Equazioni di primo grado Tutor d'aula prof,ssa Sannino Patrizia

Un modello algebrico per risolvere problemi: le equazioni. Unità didattica 1: Le equazioni. Unità didattica 2: Risoluzione di problemi. Competenze. L’alunno sarà in grado di: classificare un’equazione; risolvere equazioni di primo grado e ad esse riconducibili; risolvere problemi mediante equazioni.

Descrittori Al. Sa classificare un’equazione. A2. Sa riconoscere equazioni determinate, indeterminate, impossibili. B1. Sa applicare i principi di equivalenza. B2. Sa determinare il dominio di un’equazione. B3. Sa risolvere un’equazione numerica intera di primo grado. B4. Sa risolvere un’equazione numerica frazionaria. B6. Sa risolvere un’equazione di grado superiore al primo applicando la legge di annullamento del prodotto. C1. Sa costruire il modello algebrico di un problema. C2. Sa individuare le soluzioni del modello e del problema.

Dal problema al modello Trova il numero tale che il suo doppio diminuito di cinque sia uguale a quindici. Indicando con x il numero si ottiene 2x – 5 = 15

Un modello è una forma di rappresentazione semplificata della realtà. 2x – 5 = 15 È la formalizzazione in linguaggio algebrico del problema dato.

Giochiamo “Pensa un numero, aggiungi 5 e moltiplica il risultato per 2. Che numero hai ottenuto?” “Ho ottenuto 30” “Allora il numero che hai pensato è 10”. Questo semplice giochino che ci è stato proposto tante volte si risolve mediante un’equazione 2(x + 5) = 30

Si chiama equazione algebrica un’uguaglianza fra due espressioni algebriche, in una o più variabili, che risulti verificata solo per particolari valori attribuiti alle variabili che in essa figurano. Un’equazione algebrica, in una sola variabile, si dirà di primo grado se la variabile che in essa figura è di primo grado. La variabile x si chiama incognita dell’equazione. I particolari valori che attribuiti all’incognita soddisfano l’equazione, si chiamano soluzioni o radici dell’equazione stessa.

In matematica una uguaglianza e‘ un uguale fra due enti In matematica una uguaglianza e‘ un uguale fra due enti. Esempi possono essere 1 + 1 = 2 125 + 250 = 375 a + a + 3a + 2a = 2a + 5a Regola importante: se un'uguaglianza e' vera si comporta come una bilancia a piatti: quello che c'e' su un piatto deve variare come quello che c'e' sull'altro piatto altrimenti la bilancia non e' più in equilibrio e l'uguaglianza non e' più valida

Una equazione generica di primo grado è del tipo: ax = b con a, b, x   Chiameremo 1° membro l’espressione posta a sinistra dell’uguale e 2° membro l’espressione a destra. x – 1 + 2x = 3x - 1 1° membro 2° membro

Equazione ax = b con a,b,x Equazioni Equazioni impossibili Equazioni Se l’equazione (di 1° grado) possiede una sola soluzione si dirà determinata; se, invece, possiede infinite soluzioni si dirà indeterminata; infine, si dirà impossibile se non ammette soluzioni. Equazione ax = b con a,b,x Equazioni impossibili (nessuna soluzione) 0x = b Equazioni indeterminate (infinite soluzioni) 0x = 0 Equazioni determinate (una soluzione) ax = b

Classificazione Equazioni Razionali Irrazionali Numeriche Letterali Le incognite non compaiono sotto un segno di radice Irrazionali Le incognite compaiono sotto un segno di radice Numeriche Oltre alle incognite non compaiono altre lettere Letterali Oltre alle incognite compaiono altre lettere Grado di un’equazione intera nella forma P(x)=0: È il grado del polinomio Intere le incognite non compaiono in un denominatore Fratte Le incognite compaiono anche nei denominatori

EQUAZIONI EQUIVALENTI Diremo che due equazioni, di primo grado, sono equivalenti se ammettono la stessa soluzione Per risolvere un’equazione è necessario applicare un procedimento risolutivo, occorre cioè conoscere i metodi che consentono di trasformare un’assegnata equazione in una nuova equazione ad essa equivalente ma di forma più semplice. A tale scopo è necessario applicare due importanti teoremi detti principi di equivalenza.

Principio di addizione Addizionando ad ambo i membri di una equazione uno stesso numero o una medesima espressione algebrica in x si ottiene una equazione equivalente alla data Esempio: 8x – 6 = 7x + 4 Applicando il 1° principio, aggiungiamo ad ambo i membri l’espressione 6- 7x 8x – 6 + 6 – 7x = 7x + 4 + 6 – 7x x = 10 Da tale principio ricaviamo: Regola del trasporto: in una equazione è sempre possibile trasportare un termine qualunque da un membro all’altro cambiandone il segno Regola della cancellazione: se uno stesso termine figura nei due membri di una equazione, può essere eliminato

Principio di moltiplicazione e divisione – Moltiplicando o dividendo ambo i membri di una equazione per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa espressione algebrica contenente l’incognita, si ottiene una equazione equivalente alla data Esempio: 8x = -16 Applicando il 2° principio, dividendo ambo i membri per 80: 8x : 8 = – 16 : 8 x = – 2 Da tale principio ricaviamo: – Regola del cambiamento di segno: cambiando il segno a tutti i termini di una equazione se ne ottiene un’altra equivalente alla data – Regola della soppressione dei denominatori numerici: per trasformare una equazione dotata di denominatori numerici in un’altra equivalente, priva di denominatori, si moltiplicano ambo i membri dell’equazione data per il m.c.m. dei suoi denominatori

Come si risolve una equazione di I grado   Equazione 1 10 (x + 2) + 20 = 6 (x - 2) + 22 - x Soluzione 10x+20+20 = 6x - 12 + 22 – x 10x + x - 6x = -12 + 22 - 20 5x = -30 5x/5 = -30/5 x = (-30)/5 = - 6  Verifica 10 [(-6) + 2] + 20 = 6 [(-6) - 2] + 22 - (-6) 10 (-6 + 2) + 20 = 6 (-6 - 2) + 22 + 6 10 (-4) + 20 = 6 (-8) + 22 + 6   -40 + 20 = - 48 + 22 + 6 -20 = -26 +6 -20 = - 20 verificata 

Equazione 2 4 (-3 – x) – 14 (x + 2) + 15 = - 15 – 8x Soluzione   -12 - 4x - 14x - 28 + 15 = - 15 - 8x 4x - 14x + 8x = - 15 + 12 + 28 - 15 -10x = + 10 -10x/(-10) = + 10/(-10) x = (-10)/(10) x = -1 Verifica 4 [-3 - (-1)] - 14 [(-1) + 2] + 15 = - 15 - 8(-1) 4 (-3 +1) - 14 (-1 + 2) + 15 = - 15 + 8 4 (-2) - 14 (1) + 15 = - 7 -8 - 14 + 15 = - 7 -7 = - 7 verificata 

Equazione 3 4 ∙ (x – 5)² = (2x – 10)² 0 = 0 Vediamo ora qualche esempio di risoluzione di un’equazione di I grado indeterminata: Equazione 3 4 ∙ (x – 5)² = (2x – 10)² Soluzione 4 ∙ (x – 5)² = (2x – 10)² 4 ∙(x² - 10x + 25) = 4x² - 40x + 100  4x² - 40x + 100 = 4x² - 40x + 100 identità verificata per qualsiasi valore attribuito alla x oppure riprendendo da    e applicando la regola dell’elisione si ottiene 0 = 0 quindi, anche in questo caso, indipendentemente dal valore attribuito all’incognita l’equazione è sempre verificata

Equazione 4 x – 1 + 5 ∙ (x – 3) + (-2)² = 6 ∙ (x – 2) Soluzione   Soluzione x – 1 + 5 ∙ (x – 3) + (-2)² = 6 ∙ (x – 2)   x – 1 + 5x – 15 + 4 = 6x – 12 x + 5x – 6x = -12 + 1 + 15 – 4   0 = 0 anche in questo caso l’equazione è soddisfatta indipendentemente dal valore attribuito alla x, cioè è soddisfatta da qualsiasi valore di x, dunque l’equazione è indeterminata

Esempio di risoluzione di un’equazione di I grado impossibile   Equazione 5 (5x – 2)² + (5x +2)² = 50 ∙ (x + 2) ∙ (x –2) Soluzione (5x – 2)² + (5x +2)² = 50 ∙ (x + 2) ∙ (x –2)   25x² – 20x + 4 + 25x² + 20x + 4 = 50 ∙ (x² - 4) 50x² + 8 = 50x² - 200   8 = - 200 risulta dunque che l’equazione non è mai soddisfatta indipendentemente dal valore attribuito alla x, cioè nessun valore dato alla x è soluzione dell’equazione. L’equazione è impossibile