Vertici, spigoli e facce di cubi a più dimensioni Ricerca delle formule relative 26/07/2004 A cura di Ivana Niccolai

Formazione dei cubi Ogni cubo può essere pensato come il risultato del movimento di un cubo di dimensione inferiore. Un punto che si muove genera un segmento; un segmento che si muove genera un quadrato; un quadrato che si muove genera un cubo; un cubo che si muove genera un ipercubo; un ipercubo che si muove genera un pentacubo; un pentacubo che si muove genera un esacubo Ecc.

Formula per calcolare il numero dei vertici Ogni volta che muoviamo un cubo per generare un cubo nella dimensione successiva, notiamo che il numero dei vertici raddoppia. Ecco la formula che fornisce in modo diretto il numero dei vertici di un cubo di uno spazio a n dimensioni: 2^n In questo linguaggio, il numero dei vertici di un cubo a 0 dimensioni sarà: 2^0 = 1 Il numero dei vertici di un cubo a 2 dimensioni sarà: 2^2 = 4

Esempi Il numero dei vertici di un cubo a tre dimensioni sarà: 2^3 = 8 Il numero dei vertici di un cubo a quattro dimensioni sarà: 2^4 = 16 Il numero dei vertici di un cubo a cinque dimensioni sarà: 2^5 = 32 Il numero dei vertici di un cubo a sei dimensioni sarà: 2^6 = 64 Ecc.

Numero degli spigoli Un quadrato ha quattro lati e quando si muove dalla posizione iniziale a quella finale, ognuno dei suoi quattro vertici percorre un segmento, che è un nuovo spigolo del cubo; abbiamo, quindi, quattro spigoli relativi al quadrato iniziale, quattro per quello finale e quattro generati dal movimento dei vertici, per un totale di 12 spigoli. Questo modello può essere generalizzato. Se muoviamo una figura in linea retta, il numero di spigoli della nuova figura generata da questo movimento sarà sempre il doppio del numero di spigoli della figura originale più il numero dei vertici in movimento.

Esempi Il numero degli spigoli di un cubo a quattro dimensioni sarà: 12 + 12 + 8 = 32 Il numero degli spigoli di un cubo a cinque dimensioni sarà: 32 + 32 + 16 = 80 Il numero degli spigoli di un cubo a sei dimensioni sarà: 80 + 80 + 32 = 192

Tabella 1 2 3 4 5 6 8 16 32 64 12 80 192 Dimensione del cubo vertici Numero di vertici 8 16 32 64 spigoli 12 80 192

Tabella 1 2 3 4 5 6 2*2 3*4 4*8 5*16 6*32 Dimensione del cubo Numero di spigoli 2*2 3*4 4*8 5*16 6*32 Si nota che il numero di spigoli nella dimensione n è sempre divisibile per n

Regola Dalla considerazione che il numero di spigoli nella dimensione n è sempre divisibile per n, viene suggerita la seguente regola: Il numero di spigoli di un cubo (di qualsiasi dimensione) è uguale alla dimensione del cubo (preso in considerazione), moltiplicata per la metà del numero di vertici in quella dimensione

Ragionamento generale per contare gli spigoli Esiste un modo per determinare il numero degli spigoli di un cubo di una data dimensione senza dover indovinare alcuna regola: si tratta di un ragionamento generale per contarli. In ogni vertice di un cubo tridimensionale si incontrano tre spigoli; moltiplicando 3 per gli 8 vertici, si ottiene 24. In tal modo, però, ogni spigolo è stato contato due volte, una per ognuno dei due vertici che lo spigolo collega. Il vero numero dei vertici è perciò 12, cioè tre volte la metà del numero dei vertici.

Formula per calcolare il numero degli spigoli In generale, se vogliamo contare il numero totale di spigoli di un cubo di una certa dimensione, possiamo osservare che il numero di spigoli uscenti da ogni vertice è uguale alla dimensione del cubo n; il numero totale dei vertici è uguale a 2^n; con il prodotto di n * 2^n ogni spigolo viene contato due volte. Il numero esatto di spigoli di un cubo di dimensione n è perciò la metà di n * 2^n , che è come dire: n * 2^(n-1)

Esempi Il numero degli spigoli di un cubo a quattro dimensioni sarà: 4 * 2^3 = 4 * 8 = 32 il numero degli spigoli di un cubo a otto dimensioni sarà: 8 * 2^7 = 8 * 128 = 1024

Numero dei quadrati in un ipercubo L’ipercubo è così simmetrico che ogni vertice è interscambiabile con tutti gli altri. Comprendendo ciò che accade a un vertice, allora comprendiamo ciò che accade a tutti gli altri vertici. A ogni vertice fanno capo tanti quadrati quanti sono i modi di scegliere due spigoli fra i quattro che escono da quel vertice, cioè 6. Dato che ci sono 16 vertici , moltiplichiamo 6 * 16 e si ottiene 96, ma in questo modo ogni faccia è contata quattro volte, una per ognuno dei suoi vertici. Il numero dei quadrati in un ipercubo è perciò 96/4, cioè 24.

Generalizzazione e concetto di K-cubo Si può generalizzare questo risultato con una formula. Si indica con Q(k,n) il numero di k-cubi contenuti in un n-cubo. Si precisa che, in questo linguaggio: un punto è uno 0-cubo, un segmento è un 1-cubo, un quadrato è un 2-cubo, il cubo è un 3-cubo, un ipercubo è un 4-cubo, un pentacubo (cioè un cubo a cinque dimensioni) è un 5-cubo ecc.

Formula per calcolare il numero delle facce quadrate Per calcolare il numero delle facce quadrate di un n-cubo, dobbiamo prima trovare quanti k-cubi ci sono a ogni vertice. Il numero di k-cubi che passano per ogni vertice di un n-cubo sarà : C(k,n) = n!/ (k!(n-k)!), cioè le combinazioni di n oggetti presi k a k. Poiché ci sono C(k,n) k-cubi a ognuno dei 2^n vertici, si ha un numero totale di k-cubi pari a (2^n)*C(k,n). In questo conto, però, ogni k-cubo è contato 2^k volte e allora bisogna dividere il risultato precedente per 2^ k, per ottenere la seguente formula Q(k,n) = (2^(n-k))*C(k,n)

Q(k,n) = (2^(n-k))*C(k,n) Esempi (1/2) Se vogliamo calcolare le facce quadrate di un cubo, si cerca il numero dei 2-cubi contenuti in un cubo e si applica la formula: Q(k,n) = (2^(n-k))*C(k,n) con k=2 e n=3 Q(2,3) = 2*C(2,3) = 2*3 = 6 2. Se vogliamo calcolare le facce quadrate di un ipercubo, si cerca il numero dei 2-cubi contenuti in un ipercubo e si applica la medesima formula con k=2 e n=4 Q(2,4) = 2^2*C(2,4) = 4*6 = 24

Q(k,n) = (2^(n-k))*C(k,n) Esempi (2/2) Se si desidera calcolare le facce quadrate di un cubo a 5 dimensioni, si cerca il numero dei 2-cubi contenuti in un pentacubo e si applica la formula: Q(k,n) = (2^(n-k))*C(k,n) con k=2 e n=5 Q(2,5) = 2^3*C(2,5) = 8*10 = 80 4. Se si vuole calcolare le facce quadrate di un cubo a 6 dimensioni, si cerca il numero dei 2-cubi contenuti in un esacubo e si applica la stessa formula con k=2 e n=6 Q(2,6) = 2^4*C(2,6) = 16*15 = 240 Ecc.