Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza RETTE PARALLELE & APPLICAZIONE SUI TRIANGOLI Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza INTRODUZIONE. DEFINIZIONE BISETTRICE DI UN ANGOLO Si chiama bisettrice di un angolo di vertice O la semiretta di origine O, interna all’angolo, che divide l’angolo in due parti congruenti. È detta retta bisettrice di un angolo la retta che contiene la semiretta bisettrice e quindi anche la sua opposta, bisettrice de secondo angolo avente gli sessi lati del primo. DEFINIZIONE MEDIANA IN UN TRIANGOLO In un triangolo, la mediana è il segmento che unisce un vertice con il punto medio del lato opposto. Il triangolo viene diviso dalla mediana in due triangoli aventi la stessa superficie e tutte le altre rette che dividono il triangolo in due parti di ugual superficie che passano per il baricentro. Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza TEOREMI FONDAMENTALI SULLE RETTE PARALLELE CAPITOLO 1: Rette Tagliate Da Una Trasversale. Due rette di un piano che intersecano una terza retta, detta trasversale, formano otto angoli che hanno nomi particolari. Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza Per semplicità, indichiamo questi angoli con i numeri da 1 a 8, come in figura 2 e 8 o 3 e 5 sono alterni interni 4 e 6 o 1 e 7 sono alterni estreni 1 e 5;2 e 6; 4 e 8; 3 e 7 sono corrispondenti 2 e 5 o 3 e 8 sono coniugati interni 1 e 6 o 4 e 7 sono conigati esterni Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza Possiamo dimostrare che se uno dei seguenti enunciati è vero, lo sono anche gli altri: A gli angoli alterni interni sono congruenti; B gli angoli alterni esterni sono congruenti; C gli angoli corrispondenti sono congruenti; D gli angoli coniugati sono supplementari. Possiamo così formulare quattro teoremi ognuno dei quali ha per tesi uno dei quattro enunciati e per ipotesi gli altri tre. Cominciamo a considerare il primo dei quattro teoremi: supponiamo che sia vero l’enunciato A e dimostriamo che sono veri anche gli enunciati B, C, D. Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza TEOREMA 1 Se due rette, tagliate da una trasversale, formano una coppia di angoli alterni interni congruenti, allora gli angoli alterni esterni sono congruenti, gli angoli corrispondenti sono congruenti, gli angoli coniugati sono supplementari. Ipotesi: 2≈8 Tesi: 4 ≈ 6, 1 ≈ 7, 2 ≈ 6, 4 ≈ 8…, 3+8 ≈ angolo piatto, … Consideriamo la FIGURA, cominciamo a rilevare che sono Congruenti anche gli altri angoli alterni 3 e 5 perché adiacenti (e quindi supplementari) ad angoli congruenti. Possiamo così considerare che per ipotesi si abbia l’enunciato A . Sempre osservando la FIGURA 2, abbiamo 4 ≈ 2 e 6 ≈ 8, perché angoli opposti al vertice e quindi, poiché per ipotesi 2 ≈ 8, per proprietà transitiva della congruenza deduciamo che 4 ≈ 6. Analogamente si dimostra che 1 ≈ 7. Resta così dimostrato che gli angoli alterni esterni sono anch’essi congruenti: l’enunciato B è vero. Osserviamo ora che, essendo 2 ≈ 8 per ipo e 6 ≈ 8 perché opposti al vertice, per la proprietà transitiva è anche 2 ≈ 6. Analogamente si dimostra la congruenza delle altre tre coppie di angoli corrispondenti e resta così dimostrato che è vero l’enunciato C. Consideriamo ora gli angoli 3 e 2 che sono adiacenti: pertanto 3 è supplementare di 2 e, per ipo, è 2 ≈ 8, quindi l’angolo 3 risulta supplementare anche dell’angolo 8, a esso coniugato. Analogamente si dimostra che le altre coppie di angoli coniugati sono angoli supplementari: quindi anche l’enunciato D è vero. C.v.d. Analogamente si dimostrano gli altri enunciati. Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza TEOREMI FONDAMENTALI SULLE RETTE PARALLELE CAPITOLO 2: Esistenza Delle Rette Parallele. Sappiamo che due rette di uno stesso piano che non hanno alcun punto in comune sono dette parallele. Per indicare che due rette a e b sono parallele si scrive a // b. L’esistenza di rette parallele risulta dal seguente teorema. TEOREMA 2 Due rette di un piano perpendicolari a una stessa retta non hanno alcun punto in comune, cioè sono parallele tra loro. Ipotesi: a ┴ c e b ┴ c Tesi: a//b Siano a e b due rette perpendicolari ala stessa retta c rispettivamente nei punti A e B (FIGURA 3); Vogliamo dimostrare che sue rette non possono incontrarsi in un punto O. Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza Dimostreremo per assurdo: supponiamo che le rette non siano parallele, cioè che si incontrino in un punto O (come In figura). In tal caso, si formerebbe il triangolo ABO nel quale si avrebbe due angoli retti (OAB deve essere retto perché formano delle rette perpendicolari a e c, OBA deve essere anch’esso retto perché formano delle rette perpendicolari b e c) . Siamo quindi arrivati ad un assurdo, dato che in precedenza avevamo dimostrato che in un triangolo non può esserci più di un angolo retto. Quindi è assurdo aver negato che le rette a e b siano parallele e perciò Deve essere a//b. C.v.d. Ora siamo in grado di costruire una retta, passante per un punto P, parallela a una retta data. Infatti basta condurre da P la perpendicolare s della retta r e, sempre da P, la perpendicolare p alla retta s. Per il TEOREMA 2, poiché r┴s e p┴s, le rette r e p risultano parallele e quindi p è la retta richiesta. Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza TEOREMI FONDAMENTALI SULLE RETTE PARALLELE CAPITOLO 3: Il Postulato Di Euclide. La costruzione eseguita prima, che dimostra l’esistenza della retta per P parallela alla retta r, sembra suggerire che la retta p a cui si giunge è sempre la stessa, cioè che per il punto P si possa condurre una sola parallela. L’unicità della parallela non si può dimostrare in alcun modo, perciò siamo costretti ad ammetterla come postulato; tale postulato è conosciuto come postulato delle parallele o anche postulato di Euclide. POSTULATO 6 POSTULATO DI EUCLIDE La parallela a una retta data, condotta per un punto esterno a essa, è unica. Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza TEOREMI FONDAMENTALI SULLE RETTE PARALLELE CAPITOLO 4: CRITERI DI PARALLELISMO. È evidente che mediante il disegno non potremo mai definire se due rette sono parallele mediante la definizione, perchè l’eventuale punto di intersezione di due rette tracciate su un foglio potrebbe cadere a una distanza praticamente non raggiungibile. Per capire se due rette sono parallele bisogna ricorrere ai seguenti criteri. TEOREMA 3 Se due rette di un piano formano con una trasversale due angoli alterni interni (o esterni) congruenti, o due angoli corrispondenti congruenti, o due angoli coniugati supplementari, allora le due rette sono parallele. Osserviamo che se due rette tagliate da una trasversale formano angoli alterni esterni congruenti, o angoli corrispondenti congruenti, o angoli coniugati supplementari, allora per il TEOREMA 1 formano anche angoli alterni interni congruenti. Perciò basta dimostrare che la tesi è vera nel caso che le due rette formino con la trasversale Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza Ipotesi: AEF ≈ EFD Tesi: AB//CD Procediamo per assurdo e supponiamo dunque che le rette AB e CD non siano parallele: se le semirette EB, FD si incontrassero in un punto O otterremmo il triangolo OEF per il quale si avrebbe che l’angolo esterno AEF è congruente all’angolo interno EFD. Ma ciò è impossibile perché abbiamo già dimostrato che l’angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti a esso. Dunque non è possibile l’esistenza del punto O. in modo analogo si dimostra che non possono incontrarsi le due semirette EA e FC. Ne segue che le rette AB e CD sono parallele. c.v.d. Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza TEOREMI FONDAMENTALI SULLE RETTE PARALLELE CAPITOLO 5: Proprietà Fondamentali Delle Rette Parallele. TEOREMA 4 Se due rette di un piano sono parallele, esse, tagliate da una trasversale, formano: Angoli alterni interni (ed esterni) congruenti, Angoli corrispondenti congruenti, Angoli coniugati supplementari. Osserviamo che basta dimostrare che le due rette formano, con la trasversale, angoli alterni congruenti. Infatti, per il TEORMA 1, esse formeranno, in tal caso, anche angoli alterni esterni congruenti, angoli corrispondenti congruenti e angoli coniugati supplementari. Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza Ipotesi: AB//CD Tesi: AEF ≈ DFE Per assurdo supponiamo falsa la tesi, supponiamo cioè che la retta AB formi con la trasversale HK un angolo AEF alterno interno a DFE e non congruente a esso. Allora esisterà una retta MN, passante per E e distinta da AB, che formi con HK una angolo MEF congruente all’angolo EFD: tale retta, per il TEOREMA 3, risulterà parallela a CD. Ma, per ipotesi, AB//CD e quindi per il punto E passerebbero due rette, la AB e la MN, entrambe parallele a CD; questo è contro il postulato di Euclide. Pertanto la tesi non può essere negata ed essa risulta vera: si ha AEF ≈ DFE. c.v.d. Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza TEOREMI FONDAMENTALI SULLE RETTE PARALLELE CAPITOLO 6: Condizione Necessaria e Sufficiente Per il Parallelismo. Quando di un teorema diretto, risulta vero anche il suo inverso, gli enunciati dei due teoremi si possono esprimere con una sola proposizione. Perciò i TEOREMI 3 e 4 si possono riassumere nel seguente enunciato. TEOREMA 5 Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano parallele è che esse formino con una trasversale una coppia di angoli alterni interni (o esterni) congruenti, oppure due angoli corrispondenti congruenti, oppure due angoli coniugati supplementari. Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza TEOREMI FONDAMENTALI SULLE RETTE PARALLELE CAPITOLO 7: Distanza Di Due Rette Parallele. TEOREMA 6 Segmenti paralleli compresi fra rette parallele sono congruenti. Consideriamo la figura seguente. Se uniamo A con D otteniamo due triangoli ABD e ADC congruenti per il secondo criterio di congruenza: infatti essi hanno AD in comune, BAD ≈ ADC perché alterni interni delle rette parallele AB e DC tagliate da AD, BDA ≈ DAC perché alterni interni delle rette parallele BD e AC tagliate da AD. Poiché in triangoli congruenti a elementi congruenti si oppongono elementi congruenti, sarà AB ≈ DC. C.v.d. Ipotesi: a//b; A Є a,BЄa, CЄb, DЄb; AB//CD; Tesi: AB ≈ CD Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza TEOREMA 7 Se due rette sono parallele, tutti i punti dell’una sono equidistanti dall’altra. Il teorema è la conseguenza del TEREMA 6. Esaminiamo la figura: Osserviamo per prima cosa che, perché due rette di un piano perpendicolari a una stessa retta sono parallele tra loro, è AB//CS. Infatti, per ipotesi, sia AB sia CD sono perpendicolari alla stessa retta b. allora , il TEOREMA 6 ci assicura che AB ≈ CD. C.v.d. Ipotesi: a//b A Є a, C Є a, B Є b, D Є b AB ┴ b, CD ┴ b. Tesi: AB ≈ CD Il TEREMA 7 giustifica la seguente definizione DEFINIZIONE DISTANZA DI DUE RETTE Si dice distanza di due rette parallele la distanza di un punto qualsiasi di una di esse dall’altra. Quindi distanza di due rette parallele a e b è rappresentato dal segmento di esse intercettato su una qualunque perpendicolare alla rette a e b Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza DEFINIZIONE STRISCIA DI PIANO La parte di piano compresa tra due rette parallele si chiama striscia; le parallele sono dette lati della striscia e la distanza di tali rette è detta altezza della striscia. Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza APPLICAZIONE SUI TRIANGOLI CAPITOLO 8: Secondo Teorema Dell’Angolo Esterno. TEOREMA 8 SECONDO TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO In ogni triangolo un angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli interni non adiacenti. Sia ABC un triangolo qualsiasi e consideriamo su di esso l’angolo esterno ACD(ipotesi);la tesi è ACD ≈ BAC + ABC. c.v.d. Ipotesi: ACD angolo esterno Tesi: ACD ≈ BAC + ABC Per la dimostrazione tracciamo dal punto C la semiretta CE parallela al lato AB e consideriamo i due angoli in cui tale semiretta divide l’angolo esterno ACD. Risulta BAC ≈ ACE perché angoli alterni interni rispetto alle parallele AB, CE tagliate dalla trasversale AC; inoltre ABC ≈ ECD perché corrispondenti rispetto alle stesse parallele tagliate dalla trasversale BD. Deduciamo così che BAC + ABC ≈ ACE + ECD. Dalla figura, vediamo che ACE + ECD = ACD Quindi dal confronto delle due somme, per la proprietà transitiva dalla congruenza, abbiamo BAC + ABC ≈ ACD. Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza APPLICAZIONE SUI TRIANGOLI CAPITOLO 9: Proprietà Dell’Altezza Del Triangolo Isoscele. TEOREMA 9 In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base è anche mediana e bisettrice dell’angolo al vertice. Consideriamo i triangoli BHA e CHA, dove AH è l’altezza relativa alla base BC, e osserviamo che essi hanno: AB ≈ AC per ipotesi; ABH ≈ ACH perché angoli alla base di un triangolo isoscele; AHB ≈ AHC perché entrambi retti, essendo AH ┴BC. Quindi i due triangoli, poiché hanno congruenti un lato e due angoli, ugualmente disposti rispetto al lato, risultano congruenti per il secondo criterio di congruenza generalizzato. Dalla congruenza dei triangoli ABH e ACH possiamo concludere che BH ≈ HC AH è mediana BAH ≈ HAC AH è bisettrice c.v.d. Ipotesi: AB ≈ AC HЄBC AH┴BC Tesi: BH ≈ HC BAH ≈ HAC Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo

Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo ITGC Achille Mapelli, Monza APPLICAZIONE SUI TRIANGOLI CAPITOLO 10: SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN POLIGONO. La seguente proprietà, relativa agli angoli di un poligono, vale qualsiasi sia il numero dei suoi lati. TEOREMA 10 La somma degli angoli interni di un poligono convesso è congruente a tanti angoli piatti quanti sono i lati del poligono meno due. Dalla figura vediamo che, unendo tutti i vertici di un poligono convesso di n lati con un punto qualunque O interno del poligono è uguale alla differenza fra la somma degli angoli Interni di tutti i triangoli costruiti e la somma degli angoli che hanno il vertice In O. La somma degli angoli interni di tutti i triangoli è uguale a n angoli piatti, mentre la somma degli angoli interni di tutti i triangoli è uguale a n angoli piatti. Quindi la somma degli angoli del poligono, essendo uguale alla differenza fra la somma degli angoli di tutti i triangoli costituiti e quella degli angoli che hanno il vertice in O, è congruente a (n – 2) angoli piatti, cioè tanti angoli piatti quanti sono i lati del poligono meno due angoli piatti. c.v.d. Aprile 2011 – Classe:1^D(LS) Alunno: Sausto Matteo