Linguaggi e Programmazione per l’Informatica Musicale a cura di G.Finizio Sillogismo e Algebra Booleana Auto-istruzione 4

Sillogismo Il Sillogismo (sun + lego = ragionamento concatenato) è un metodo deduttivo studiato da Aristotele Nel sillogismo esistono tre giudizi concatenati I primi due rappresentano la premessa Il terzo la conclusione deduttiva Nelle due premesse è necessario che vi sia un termine in comune definito medio.

Sillogismo Esempio classico: Premessa uno: I Greci sono uomini Premessa due : Gli uomini sono mortali deduzione logica: I Greci sono mortali Il termine comune (medio) è “uomini” e le due premesse sono giuste, quindi anche la deduzione risulterà giusta. Al contrario con una o tutte e due le premesse errate, anche la deduzione lo sarà: premessa uno (errata) : I greci si considerano dei; premessa due (giusta): Gli dei sono immortali; deduzione (sbagliata): I Greci sono immortali.

Sillogismo Date le due seguenti premesse, qual è la deduzione logica giusta? Premessa 1: I pianeti girano intorno al sole Premessa 2: La terra è un pianeta A) La Terra gira su se stessa B) La Terra gira intorno al Sole C) Il Sole è una stella

Algebra Booleana George Boole creò gli strumenti matematici logici che sono alla base del funzionamento del Computer. (Algebra Booleana) George Boole (1815 - 1864), logico e matematico inglese sviluppò i concetti sul sistema binario già espressi da Leibniz: L’ Algebra Booleana, si basa su una serie di porte logiche secondo il principio in cui dato uno o due termini in entrata, corrisponderà un termine logico univoco in uscita.(Sillogismo) Leibniz (1646-1716) , costruì la prima calcolatrice meccanica capace di eseguire moltiplicazioni e divisioni. Sviluppò inoltre la forma moderna del sistema di numerazione binaria.

Algebra Booleana Le porte logiche sono rappresentate da una serie di operatori logici dove ad una o più entrate, corrisponde in uscita un termine che sarà rapportato al tipo di operatore utiilizzato. Gli operatori logici fondamentali sono : NOT, (invertitore di segnale) AND, (prodotto logico) OR, (somma logica) In entrata e in uscita i termini logici sono rappresentati dalle condizioni logiche “1” e “0”. (In alcune situazioni i termini di entrata e uscita sono indicati con Vero e Falso. ( in inglese True (1) e False (0)) Ogni operatore logico avrà una tabella della verità in cui è indicato in modo inequivocabile in rapporto al/ai termini di entrata, quale sarà il termine d’uscita.

Algebra Booleana NOT (Invertitore) è l’operatore logico più semplice poiché se in entrata vi è 1 in uscita vi sarà 0 e viceversa; quindi se in entrata c’è Vero in uscita c’è Falso e viceversa: Entrata (input = A) Uscita (output = Y) 1 (Vero) 0 (Falso) Tavola della verità della porta logica NOT

Algebra Booleana AND corrisponde al prodotto logico dove solo se tutti e due i termini sono a 1 si ha in uscita il termine 1 (Vero): Entrata (A) Entrata (B) Uscita (Y) 1 (Vero) 0 (Falso) Tavola della verità della porta logica AND

Algebra Booleana OR corrisponde alla somma logica in cui almeno uno dei due termini in entrata dovrà trovarsi a 1 per avere in uscita il termine 1: Entrata (A) Entrata (B) Uscita (Y) 1 (Vero) 0 (Falso) Tavola della verità della porta logica OR

Algebra Booleana L‘uso di porte logiche nasce dall’esigenza di far si che il computer attraverso i circuiti logici di cui è fornito, sia in grado di fare nel più semplice dei casi le operazioni matematiche fondamentali sino ad arrivare a prendere decisioni autonome. Ecco i simboli usati in elettronica per indicare le tre porte logiche fondamentali.

Algebra Booleana Utilizzando i simboli indicati nella precedente tabella sareste in grado di indicare quale uscita si ottiene con il seguente circuito? 1 Indifferentemente l’uno o l’altro risultato Non so Guarda tabella

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Algebra Booleana Alle porte logiche precedenti se ne aggiungono altre due di uso frequente: NAND (Not+AND), costituita da una porta logica AND seguita da una porta logica NOT quindi in uscita avremo un risultato opposto (NOT) alla tavola della verità della porta AND. Entrata (A) Entrata (B) Uscita (Y) 1 (Vero) 0 (Falso) Tavola della verità della porta logica NAND

Algebra Booleana Altra porta logica e l’ XOR o EXOR (OR Esclusivo) in cui il risultato è “1” se uno e solo uno dei due ingressi è a “1” Entrata Uscita 1 (Vero) 0 (Falso) Tavola della verità della porta logica XOR

Algebra Booleana Usando la porta logica XOR è possibile realizzare la somma di due numeri binari secondo le seguenti semplici regole: 1+1 = 0 (riporto 1); 1+0 = 1; 0+1 = 1; 0+0 = 0 Proviamo a fare la somma di due numeri binari: 1001+ 0011= Con il riporto precedente addizioniamo ancora 1 + 1 = 0 con riporto 1 Con il riporto precedente addizioniamo 1 + 0 = 1 questa volta senza riporto 1 + 1 = 0 con riporto 1 Infine l’ultima operazione 1 + 0 = 1 1 1

Algebra Booleana Qual’ è il risultato della somma dei numeri binari seguenti? 1111+ 1111= ???? 11111 10000 11110

Aristotele Aristotele (384 – 3 AC – 7 Marzo 3 AC) fu uno dei maggiori filosofi dell’antichità. Assieme al suo maestro Platone è considerato uno dei più influenti pensatori della tradizione filosofica tradizionale.

ERRORE E’ vero la terra gira su se stessa ma questo non può essere dedotto dalle due premesse precedenti. TORNA INDIETRO

ESATTO Nelle due premesse è presente il termini comune “pianeta”, per cui se i pianeti girano intorno al sole e la terra è un pianeta, anch’essa gira intorno al Sole. Continua la lezione

ERRORE E’ vero il Sole è una stella ma questo non può essere dedotto dalle due premesse precedenti. TORNA INDIETRO

ESATTO Continua la lezione

ERRORE Riprova ! TORNA INDIETRO

ERRORE Con termini di entrata fissi il risultato finale non può che essere univoco, quindi o “1” o “0”. TORNA INDIETRO

Adesso dovrebbe essere semplice conoscere il risultato!! A questo punto le due porte AND hanno rispettivamente come termini di uscita “0” e “1” che rappresenteranno anche i termini d’entrata della porta OR da due porte AND, e da una porta OR. I due termini di entrata della prima porta AND sono “0” “0”; (Il secondo termine è “0” poiché è comune al termine d’entrata della porta NOT). 1 1 Il circuito è rappresentato da una porta NOT, Adesso dovrebbe essere semplice conoscere il risultato!! il termine d’uscita della porta NOT è “1” che diventa il secondo termine d’entrata della seconda porta AND, mentre il primo è come si vede “1”.

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ERRORE 11111 è la somma di 01111+10000 Infatti: 01111+ 10000= 1 1 1 1 0+1 = 1 1+0 = 1 1+0 = 1 1+0 = 1 1+0 = 1 Click per ogni numero

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ERRORE 10000 è la somma di 1000+1000; Infatti: 1000+ 1000= 1 1+1 = 0 1+1 = 0 Con riporto 1 0+0 = 0 0+0 = 0 0+0 = 0 Click per ogni numero

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Stessa cosa per le due cifre successive. 1111+ 1111= 1+1 = 0 Con riporto 1 Click ogni numero 1+1 = 0 Con riporto 1 il risultato 0 deve essere ulteriormente addizionato al riporto 1,quindi 0+1 = 1 ESATTO Infatti: Stessa cosa per le due cifre successive. 1111+ 1111= Infine rimarrà l’ultimo riporto che sarà inserito alla fine 1 1 1 1

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