Stabilità per E.D.O. (II): IL METODO DIRETTO DI LYAPUNOV 19 maggio 2006 Roberta Pappadà

Introduzione Il metodo diretto di Lyapunov è un importante metodo per lo studio della stabilità delle soluzioni. Si consideri il sistema dinamico autonomo Il metodo diretto di Lyapunov si basa su particolari classi di funzioni , caratterizzabili in segno, dette funzioni di Lyapunov; tali funzioni permettono di determinare la stabilità o l’instabilità della soluzione di (1). Nel seguito, senza perdere di generalità, si tratterà solo il caso di stabilità della soluzione nulla.

Premesse (1) Si consideri il sistema dinamico autonomo dove e . Si assume che soddisfi le seguenti condizioni: (i) è definita e continua in dove con si indica la norma euclidea di ; (ii) in ogni punto è soddisfatta la condizione di unicità delle soluzioni di (1) ; (iii) e quindi è una soluzione di (1) .

Premesse (2) Si consideri una funzione scalare continua con derivate parziali prime continue nell’intorno dell’origine. Sono necessarie alcune definizioni preliminari. Definizione: La funzione è detta definita positiva se : (i) , (ii) , per tutti i punti in . La funzione è detta semidefinita positiva se :

Premesse (3) Definizione: derivata rispetto ad un campo vettoriale La derivata di una funzione rispetto al campo vettoriale è definita dal prodotto scalare si calcola direttamente dalla conoscenza di e del campo vettoriale .

Premesse (4) Sia , , una soluzione di (1); allora, utilizzando la regola di derivazione di funzioni composte, se la funzione viene valutata lungo la traiettoria , si ottiene: Segue che la derivata di lungo descrive la variazione temporale della funzione quando è calcolata lungo una soluzione dell’equazione differenziale, ovvero . In seguito si indicherà con la derivata di .

Teorema di stabilità asintotica di Lyapunov Se esiste una funzione definita positiva, tale che sia definita negativa, allora la soluzione del sistema è asintoticamente stabile . Dimostrazione: Dimostriamo che è stabile. Poiché è definita positiva per . Fissato , sia ; allora . Poiché è continua e , possiamo scegliere t. c. se . Inoltre definita negativa implica che se e allora si ha : .

Ora supponiamo che per un certo risulti con . Ma allora si avrebbe e si giungerebbe ad una contraddizione. Quindi se , allora la soluzione è definita per e soddisfa . Pertanto è stabile . Ora proviamo che è asintoticamente stabile. Fissato , si suppone che e una soluzione di (1) tali che , , . Inoltre, poiché è definita negativa e , t. c. .

é una funzione positiva e decrescente, si ha: Ciò implica che ma per sufficientemente grande il secondo membro della disuguaglianza diventerà negativo assurdo, poiché per ipotesi è definita positiva. Quindi non esiste t. c. , e poiché é una funzione positiva e decrescente, si ha: da cui Segue che la soluzione é asintoticamente stabile .

Se esiste una funzione definita positiva, tale Dal Teorema di stabilità asintotica di Lyapunov segue, come corollario, il Teorema di stabilità di Lyapunov : Se esiste una funzione definita positiva, tale che sia semidefinita negativa, allora la soluzione di è stabile . Definizione: funzione di Lyapunov Una funzione che soddisfa le ipotesi del Teorema di stabilità di Lyapunov è detta funzione di Lyapunov per il sistema corrispondente .

Interpretazione geometrica dei Teoremi di stabilità di Lyapunov (1) Consideriamo il caso . Le curve , con costante piccola e positiva, costituiscono una famiglia di curve chiuse concentriche che includono l’origine. Le ipotesi del Teorema di stabilità di Lyapunov implicano che, per curve chiuse sufficientemente piccole, il campo vettoriale definito dal sistema non è mai diretto verso l’esterno.

Interpretazione geometrica dei Teoremi di stabilità di Lyapunov (2) Le ipotesi del Teorema di stabilità asintotica di Lyapunov implicano che il campo vettoriale definito dal sistema è diretto verso l’interno. Ciò è facilmente intuibile tenendo presente che si suppone definita positiva e definita negativa, e che, come già visto, risulta:

Esempi (1) Data l’equazione del secondo ordine con differenziabile, e , consideriamo il sistema corrispondente: Le ipotesi assicurano che (0,0) è l’unico punto fisso. L’ energia totale del sistema è data da: energia cinetica energia potenziale

consideriamo la funzione . Esempi (2) La funzione è differenziabile; La funzione è definita positiva. Infatti: ; per ; . Pertanto è una funzione di Lyapunov e il punto fisso è stabile. Per il sistema consideriamo la funzione .

Esempi (3) è definita positiva; è definita negativa. Infatti: Pertanto il punto fisso è asintoticamente stabile.

Teorema di instabilità di Lyapunov Se esiste una funzione tale che sia definita positiva ed in ogni intorno dell’origine esista un punto per cui vale , allora la soluzione del sistema è instabile . Dimostrazione: Sia , sufficientemente piccolo , tale che la palla sia contenuta in . Sia ed è finito in quanto è continua. Scelto tale che , per le ipotesi esiste un punto tale che e .

Lungo la traiettoria è positiva e quindi è una funzione crescente e . Segue che non può avvicinarsi all’origine. Inoltre, poiché è definita positiva, si ha : e quindi ovvero per Ma per sufficientemente grande, il secondo membro della disuguaglianza diviene più grande di e quindi si allontana dalla palla . Segue che la soluzione è instabile.

Esempio Per il sistema consideriamo la funzione . è continua con derivate parziali prime continue; e ha valori positivi in ogni intorno dell’origine; e per e sufficientemente piccoli il segno di è determinato dal primo termine tra parentesi. Inoltre e quindi è definita positiva in un intorno dell’origine. Pertanto il punto fisso è instabile.

Conclusioni I teoremi di stabilità ed instabilità di Lyapunov non forniscono alcuna informazione circa la costruzione di una funzione di Lyapunov di un sistema. Ciò costituisce la principale difficoltà nell’applicazione del criterio. I teoremi forniscono condizioni sufficienti di stabilità. Tali condizioni non sono necessarie. Le condizioni di stabilità sono locali. In alcuni casi l’intorno dell’origine considerato potrebbe essere anche molto piccolo. Analogamente a quanto fatto per il sistema dinamico autonomo , il metodo diretto di Lyapunov può essere applicato allo studio della stabilità delle soluzioni del sistema non autonomo , dove e .