CALCOLO LETTERALE Perché? E’ opportuno rappresentare i numeri con lettere dell’alfabeto per fare affermazioni che valgono indipendentemente dal valore dei numeri.

POTENZE Dato un numero reale a ed un numero naturale n, si dice potenza ennesima di a an = a • a • … • a n volte Esempio: 32 = 3 • 3 (-2)2 = (-2) • (-2) = 4 (-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8

PROPRIETA’ DELLE POTENZE Dati a, b  R, m, n  N a n + m = a n a m, a -n = 1 / a n a n - m = a n: a m, n  m, se n = m, a  0 (a:b) n = a n: b n, b  0 (ab) n = a n b n, (a n) m = a n m, a 0= 1,

ESERCIZI 32 • 33= 35 34 : 33= 31 ((2)3)2= (2)6 (5 • 2)2 : 50 = (5)2 •(2)2 (8)0=1 3-4 = 1 / 34 e2 • e3• e-4= e (- 2)2 •(-2)3 = -32

RADICALI Si dice radice ennesima (n  N) aritmetica del numero reale non negativo a l’unico numero reale non negativo b tale che bn = a Si pone per convenzione:

PROPRIETA’ DEI RADICALI

ESERCIZI

ESPRESSIONE NUMERICA E LETTERALE Una espressione numerica è un insieme di operazioni da eseguire su determinati numeri secondo un determinato ordine: {[(-1+3)2 • 8]+(5 • 4)}:2= Una espressione letterale è una espressione numerica in cui i numeri sono in tutto o in parte rappresentati da lettere: {[(-a+b)2 • c]+(d • e)}:2=

VALORE DI UNA ESPRESSIONE LETTERALE Esempio: se a = 1 b = 0 c = 1 a + 2b + 1/c = 2 N.B. Non è possibile dare a c il valore 0! Insieme di definizione della espressione letterale è l’insieme di valori che possiamo attribuire alle lettere senza che l’espressione perda di significato

MONOMIO Una espressione letterale in cui sono presenti solo le operazioni di moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza: Esempio: 3ab2 3 = coefficiente ab2 = parte letterale

Grado di un monomio Grado complessivo del monomio è la somma degli esponenti delle lettere del monomio Grado del monomio rispetto a una lettera è l’esponente con cui tale lettera compare nel monomio Esempio: 3ab2 è un monomio di grado complessivo 3, di grado 1 rispetto ad a, di grado 2 rispetto a b.

POLINOMIO La somma di più monomi, detti termini del polinomio: Esempio: 3ab + 2ac + 4b3 Grado complessivo del polinomio è il massimo dei gradi dei singoli monomi (nell’esempio 3) Grado complessivo del polinomio rispetto a una lettera è il massimo dei gradi dei singoli monomi rispetto a quella lettera (nell’esempio 1 rispetto ad a e c, 3 rispetto a b)

OPERAZIONI TRA POLINOMI ADDIZIONE SOTTRAZIONE PRODOTTO PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di particolari polinomi per i quali è possibile stabilire il risultato con pochi calcoli DIVISIONE

DIFFERENZE DI QUADRATI (x + y) • (x - y) = (x2 - y2) Esempi: (2x + y) • (2x - y) = (4x2 – y2) (2ab3 + c) • (2ab3 - c) = (4a2b6 – c2) (9x2y2 – 4a2b2) = (3xy + 2ab) • (3xy - 2ab) (x-3)4 – 81 = [(x –3)2 –9] • [(x –3)2 +9] = [(x –3) –3] [(x –3) +3] • [(x –3)2 +9]

QUADRATO DI UN BINOMIO (x + y)2= x2 + 2xy + y2 (x - y)2= x2 - 2xy + y2 Esempi: (a – 3b)2= a2 – 6ab +9b2 (a + 2b)2= a2 + 4ab +4b2 ((3/2)a + b2)2= (9/4)a2 + 3ab2 + b4

CUBO DI UN BINOMIO (x + y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 Esempi: (2x - y)3= 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3 (3x + y)3= 27x3 + 27x2y + 9xy2 + y3 (x3 - 5y)3= x9 - 15x6y + 75x3y2 - 125y3

SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI (x3 + y3)= (x + y) • (x2 - xy + y2) (x3 - y3)= (x - y) • (x2 + xy + y2) Esempi: (8x3 + y3)= (2x + y) • (4x2 - 2xy + y2) (27x3 - 8y3)= (3x - 2y) • (9x2 + 6xy + 4y2) (x - 2)3 + y6= [(x - 2) + y2)] • [(x - 2)2 - (x - 2) y2 + y4)]

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI Mediante l’uso dei prodotti notevoli Raccoglimenti a fattore comune: Esempio: 6ab + 2a3c - 8ab = 2a (3b + a2c – 4b) Raccoglimenti parziali successivi: 9a2b3 - 3a3b2 + 6bc - 2ac = 3a2b2 (3b-a) + 2c (3b - a) = (3b - a) (3a2b2 +2c)

DIVISIONE TRA POLINOMI Prenderemo in considerazione solo polinomi in una variabile Siano P1 e P2 polinomi ordinabili rispetto alla potenza di una data lettera, con il grado di P1 maggiore o uguale al grado di P2 . Esistono allora due polinomi Q ed R tali che: P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.

ESEMPIO (2x5– 3 x3 + x + 1) : ( x3 – x2 +1) 2x5 + 0 x4 – 3 x3 + 0 x2 + x + 1 x3 – x2 +1 2x5 – 2 x4 + 2 x2 2 x4 – 3 x3 - 2 x2 + x + 1 2 x2 +2 x -1 2 x4 – 2 x3 +2 x – x3 - 2 x2 - x + 1 – x3 + x2 - 1 - 3 x2 - x + 2

ESEMPIO (2x5 – 3 x3 + x + 1) = (2 x2 +2 x – 1) • (x3 – x2 +1) + (- 3 x2 - x + 2) P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto. N.B. P1 è divisibile per P2 se il resto è uguale a zero.

ESEMPIO: (20 x4 – 14 x3 + 40 x - 32) : (4x2 + 2x - 4) 20 x4 – 14 x3 + 0 x2 + 40 x - 32 4x2 + 2x - 4 20 x4 + 10 x3 - 20 x2 5x2 -6x + 8 – 24 x3 + 20 x2 + 40 x - 32 – 24 x3 - 12 x2 + 24 x 32 x2 + 16 x - 32 32 x2 + 16 x - 32 \\ \\ \\

REGOLA DI RUFFINI Divisione di un polinomio per un binomio Sia P1(x) un polinomio di grado n e P2(x) un binomio del tipo (x ± a) con a reale, il quoziente è un polinomio di grado n – 1 ed il resto è di grado zero . P1 (x)= (x±a) P2 (x)+ R

REGOLA DI RUFFINI ±a Termine noto P1(x) Coefficienti P1(x) Coefficienti e termine noto P2(x) Resto

ESEMPIO (x2 - 1) : (x + 2) 1 -1 -2 4 -2 1 -2 3 -1 -2 4 -2 1 -2 3 x2 - 1 = (x + 2) (x –2) + 3

REGOLA DEL RESTO Il resto della divisione di un polinomio P1(x) per un binomio del tipo (x + a) è il valore che P1 assume per x = - a R= P1(-a) Esempio: (x2 - 1) : (x + 2) P1(-2) = 3

OSSERVAZIONE Se P1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è un divisore del termine noto di P1 e b è un divisore del termine di grado massimo di P1. Nell’esempio precedente: P1= (x2 - 1) avrei dovuto provare con +1 e –1: P1(+1) = 0 quindi P1 è divisibile per (x - 1) P1(-1) = 0 quindi P1 è divisibile per (x + 1)

ESEMPIO P1(x) = x3 + 3 x2 - 7x – 6 P1(±1)  0 P1(2) = 0 1 3 -7 -6 2 2 10 6 1 5 3 x3 + 3 x2 - 7x – 6 = (x -2) (x2+5x+3)