Analisi delle serie storiche Metodi statistici per le decisioni economiche C.d.l.m. Economia e commercio a.a. 2013/2014 Prof. Francesco Campobasso

L’IMPORTANZA DELLA PREVISIONE A LIVELLO AZIENDALE Le condizioni economiche e del mercato cambiano continuamente nel corso del tempo. Gli operatori devono essere in grado di valutare e prevedere gli effetti di tali cambiamenti sulla salute dell’azienda e quindi indirizzare l’attività di pianificazione e controllo. Le tecniche di previsione si basano sull’uso di dati storici, dai quali l’analista cerca di comprendere la struttura sottostante del fenomeno.

Cos’è una Serie Storica Cos’è una Serie Storica? Una serie storica è un insieme di dati numerici registrati ad intervalli regolari di tempo. Assunzione di base: i fattori che hanno influenzato l’andamento della serie nel passato e nel presente continuano ad esercitare effetti analoghi anche nel futuro. Primo obiettivo dell’analisi delle serie storiche è individuare e isolare tali fattori ovvero decomporre la serie storica in una serie di componenti facilmente interpretabili.

PRINCIPALI COMPONENTI DI UNA SERIE STORICA Trend (Tt): tendenza di lungo termine all’incremento o al decremento dei valori della serie. Stagionalità (St): scostamenti regolari intorno al trend con cadenza fissa inferiore ad un anno. Ciclica (Ct): spiega gli scostamenti verso l’alto o verso il basso dei dati rispetto al trend di natura più o meno regolare, non stagionale, legati solitamente all’andamento generale dell’economia. Irregolare o casuale (Et): legata a disturbi di natura accidentale che determina oscillazioni di breve periodo.

MODELLI DI COMPOSIZIONE Modello additivo: Yt = Tt + Ct + St + Et Modello moltiplicativo: Yt = Tt x Ct x St x Et Ovvero Log( Yt )= Log(Tt) + Log(Ct) + Log(St) + Log(Et) Modello misto (con errore additivo): Yt = Tt x Ct x St + Et

MODELLI DI COMPOSIZIONE Modello additivo: le fluttuazioni della serie non variano con il suo livello

MODELLI DI COMPOSIZIONE Modello moltiplicativo: le fluttuazioni della serie variano proporzionalmente con il suo livello

Analisi grafica La rappresentazione grafica dei valori della serie permette di trarre le prime considerazioni di carattere qualitativo sulla serie. Osservando un grafico è possibile individuare il modello di composizione della serie, intuire se i valori della serie manifestano un trend di lungo periodo oppure oscillano intorno a un’immaginaria linea orizzontale parallela all’asse dei tempi, se esiste una stagionalità, ecc.

Esempio di una serie a componenti additive

Esempio di una serie a componenti moltiplicative

SERIE STORICA Analisi quantitativa Previsione Individuazione del modello e delle componenti Stima delle singole componenti Previsione Previsioni di breve o lungo periodo sull’andamento futuro della serie

Stima del trend (Tt) Esaminando il grafico è difficile stabilire se i valori della serie seguano un trend di lungo periodo, poiché le forti oscillazioni di breve periodo complicano l’impressione d’insieme. Tecniche di livellamento: favoriscono una corretta visione delle tendenze di lungo periodo Medie mobili Livellamento esponenziale Tecniche altamente soggettive, in quanto dipendono dalla lunghezza del periodo ovvero dal peso scelto per la costruzione delle medie Stima della funzione analitica f(t) Metodo dei minimi quadrati

Medie Mobili Una media mobile di periodo L consiste in una serie di medie aritmetiche calcolate su una sequenze L valori osservati. Indichiamo con 𝑀𝑀 𝑡 𝐿 una media mobile centrata di periodo dispari L. Supponiamo ad esempio di voler calcolare una media mobile centrata con un periodo L =5 anni su una serie di 11 anni. Le medie mobili centrate sono calcolate su sequenze consecutive di 5 osservazioni: 𝑀𝑀 3 5 = 𝑦 1 + 𝑦 2 +𝑦 3 + 𝑦 4 + 𝑦 5 5 𝑀𝑀 4 (5)= 𝑦 2 +𝑦 3 + 𝑦 4 + 𝑦 5 + 𝑦 6 5 … 𝑀𝑀 9 (5)= 𝑦 7 + 𝑦 8 +𝑦 9 + 𝑦 10 + 𝑦 11 5

𝑇 𝑡 =𝑀𝑀 𝑡 𝐿 = 𝑦 𝑡−(𝐿−1)/2 + … + 𝑦 𝑡+(𝐿−1)/2 𝐿 t=(L-1)/2,…,n-[(L-1)/2] Stima del trend (Tt) La stima del trend T(t) mediante medie mobili centrate di ordine L è definita nel seguente modo: 𝑇 𝑡 =𝑀𝑀 𝑡 𝐿 = 𝑦 𝑡−(𝐿−1)/2 + … + 𝑦 𝑡+(𝐿−1)/2 𝐿 t=(L-1)/2,…,n-[(L-1)/2] Una media mobile centrata di lunghezza L sufficientemente elevata, individua un trend lineare. Un valore troppo elevato di L tenderà a distorcere i risultati individuando artificiosamente un trend lineare. In assenza di altre informazioni, si preferiscono medie mobili di basso ordine, ad esempio a 3 o a 5 termini.

Medie Mobili t MM(3) MM(5) MM(7) 1 266,0 - 2 145,9 198,3 3 183,1 149,4 178,9 4 119,3 160,9 129,0 185,0 5 180,3 105,4 146,2 179,1 6 168,5 193,5 184,9 185,8 7 231,8 157,6 169,2 177,2 8 224,5 216,4 157,7 208,2 9 192,8 180,1 221,7 209,0 10 122,9 217,4 212,5 212,7 11 336,5 215,1 206,5 200,9 12 185,9 238,9 197,8 198,9 …. MM2(3)=(266,0+145,9+183,1)/3=198,3 MM3(5)=(266,0+145,9+183,1+119,3+180,3)/5=178,9 MM4(7)=(266,0+145,9+183,1+119,3+180,3+168,5+213,8)/7=163,3

Medie Mobili La lunghezza L scelta per la media mobile influenza il risultato della perequazione. All’aumentare del numero di termini, la spezzata che unisce i punti perequati si fa sempre più smussata.

Medie Mobili Le medie mobili sono filtri lineari che causano perdite di informazioni in corrispondenza dei primi e degli ultimi (L-1)/2 termini della serie per i quali non è possibile calcolare alcun valore stimato del trend. La perdita dei primi termini è poco importante, mentre quella dei termini più recenti ha conseguenze rilevanti ai fini previsivi.

Livellamento esponenziale Tecnica utilizzata per smussare una serie storica di dati al fine di individuare la tendenza di lungo periodo. Consiste nell’applicazione alla serie dei dati una media mobile ponderata esponenzialmente: 𝑇 𝑡 =𝑤 𝑦 𝑡 + 1−𝑤 𝑇 𝑡−1 t= 2, …, n dove 0< w <1 è il peso o fattore di smorzamento assegnato soggettivamente. Con valori bassi di w infatti vengono meglio evidenziate le tendenze di lungo periodo della serie, mentre valori elevati consentono più precisi previsioni di breve periodo.

Livellamento esponenziale 𝑦 𝑡 w=0,1 w=0,3 w=0,5 1 266 2 145,9 254,0 230,0 206,0 3 183,1 246,9 215,9 194,5 4 119,3 234,1 186,9 156,9 5 180,3 228,8 184,9 168,6 6 168,5 222,7 180,0 7 231,8 223,6 195,5 200,2 8 224,5 223,7 204,2 212,3 9 192,8 220,6 200,8 202,6 10 122,9 210,9 177,4 162,7 11 336,5 223,4 225,2 249,6 12 185,9 219,7 213,4 217,8 …. T2(w=0,1)=145,9*0,1+266,0*(1-0,1)=254,0 T3(w=0,1)=183,1*0,1+254,0*(1-0,1)=246,9 T3(w=0,3)=183,1*0,3+230,0*(1-0,3)=215,9

Livellamento esponenziale Se lo scopo è unicamente quello di smussare la serie eliminando le variazioni cicliche e irregolari, conviene adottare un valore basso (prossimo a zero) di w; se invece si vuole anche effettuare una previsione di breve periodo, si rivela più conveniente la scelta di valori elevati (prossimi a uno) di w.

Livellamento esponenziale Ciascun valore della serie smussata dipende da tutti i valori osservati precedenti: 𝑇 𝑡 = 𝑤 𝑦 𝑡 +𝑤(1−𝑤)𝑦 𝑡−1 +𝑤 (1−𝑤) 2 𝑦 𝑡−2 +… +𝑤 (1−𝑤) 𝑛−1 𝑦 1 I pesi assegnati a ciascun valore osservato in precedenza non sono costanti, ma decrescono passando dai più recenti a quelli più lontani nel tempo.

Metodo dei minimi quadrati Prima di effettuare l’analisi vera e propria della serie storica, farsi un’idea generale dell’andamento della serie con l’ausilio di rappresentazioni grafiche. Trend lineare 𝑇 𝑡 = 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑡 Trend quadratico 𝑇 𝑡 = 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑡+ 𝑏 2 𝑡 2 Trend esponenziale 𝑇 𝑡 = 𝑏 0 𝑒 𝑏 1 𝑡 -> 𝑙𝑜𝑔 𝑇 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 0 +𝑡 𝑏 1 = 𝛽 0 + 𝑏 1 𝑡 con 𝛽 0 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 0 Trend esponenziale in 𝑦 𝑡 -> Trend lineare in 𝑙𝑜𝑔𝑦 𝑡

Metodo dei minimi quadrati Si stimano i coefficienti 𝑏 0 e 𝑏 1 in modo che 𝑡=1 𝑛 ( 𝑦 𝑡 − 𝑇 𝑡 ) 2 =minimo La variabile indipendente è il tempo, con la convenzione di far partire l’asse delle ascisse (l’asse dei tempi) dal primo periodo per il quale sono disponibili i dati e quindi di considerare il primo anno o il primo trimestre o il primo mese come il periodo zero (X = 0). Se ad esempio stiamo lavorando con una serie di 24 anni, al primo verrà assegnato il valore 0, al secondo il valore 1 e così via fino al ventiquattresimo anno a cui sarà assegnato il valore 23.

Metodo dei minimi quadrati Le stime dei minimi quadrati possiedono un’importante proprietà, nota come decomposizione della varianza totale: Dev Tot =Dev Regr +Dev(Res) dalla quale si può definire un indice che misura la bontà di adattamento della retta di regressione: 𝑅 2 = Dev(Regr) Dev(Tot) con 0 ≤ R2 ≤ 1. Un primo criterio per scegliere il grado del polinomio (lineare o quadratico) è confrontare i rispettivi 𝑅 2∗ corretti: 𝑅 2∗ = 1− Dev(Res)/(n−p) Dev(Tot)/(n−1) con p= 2 trend lineare, p= 3 trend quadratico.

Scelta del trend attraverso lo strumento delle differenze prime, seconde e percentuali Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend lineare, le differenze prime fra i valori della serie sono costanti: 𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏 = 𝒚 𝟑 − 𝒚 𝟐 =…= 𝒚 𝒏 − 𝒚 𝒏−𝟏 Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend quadratico, le differenze seconde fra i valori della serie sono costanti: 𝒚 𝟑 − 𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏 =[ 𝒚 𝟒 − 𝒚 𝟑 − 𝒚 𝟑 − 𝒚 𝟐 ]=…= =[ 𝒚 𝒏 − 𝒚 𝒏−𝟏 − 𝒚 𝒏−𝟏 − 𝒚 𝒏−𝟐 ] Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend esponenziale, le differenze percentuali fra i valori della serie sono costanti: 𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏 𝒚 𝟏 ∗𝟏𝟎𝟎= 𝒚 𝟑 − 𝒚 𝟐 𝒚 𝟐 ∗𝟏𝟎𝟎=…= 𝒚 𝒏 − 𝒚 𝒏−𝟏 𝒚 𝒏−𝟏 ∗𝟏𝟎𝟎

Differenze percentuali Scelta del trend attraverso lo strumento delle differenze prime, seconde e percentuali 𝑦 𝑡 Differenze prime Differenze seconde Differenze percentuali 1988 62,0 - 1989 63,0 1,0 1,6 1990 65,5 2,5 1,5 4,0 1991 69,5 6,1 1992 75,0 5,5 7,9 1993 82,3 7,3 1,8 9,7 1994 91,2 8,9 10,8 1995 101,5 10,3 1,4 11,3 1996 113,0 11,5 1,2 1997 126,2 13,2 1,7 11,7 1998 140,8 14,6 11,6 Le differenze seconde mostrano un andamento più erratico, pertanto il trend quadratico può fornire una adeguata interpolazione della serie.

Stima del trend Stimiamo il trend quadratico con il metodo dei minimi quadrati. Si ha: 𝑇 𝑡 =61,9+0,28𝑡+0,8 𝑡 2 ( 𝑅 2 ≌1,0) 𝑦 𝑡 𝑇 𝑡 1988 62,0 61,9 1989 63,0 62,98 1990 65,5 65,66 1991 69,5 69,94 1992 75,0 75,82 1993 82,3 83,30 1994 91,2 92,38 1995 101,5 103,06 1996 113,0 115,34 1997 126,2 129,22 1998 140,8 144,70

Stima della componente stagionale (St) Valutare l’andamento della serie in punti differenti dall’anno, considerando la componente della serie come fenomeno puramente infrannuale. Eliminazione della componente stagionale (St) Studiare le altre componenti al netto dell’effetto della stagionalità eliminando la componente stagionale (destagionalizzazione). Assunzioni: la componente stagionale è una componente ciclica di periodo d (con d=12 per le serie mensili, d=4 per le serie trimestrali, ecc.) 𝑘=1 𝑑 𝑠 𝑘 =0

Stima della componente stagionale (St) 1) Si determina inizialmente una prima stima del trend al netto della componente stagionale calcolando le medie mobili centrate di lunghezza L=d+1 𝑀𝑀 𝑗 𝐿 = 𝑦 𝑗−(𝐿−1)/2 +..+ 𝑦 𝑡+(𝐿−1)/2 𝐿 j=(L-1)/2,…,n-(L-1)/2 La media mobile avrà anche l’effetto di attenuare le componenti a frequenza più alta (componente residua). Quando d è pari dovrebbe essere utilizzata una media mobile non centrata affinché la stima della componente stagionale non venga viziata dal fatto che il primo e l’ultimo termine nella media si riferiscano allo stesso dato annuale. Sarebbe più opportuno calcolare le medie mobili non centrate di periodo d. Tali medie non sono riferite a nessun dato grezzo poiché cadono tra il termine d/2 e il termine (d+1)/2 di ogni gruppo di d periodi. Una seconda media mobile deve essere calcolata tra questi due termini non centrati consecutivi, il che equivale a calcolare una media mobile centrata a d+1 termini ponderata, in cui si assegna peso 1 al primo e ultimo termine della media e peso 2 a gli altri termini centrali.

Stima della componente stagionale (St) 2) Si calcolano le differenze tra i valori della serie 𝑦 𝑗 e la media mobile 𝑀𝑀 𝑗 𝐿 : [ 𝑦 𝑗 − 𝑀𝑀 𝑗 (𝐿)] j=(L-1)/2,…,n-(L-1)/2 3) Si elimina la componente residua determinando la media aritmetica di tali differenze per il periodo k =1, ..., d: 𝑤 𝑘 =𝑎𝑣𝑒𝑟𝑎𝑔𝑒{ 𝑦 𝑘+𝑙𝑑 − 𝑀𝑀 𝑘+𝑙𝑑 , 0 ≤𝑙<𝑖𝑛𝑡(𝑞) -1} k=1, …, d dove q=n/d è il numero di anni all’interno della serie di lunghezza n.

Eliminazione della componente stagionale (St) 4) Le quantità 𝑤 𝑘 (indici di stagionalità) non possono essere assunte come stima della componente stagionale perché non rispettano il vincolo di somma a zero. Allora si calcolano le deviazioni stagionali: 𝑠 𝑘 = 𝑤 𝑘 − 𝑗=1 𝑑 𝑤 𝑗 𝑑 k=1, …, d Questa stima si riferisce ad un ciclo stagionale completo, ma si prolunga per continuità all’intero periodo di osservazione ponendo 𝑠 𝑘 = 𝑠 𝑘+𝑙𝑑 . Eliminazione della componente stagionale (St) La serie storica destagionalizzata è definita come: 𝑑 𝑡𝑘 = 𝑦 𝑡 − 𝑠 𝑘 t=0, …, n-1 k=1, …, d

𝒚 𝒕 𝒔 𝒌 𝒅 𝒕𝒌 𝒚 𝒕 𝒔 𝒌 𝒅 𝒕𝒌 MM L=13 (yt-MM) 𝒘𝒌 𝒘𝒌- 𝒘𝒌 gen 01 49 2,8 46,2 𝒔 𝒌 𝒅 𝒕𝒌 gen 01 49 2,8 46,2 feb 01 41 2,7 38,3 mar 01 3,8 37,2 apr 01 42 3,6 38,4 mag 01 44 2,5 41,5 giu 01 38 1,1 36,9 lug 01 39 40,4 -1,4 -2,7 -2,8 41,8 ago 01 21 39,8 -18,8 -20,5 -20,6 41,6 set 01 40 40,0 0,0 2,6 37,4 ott 01 45 40,3 4,7 42,4 nov 01 40,2 0,8 2,3 2,2 38,8 dic 01 -2,0 -0,2 -0,3 gen 02 46 40,1 5,9 2,9 43,2 feb 02 mar 02 40,8 3,2 3,9 apr 02 41,2 3,7 41,4 mag 02 -1,2 37,5 giu 02 41,3 0,7 1,2 40,9 lug 02 ago 02 23 -18,6 43,6 set 02 47 41,9 5,1 44,4 ott 02 42,5 nov 02 42,8 dic 02 42,3 …. 𝒚 𝒕 MM L=13 (yt-MM) 𝒘𝒌 𝒘𝒌- 𝒘𝒌 𝒔 𝒌 𝒅 𝒕𝒌 … gen 03 44 43,1 0,9 2,8 41,2 feb 03 41,7 2,3 2,7 41,3 mar 03 45 43,7 1,3 3,8 apr 03 51 7,3 3,6 47,4 mag 03 44,1 2,5 42,5 giu 03 49 44,4 4,6 1,1 47,9 lug 03 41 44,8 -3,8 -2,8 43,8 ago 03 21 45,2 -24,2 -20,6 41,6 set 03 46,0 3,0 2,6 46,4 ott 03 47 46,2 0,8 nov 03 50 46,5 3,5 2,2 47,8 dic 03 -0,3 49,3 gen 04 48 2,0 feb 04 45,1 3,9 46,3 mar 04 54 46,8 7,2 50,2 apr 04 46,9 0,1 43,4 mag 04 55 8,1 52,5 giu 04 46,6 -1,6 43,9 lug 04 43 45,8 ago 04 29 49,6 set 04 41,4 ott 04 nov 04 dic 04 46 Somma 1,4 Media

Destagionalizzazione L’andamento dei dati destagionalizzati attenua le oscillazioni della serie storica osservata

Stima della componente stagionale (St)

Stima della componente ciclica (Ct) Molti autori parlano di trend-ciclo come unica componente, date le difficoltà teoriche che spesso si incontrano nel separarle. Supponendo di voler individuare la componente ciclo, allora: Si stima il trend Tt e la eventuale stagionalità St; allora la serie Yt - Tt - St sarà una stima di Ct + Et Si elimina la componente residua Et con una media mobile di breve periodo sulla serie Ct + Et Eliminazione della componente ciclica Data una serie storica, si procede a una prima perequazione per la ricerca del trend e la sua eliminazione. Successivamente, si calcolano gli indici di stagionalità (se i dati sono rilevati per mesi) si calcola una serie destagionalizzata che comprende il movimento ciclico e il movimento accidentale, detti, nel complesso, movimento ciclico lordo del quale conviene fare il grafico. La presenza del movimento ciclico lordo è evidenziata nel grafico dalle oscillazioni periodiche o non periodiche che si susseguono a intervalli pluriennali. Dopo aver eliminato mediante una perequazione per medie mobili il movimento accidentale, si ha un grafico più chiaro del movimento ciclico netto. Occorre determinare la durata media dei cicli all’interno della serie e sulla base di tale dato si procede al calcolo delle medie mobili. N.B.: Tecnica altamente soggettiva perché dipende dalla lunghezza del periodo scelto per la costruzione delle medie.

Log( Et )= Log(Yt) - Log(Tt) - Log(Ct) - Log(St) Stima della componente casuale (Et) Irregolare o casuale (Et): legata a disturbi di natura accidentale che determina oscillazioni di breve periodo. Generalmente si stima per differenza una volta individuate le altre componenti. Modello additivo: Et = Yt -Tt - Ct - St Modello moltiplicativo: Et = Yt /(Tt x Ct x St) ovvero Log( Et )= Log(Yt) - Log(Tt) - Log(Ct) - Log(St) Modello misto (con errore additivo): Et = Yt – (Tt x Ct x St)

PREVISIONE SERIE STORICA Determinazione del trend su dati destagionalizzati Si calcolano le medie mobili centrate di lunghezza L=d+1 Si calcola il trend 𝑇 𝑡 = 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑡 con il metodo dei minimi quadrati, sulle medie mobili Si calcolano la deviazioni stagionali 𝑠 𝑘 = 𝑤 𝑘 − 𝑗=1 𝑑 𝑤 𝑖 𝑑 k=1, …, d La forma analitica della serie sarà 𝑦 𝑡𝑘 = 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑡+ 𝑠 𝑘 t=0, …, n-1 k=1, …, d

𝒚 𝒕 𝒔 𝒌 𝒚 𝒕 𝒔 𝒌 MM L=13 𝑻 t 𝒚 t= 𝑻 t+ 𝒔 𝒌 gen 01 49 2,8 37,8 40,6 1 𝒔 𝒌 𝑻 t 𝒚 t= 𝑻 t+ 𝒔 𝒌 gen 01 49 2,8 37,8 40,6 1 feb 01 41 2,7 38,0 40,7 2 mar 01 3,8 38,3 42,0 3 apr 01 42 3,6 38,5 42,1 4 mag 01 44 2,5 38,7 41,2 5 giu 01 38 1,1 38,9 40,0 6 lug 01 39 40,4 -2,8 39,2 36,4 7 ago 01 21 39,8 -20,7 39,4 18,7 8 set 01 40 2,6 39,6 42,2 9 ott 01 45 40,3 42,4 10 nov 01 40,2 2,2 40,1 11 dic 01 -0,3 12 gen 02 46 40,5 43,3 13 feb 02 38,8 43,4 14 mar 02 40,8 41,0 44,7 15 apr 02 44,8 16 mag 02 41,4 43,9 17 giu 02 41,3 41,6 42,7 18 lug 02 41,8 41,9 39,1 19 ago 02 23 21,4 20 set 02 47 42,3 44,9 ott 02 42,5 45,1 22 nov 02 42,8 45,0 dic 02 43,2 43,0 …. … 𝒚 𝒕 MM L=13 𝒔 𝒌 𝑻 t 𝒚 t= 𝑻 t+ 𝒔 𝒌 … 24 gen 03 44 43,1 2,8 43,2 46,0 25 feb 03 41,7 2,7 43,4 46,1 26 mar 03 45 43,7 3,8 47,4 27 apr 03 51 3,6 43,9 47,5 28 mag 03 44,1 2,5 46,6 29 giu 03 49 44,4 1,1 44,3 45,5 30 lug 03 41 44,8 -2,8 44,6 41,8 31 ago 03 21 45,2 -20,7 24,1 32 set 03 2,6 45,0 47,6 33 ott 03 47 46,2 47,8 34 nov 03 50 46,5 2,2 47,7 35 dic 03 -0,3 45,7 45,4 36 gen 04 48 45,9 48,8 37 feb 04 45,1 38 mar 04 54 46,8 46,4 50,1 39 apr 04 46,9 50,2 40 mag 04 55 49,3 giu 04 47,1 48,2 42 lug 04 43 47,3 44,5 ago 04 26,8 set 04 50,3 ott 04 48,0 50,5 46 nov 04 50,4 dic 04 48,4 48,1

Stima del trend 𝑇 t rispetto alle medie mobili

Serie storica stimata

PREVISIONE SERIE STORICA Modello stimato: 𝑦 𝑡𝑘 =37,8 +0,23 𝑡+ 𝑠 𝑘 t=0, …, n-1 k=1, …, d con 𝑠 𝑘 : Allora la previsione per il mese di Maggio del 2005 (52.esimo mese dal primo dato disponibile della serie stimata), è: 𝑦 𝑡𝑘 =37,8 +0,23(52) + 2,5 = 52,26 k 𝑠 𝑘 1 Gennaio 2,8 2 Febbraio 2,7 3 Marzo 3,8 4 Aprile 3,6 5 Maggio 2,5 6 Giugno 1,1 … 7 Luglio -2,8 8 Agosto -20,7 9 Settembre 2,6 10 Ottobre 11 Novembre 2,2 12 Dicembre -0,3

PREVISIONE SERIE STORICA Metodo livellamento esponenziale (previsioni di breve periodo) La previsione al tempo t+1 modifica la previsione precedente 𝑇 𝑡 𝑇 𝑡+1 =𝑤 𝑦 𝑡 + 1−𝑤 𝑇 𝑡 La previsione tiene conto dell’errore di previsione (𝑦 𝑡 − 𝑇 𝑡 ) commesso nel prevedere 𝑦 𝑡 ponderato secondo il valore del parametro di smussamento w, infatti: 𝑇 𝑡+1 =𝑤 𝑦 𝑡 + 𝑇 𝑡 −𝑤 𝑇 𝑡 = 𝑇 𝑡 + 𝑤(𝑦 𝑡 − 𝑇 𝑡 )