Definizioni e Proprietà Operazione in N Le quattro operazioni Definizioni e Proprietà Disciplina: Matematica

Concetto di Operazione NUMERO OPERAZIONE RISULTATO PROCEDIMENTO CHE PERMETTE DI ASSOCIARE A DUE NUMERI, DATI IN UN CERTO ORDINE, E DETTI TERMINI DELL’OPERAZIONE, UN NUOVO NUMERO CHIAMATO RISULTATO, CHE SODDISFA CERTE PROPRIETÀ

5 + 3 = 8 Addizione in N SEGNO DI OPERAZIONE ADDENDI SOMMA O TOTALE 5 + 3 = 8 ADDENDI SOMMA O TOTALE SEGNO DI OPERAZIONE L’ADDIZIONE DI DUE NUMERI CHIAMATI ADDENDI È L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO SOMMA O TOTALE

Proprietà dell’Addizione PROPRIETÀ COMMUTATIVA La somma di due o più numeri non cambia “scambiando” l’ordine degli addendi: 8 + 3 = 11 3 + 8 = 11 8 + 3 = 3 + 8

PROPRIETÀ ASSOCIATIVA La somma di due o più numeri non cambia se al posto di alcuni addendi si sostituisce la loro somma: 4 + 2 + 3 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9 4 + 2 + 3 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 = 9 La somma di due o più numeri non cambia se a uno o più addendi se ne sostituiscono altri aventi per somma l’addendo considerato: 9 + 6 = 15 (2 + 7) + 6 = 2 + 7 + 6 = 15 9 + (2 + 4) = 9 + 2 + 4 = 15

LEGGE DI COMPOSIZIONE INTERNA ELEMENTO NEUTRO Lo zero è l’elemento neutro dell’addizione: 8 + 0 = 0 + 8 = 8 LEGGE DI COMPOSIZIONE INTERNA L’addizione è una legge di composizione interna all’insieme dei numeri naturali: se addizioni due numeri naturali ottengo sempre un numero naturale, cioè si può sempre eseguire. 12 + 8 = 20 NUMERO NATURALE

9 - 4 = 5 5 + 4 = 9 Sottrazione in N SEGNO DI OPERAZIONE MINUENDO 9 - 4 = 5 MINUENDO DIFFERENZA SEGNO DI OPERAZIONE SOTTRAENDO LA SOTTRAZIONE DI DUE NUMERI, IL CUI PRIMO SI CHIAMA MINUENDO E IL SECONDO SOTTRAENDO È L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO DIFFERENZA DIFFERENZA + SOTTRAENDO = MINUENDO 5 + 4 = 9

Proprietà della Sottrazione PROPRIETÀ INVARIANTIVA La differenza fra due numeri non cambia se ad entrambi si addiziona, o si sottrae se possibile, uno stesso numero: 8 - 5 = 3 (8 + 2) - (5 + 2) = 10 - 7 = 3 (8 - 3) - (5 - 3) = 5 - 2 = 3

REGOLA DI CALCOLO Se da un numero di devono sottrarre successivamente più numeri, si possono eseguire le sottrazioni nell’ordine di scrittura, oppure si sottrae dal primo numero la somma di tutti gli altri: 19 - 7 - 5 - 2 = 12 - 5 - 2 = 7 - 2 = 5 19 - 7 - 5 - 2 = 19 - (7 + 5 + 2) = 18 - 14 = 5

5 × 3 = 15 Moltiplicazione in N MOLTIPLICATORE SEGNO DI OPERAZIONE 5 × 3 = 15 FATTORI PRODOTTO SEGNO DI OPERAZIONE MOLTIPLICANDO MOLTIPLICATORE LA MOLTIPLICAZIONE DI DUE NUMERI CHIAMATI FATTORI È L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO PRODOTTO

Proprietà della Moltiplicazione PROPRIETÀ COMMUTATIVA Il prodotto di due o più numeri non cambia “scambiando” l’ordine dei fattori: 4 × 3 = 12 3 × 4 = 12 4 × 3 = 3 × 4

PROPRIETÀ ASSOCIATIVA Il prodotto di due o più numeri non cambia se al posto di alcuni addendi si sostituisce il loro prodotto: 2 × 3 × 4 = (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24 2 × 3 × 4 = 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24 Il prodotto di due o più numeri non cambia se a uno o più fattori se ne sostituiscono altri aventi per prodotto il fattore considerato: 12 × 6 = 72 (3 × 4) × 6 = 3 × 4 × 6 = 72 12 × (2 × 3) = 12 × 2 × 3 = 72

PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DELLA RISPETTO ALL’ADDIZIONE MOLTIPLICAZIONE RISPETTO ALL’ADDIZIONE Per moltiplicare una somma per un numero, si può moltiplicare ogni addendo della somma per quel numero e poi addizionare i prodotti così ottenuti: (2 + 4) × 5 = 6 × 5 = 30 (2 + 4) × 5 = 2 × 5 + 4 × 5 = 10 + 20= 30

PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DELLA RISPETTO ALLA SOTTRAZIONE MOLTIPLICAZIONE RISPETTO ALLA SOTTRAZIONE Per moltiplicare una differenza per un numero, si possono moltiplicare minuendo e sottraendo della differenza per quel numero e poi sottrarre i prodotti così ottenuti: (10 - 4) × 3 = 6 × 3 = 18 (10 - 4) × 3 = 10 × 3 - 4 × 3 = 30 - 12= 18

7 × 1 = 1 × 7 = 7 5 × 0 = 0 × 5 = 0 0 × 0 = 0 ELEMENTO NEUTRO L’uno è l’elemento neutro della moltiplicazione: 7 × 1 = 1 × 7 = 7 ELEMENTO ASSORBENTE Lo zero è l’elemento assorbente della moltiplicazione, cioé annulla sempre il prodotto: 5 × 0 = 0 × 5 = 0 e vale 0 × 0 = 0

LEGGE DI COMPOSIZIONE INTERNA La moltiplicazione è una legge di composizione interna all’insieme dei numeri naturali: se moltiplico due numeri naturali ottengo sempre un numero naturale, cioè si può sempre eseguire. 2 × 8 = 16 NUMERO NATURALE

QUOTO × DIVISORE = DIVIDENDO Divisione in N 1 - DIVISIONE ESATTA O PROPRIA: 15 : 3 = 5 QUOTO SEGNO DI OPERAZIONE DIVIDENDO DIVISORE LA DIVISIONE ESATTA (O PROPRIA) DI DUE NUMERI, IL CUI PRIMO SI CHIAMA DIVIDENDO E IL SECONDO, DIVERSO DA ZERO, DIVISORE È L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO QUOTO QUOTO × DIVISORE = DIVIDENDO 5 × 3 = 15

QUOZIENTE × DIVISORE + RESTO = DIVIDENDO Divisione in N 2 - DIVISIONE APPROSSIMATA O IMPROPRIA: SEGNO DI OPERAZIONE 13 : 3 = 4 e resto 1 QUOZIENTE DIVIDENDO DIVISORE RESTO QUOZIENTE × DIVISORE + RESTO = DIVIDENDO 4 × 3 + 1 = 13

PROPRIETÀ INVARIANTIVA PER LA DIVISIONE ESATTA Se si moltiplicano, o si dividono quando sono divisibili, il divisore e il dividendo di una divisione per uno stesso numero il quoto rimane invariato: 12 : 6 = 2 (12 × 4) : (6 × 4) = 48 : 24 = 2 (12 : 3) : (6 : 3) = 4 : 2 = 2

PROPRIETÀ INVARIANTIVA PER LA DIVISIONE APPROSSIMATA Se si moltiplicano, o si dividono quando sono divisibili, il divisore e il dividendo di una divisione per uno stesso numero il quoziente rimane invariato, mentre il resto viene moltiplicato o diviso per quel numero: 40 : 12 = 3 e resto 4 (40 × 3) : (12 × 3) = 120 : 36 = 3 e resto 12 (=4 × 3) (40 : 2) : (12 : 2) = 20 : 6 = 3 e resto 2 (=4 : 2)

Approfondimento sulla Divisione quoto di due numeri uguali: 12 : 12 = 1 Se il divisore è uguale a 1 il quoto è uguale al dividendo: 12 : 1 = 12 Se il dividendo è uguale a 0 e il divisore è diverso da 0 allora il quoto è uguale 0: 0 : 12 = 0 Se il divisore è uguale a 0 e il dividendo è diverso da 0 allora la divisione è impossibile 12 : 0 = impossibile Se il divisore è uguale a 0 e il dividendo è uguale a 0 allora la divisione è indeterminata 0 : 0 = indeterminata