momento che soddisfino una equazione agli autovalori operatore momento quindi non esistono pn che soddisfino una equazione agli autovalori; cioè le yn non sono autofunzioni del momento yn è sinusoidale dentro la buca, ma nulla fuori dalla buca, pertanto è una forma d’onda complicata, rappresentabile in serie di Fourier con onde di diversa lunghezza d’onda. allora (p = h/l ) non vi è un momento univoco associato all’autofunzione (siccome Dx » L allora Dpx » h/L) vai all’esercizio  Principio di indeterminazione in una buca di potenziale infinita

Buca di potenziale infinita A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Buca di potenziale infinita Riepilogo