Potenze nell’insieme N Chiudi Potenze nell’insieme N Teoria – Esercizi – Test di verifica

Definizioni 27 Definizione di potenza: La potenza, se l’esponente è maggiore di 1*, è il prodotto di tanti fattori tutti uguali alla base quanti vengono indicati dall’esponente. 27 Esempio: = 2·2·2·2·2·2·2 2 = Base 7 = Esponente È una potenza, si legge: due alla settima * l’esponente deve essere maggiore di uno, (cioè 2) per avere una moltiplicazione con due fattori.

Definizione di potenza con esponente 0 La potenza di un numero diverso da zero, con esponente zero, è 1. Esempi: 20 = 1 1870 =1 10=1 Non si definisce la potenza con base ed esponente 0, cioè 00 non ha significato. Definizione di potenza con esponente 1 La potenza di un numero con esponente 1 è il numero stesso. Esempi: 91=9 251=25 11=1

Proprietà delle potenze P1: Prodotto di potenze di ugual base. P2: Quoziente di potenze di ugual base. P3: Potenza di una potenza. P4: Prodotto di potenze di ugual esponente. P5: Quoziente di potenze di ugual esponente. NOTA Le cinque proprietà riguardano solo la moltiplicazione e la divisione, perché la potenza è una moltiplicazione ripetuta.

Prodotto di potenze di ugual base Il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. am · an = am+n Esempi: 23 · 25 = 2·2·2 · 2·2·2·2·2 = 28 3 volte 5 volte Applicando la definizione di potenza 34 · 35 = 34+5 = 39 23 · 22 = 23+2 = 25 Applicando direttamente la proprietà

Quoziente di potenze di ugual base Il quoziente di potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. am : an = am – n m≥n Esempio: 37 : 35 = 37 – 5 = 32 Poiché la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione 3·3·3·3·3·3·3 = · 3·3·3·3·3 7 volte 5 volte Cerca quel numero che moltiplicato per 35 mi da 37 3·3·3·3·3·3·3 = 3·3 · 3·3·3·3·3 7 volte 5 volte 2 volte

Potenza di potenza La potenza di una potenza è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto. (am)n = am · n Esempio: (43)2 = (4·4·4)2=(4·4·4)(4·4·4)=4·4·4·4·4·4 =46 6 volte

Prodotto di potenza di eguale esponente Il prodotto di potenza di eguale esponente è una potenza di uguale esponente e ha per base il prodotto delle basi. an ·bn=(a·b)n Esempio: 42·32=(4·3)2 42·32 =4·4·3·3= (4·3)2= Definizione di potenze Definizione di potenza (4·3)·(4·3) 4·3·4·3 = Proprietà associativa Proprietà commutativa

Il quoziente di potenze di uguale esponente Il quoziente di potenze di uguale esponente è una potenza di uguale esponente e per base il quoziente delle basi. an : bn = (a:b)n a multiplo di b Esempio: 62 : 32 = (6:3)2 = 22 La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione quindi bisogna trovare quel numero che moltiplicato per 32 dia 62 per la proprietà precedente (P4) è 22

Esercizi Calcola il valore delle seguenti potenze: 23 ; 24 ; 30 ; 41 ; 14. Trova tra i seguenti numeri quelli che sono potenze di 3: 3 , 6 , 9 , 0 ,1 , 12 , 27 , 30 , 33 , 81 , 121 , 99 . Applica, quando è possibile, le proprietà delle potenze: (24)3 = 24·22·2 = 23·53 = (34)2 · 37 = 24 + 23= 83: 23 =

Esercizi Applicando le proprietà delle potenze, calcolare il valore delle seguenti espressioni. (32)3 : (32)2 · {(34)3 : (32)6} R= 9 23 · (22 · 23)3 : {[(24)3] · (22)2} R= 4 [66 · 46 : (32 · 82)] : 84 R= 81 [(103 : 23) · 53] : (53)2 + {[(40 · 44)3 : (42 · 43)2 – 23] + 90} R= 10

Test di verifica 53 + 54 = 57 54 · 52 = 56 22 · 32 = 62 (42)3 = 45 24 · 34 = 68 V F V F V F V F V F

Test di verifica 24 · 23 : 22 = La soluzione è: 85 27 25 210 (43)2 : 26 = La soluzione è: 46 40 20 26

Test verifica Completa : 52 · 5˙˙˙ = 510 5 8 7 Completa : Completa : 23 · (….)3 = 163 2 14 6 8