Mondo sferico e mondo piano Progetto di Formazione e Ricerca “Oggetti, Forme, Misure” Mondo sferico e mondo piano Samuele Antonini Mirko Maracci Dipartimento di Matematica Università di Pavia Fermo, 27 febbraio 2014 1

Insegnamento della geometria nel I ciclo: quali traguardi? TRAGUARDI INFANZIA L’alunno esplora la realtà, riflette sulle proprie esperienze descrivendole, rappresentandole, riorganizzandole con diversi criteri ponendo le basi per l'elaborazione dei concetti scientifici e matematici. Gioca in modo costruttivo e creativo con gli altri, sa argomentare, confrontarsi, sostenere le proprie ragioni con adulti e bambini. 2

Insegnamento della geometria nel I ciclo: quali traguardi? TRAGUARDI PRIMARIA Riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’uomo Descrive, denomina e classifica figure in base a caratteristiche geometriche, ne determina misure, progetta e costruisce modelli concreti di vario tipo Costruisce ragionamenti formulando ipotesi, sostenendo le proprie idee e confrontandosi con il punto di vista di altri. Produce semplici modelli o rappresentazioni grafiche del proprio operato utilizzando elementi del disegno tecnico o strumenti multimediali. 3

Insegnamento della geometria nel I ciclo: quali traguardi? TRAGUARDI SECONDARIA 1° GRADO Riconosce e denomina le forme del piano e dello spazio, le loro rappresentazioni e ne coglie le relazioni tra gli elementi Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazioni e la loro coerenza. Rafforza un atteggiamento positivo rispetto alla matematica attraverso esperienze significative e ha capito come gli strumenti matematici appresi siano utili in molte situazioni per operare nella realtà. 4

Traguardi in sintesi Come raggiungere tali obiettivi? Sviluppare “significati geometrici” a partire da esperienze e oggetti concreti. Sviluppare abilità specifiche relative a forme di pensiero tipiche della geometria e della matematica. Sviluppare un “atteggiamento matematico”, far esperienza del lavoro del matematico. l’insegnamento della matematica a tutti i livelli scolari può e deve: giocare uno specifico ruolo nello sviluppo della capacità di operare e comunicare significati con linguaggi formalizzati e di utilizzare tali linguaggi per comunicare e costruire modelli di relazioni fra oggetti ed eventi contribuire a sviluppare la capacità di comunicare e discutere, argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri Come raggiungere tali obiettivi? Quali indicazioni dalle Indicazioni? Quali dalla ricerca in didattica? 5

L'importanza dell'esperienza senso-motoria Ipotesi didattiche e scelte metodologiche Come raggiungere tali obiettivi? Quali indicazioni dalle Indicazioni? Quali dalla ricerca in didattica? “La Geometria prende le mosse dall’esperienza spaziale, visiva e tattile, o anche motoria (noi ci muoviamo tra gli oggetti e li spostiamo)” (Speranza, 1988). Le esperienze di tipo senso-motorio sono fondamentali per la formazione di concetti anche astratti di matematica (Arzarello & Robutti, 2009; Gallese & Lakoff, 2005) L'importanza dell'esperienza senso-motoria l’insegnamento della matematica a tutti i livelli scolari può e deve: giocare uno specifico ruolo nello sviluppo della capacità di operare e comunicare significati con linguaggi formalizzati e di utilizzare tali linguaggi per comunicare e costruire modelli di relazioni fra oggetti ed eventi contribuire a sviluppare la capacità di comunicare e discutere, argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri 6

Ipotesi didattiche e scelte metodologiche Come raggiungere tali obiettivi? Quali indicazioni dalle Indicazioni? Quali dalla ricerca in didattica? L'uso di determinati strumenti da parte dell'alunno per risolvere problemi di matematica contribuisce a far sì che egli costruisca significati personali, potenzialmente “coerenti” con i significati matematici obiettivo dell'intervento didattico. (Bartolini Bussi & Mariotti, 2009) L'uso di strumenti l’insegnamento della matematica a tutti i livelli scolari può e deve: giocare uno specifico ruolo nello sviluppo della capacità di operare e comunicare significati con linguaggi formalizzati e di utilizzare tali linguaggi per comunicare e costruire modelli di relazioni fra oggetti ed eventi contribuire a sviluppare la capacità di comunicare e discutere, argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri strutturano l'azione dell'individuo, orientano la percezione. 7

L'interazione sociale e il ruolo dell'insegnante Ipotesi didattiche e scelte metodologiche Come raggiungere tali obiettivi? Quali indicazioni dalle Indicazioni? Quali dalla ricerca in didattica? L'interazione sociale e il ruolo dell'insegnante Non si può pensare che “gli allievi [pur] in una situazione ricca e stimolante possano ricostruire da soli la quantità e varietà di strumenti matematici messi a punto dall'umanità nel corso dei secoli” (Bartolini Bussi, Boni & Ferri, 1995) l’insegnamento della matematica a tutti i livelli scolari può e deve: giocare uno specifico ruolo nello sviluppo della capacità di operare e comunicare significati con linguaggi formalizzati e di utilizzare tali linguaggi per comunicare e costruire modelli di relazioni fra oggetti ed eventi contribuire a sviluppare la capacità di comunicare e discutere, argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri 8

L'interazione sociale e il ruolo dell'insegnante Ipotesi didattiche e scelte metodologiche Come raggiungere tali obiettivi? Quali indicazioni dalle Indicazioni? Quali dalla ricerca in didattica? Organizza situazione problematica, gli strumenti, le modalità di interazione Favorisce l’esplicitazione dei sensi personali, la verbalizzazione Guida l’evoluzione di questi verso i significati matematici L'interazione sociale e il ruolo dell'insegnante l’insegnamento della matematica a tutti i livelli scolari può e deve: giocare uno specifico ruolo nello sviluppo della capacità di operare e comunicare significati con linguaggi formalizzati e di utilizzare tali linguaggi per comunicare e costruire modelli di relazioni fra oggetti ed eventi contribuire a sviluppare la capacità di comunicare e discutere, argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri 9

Ipotesi didattiche e scelte metodologiche Come raggiungere tali obiettivi? L'importanza dell'esperienza senso-motoria L'uso di strumenti L'interazione sociale e il ruolo dell'insegnante Laboratorio matematico l’insegnamento della matematica a tutti i livelli scolari può e deve: giocare uno specifico ruolo nello sviluppo della capacità di operare e comunicare significati con linguaggi formalizzati e di utilizzare tali linguaggi per comunicare e costruire modelli di relazioni fra oggetti ed eventi contribuire a sviluppare la capacità di comunicare e discutere, argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri “come momento in cui l’alunno è attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara a raccogliere dati, negozia e costruisce significati, porta a conclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione delle conoscenze personali e collettive” 10

Disegnate un quadrato su un pallone Un piccolo “esperimento” Consegna: Disegnate un quadrato su un pallone

Disegnare un quadrato Quadrato: un oggetto geometrico il cui significato è stabilito nell'ambito di una teoria, la geometria, che coglie e formalizza alcuni aspetti delle relazioni spaziali che l'individuo riconosce ed esperisce nella sua interazione con l'ambiente circostante. Disegno di un quadrato: un sistema di tratti grafici organizzati spazialmente che rappresenta l'oggetto geometrico teorico “quadrato” Il disegno è costituito da tratti grafici organizzati in relazioni spaziali che sono quelle formalizzate nel concetto geometrico che il disegno vuol rappresentare.

Disegnare un quadrato Cosa è un quadrato? Un quadrilatero con 4 assi di simmetria Un quadrilatero con le diagonali uguali, perpendicolari che si bisecano tra loro Un quadrilatero che ha tutti e quattro gli angoli retti e tutti e quattro i lati uguali Per decidere se un disegno è una buona rappresentazione di un quadrato dovrei bilanciare la valutazione di: il mio disegno assomiglia a quel diagramma? Il mio disegno rappresenta adeguatamente tutte le proprietà che definiscono il quadrato? Nel piano i due aspetti “coincidono” (per la rappresentazione di oggetti solidi non è così), ma nella sfera? Figura piana quadrangolare con quattro lati e quattro angoli uguali Un quadrilatero regolare

In che senso quelli tracciati possono considerarsi “lati”? Un quadrato! Dove? In che misura possiamo dire che il quadrilatero disegnato sulla sfera ha i lati uguali e gli angoli uguali? In che senso quelli tracciati possono considerarsi “lati”? In che misura possiamo dire che il quadrato disegnato sul pallone ha i lati uguali e gli angoli retti? Quelli rappresentati possono dirsi quadrati? Direi di no, eppure hanno “lati” e “angoli” uguali. Cosa manca? Il fatto che lati e angoli devono essere rettilinei. I “lati” devono essere rettilinei, segmenti, porzioni di linee rette, dritti

E’ possibile andare dritti su una sfera? Torniamo al piano. Cosa vuol dire andare drittto? Quali esperienze/idee sono collegate all'andare dritto? Dipende……….. …da cosa significa “andare dritti” 15

Breve analisi dell’ “andare dritto” Proprietà dell’andare dritto: Minima lunghezza Simmetria Allineamento Decidiamo di considerare queste proprietà come caratterizzanti delle “linee dritte” su una superficie, anche non piana 16

“The geodesic lines, or geodesics, of a surface are a generalization of the straight lines of the plane. Like the straight lines, they are endowed with several important properties distinguishing them from all other curves on the surface. Hence they may be defined in various ways […] as shortest lines, as frontal lines, and as straightest lines.” “Le linee geodetiche di una superficie sono una generalizzazione delle rette nel piano. Come le rette, esse possiedono parecchie proprietà importanti che le distinguono dalle altre curve tracciate sulla superficie; perciò esse possono essere definite in diversi modi […] come le linee più brevi, le linee frontali, le linee più rette possibili.” (Hilbert e Cohn-Vossen, 1932/2001, p. 286/7, corsivo originale) 17

Breve analisi dell’ “andare dritto” Alla ricerca di strumenti che possono essere collegati a queste proprietà. Proprietà dell’andare dritto: Minima lunghezza Analisi teorica: Definizioni, teoremi, sistemazione in una teoria matematica Via sperimentale: ricerca di linee (simmetriche, di minima lunghezza, con proprietà dell’allineamento) con l’uso di opportuni strumenti Simmetria Allineamento Decidiamo di considerare queste proprietà come caratterizzanti delle “linee dritte” su una superficie, anche non piana 18

Gli strumenti dell’”andare dritto” Minima lunghezza Spago, elastici….. Simmetria Nastro di carta, righe flessibili… Allineamento Oggetti da allineare (birilli, coni da palestra, alberelli di carta, …) Si tratta di strumenti di cui conosciamo il comportamento sul piano. Cosa succede sulla sfera? 19

La retta sferica “Definizione”: chiamiamo rette sferiche quelle linee sulla sfera che soddisfano tre proprietà (minima lunghezza, simmetria, allineamento) dell’andare dritti; in altri termini sono linee sulle quali gli strumenti utilizzati si comportano come nel caso delle rette piane Proprietà geometrica: una retta sferica è una circonferenza di raggio massimo E in classe? Definizione: una retta sferica è una circonferenza di raggio massimo Perché chiamarla “retta sferica” e non semplicemente “retta”? 20

Il progetto PLS: alcuni dati Anni scolastici 2012/2013 e 2013/2014 4 istituti 6 insegnanti 4 classi III 4 classi IV 2 classi V 158 alunni 2 docenti universitari 21

(o meglio: LE attività didattiche) L’attività didattica (o meglio: LE attività didattiche) 10 incontri con gli insegnanti: condivisione di obiettivi e della metodologia attività diverse nelle diverse classi 22

(o meglio: LE attività didattiche) L’attività didattica (o meglio: LE attività didattiche) 10 incontri con gli insegnanti: condivisione di obiettivi e della metodologia attività diverse nelle diverse classi Cosa significa “andare dritti” (sul piano): esperienze senso-motorie Uso di strumenti di controllo e tracciatura di linee piane Si può andare dritti sulla sfera? Uso degli strumenti sulla sfera 23

Sfera Piano 24 24

Sfera Piano 25 25

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L’attività didattica Andare dritti sul piano 27

L’attività didattica Andare dritti sul piano 28

L’attività didattica Andare dritti sul piano 29 29

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L’attività didattica Andare dritti sulla lavagna 31

L’attività didattica Andare dritti sulla lavagna 32

L’attività didattica Andare dritti sulla sfera 33

L’attività didattica Andare dritti sulla sfera 34

L’attività didattica Andare dritti sulla sfera 35

Torniamo al quadrato E’ possibile disegnare un quadrato (un rettangolo, un triangolo) sulla sfera? Domande correlate: Cosa è un quadrato (un rettangolo, un triangolo)? Cosa è un segmento sferico? e le rette sferiche parallele? perpendicolari? 36

Segmento e semiretta sferica Diverse possibilità… Rette sferiche parallele Non esistono rette sferiche parallele. Due rette sferiche distinte si incontrano sempre in due punti Rette sferiche perpendicolari Esistono rette sferiche perpendicolari. In particolare ha senso parlare di angoli retti 37

Cos’è un quadrato? Proprietà del quadrato (piano): 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… Esiste sulla sfera? Teoria: geometria sferica Procedure per disegnare un quadrato 38

Cos’è un quadrato? Proprietà del quadrato (piano): Procedure per disegnare un quadrato 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… A partire da un lato, tracciando un lato uguale e perpendicolare, e così via. Problema sulla sfera 39

Cos’è un quadrato? Proprietà del quadrato (piano): Procedure per disegnare un quadrato 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… A partire da diagonali uguali, perpendicolari e tali che si bisechino nei punti medi. Sulla sfera? 40

Piano Sfera Cos’è successo? 4 lati uguali 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… Sfera Contraddizione !!! Non esistono quadrilateri con quattro angoli retti, non esistono rette parallele, ….. 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… 41

Piano Sfera Cos’è successo? 4 lati uguali 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… Sfera 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… 42

Piano Sfera Cos’è successo? 4 lati uguali 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… Sfera 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… 4 lati uguali Lati a 2 a 2 paralleli 4 angoli uguali 4 angoli retti Diagonali uguali e perpendicolari Diagonali si incontrano nei punti medi …………… 43

Il percorso didattico Idea centrale: Esplorazione diretta di modelli concreti di geometria piana e di geometria sferica, mediata dall’uso di specifici strumenti. Un oggetto o un sistema di oggetti che possono rappresentare agli occhi di un “esperto” enti geometrici astratti e alcune loro relazioni. Agli occhi degli alunni si tratta “solo” di oggetti che possono essere manipolati, descritti, ecc. Agli occhi degli alunni coinvolti nella nostra sperimentazione quel che noi chiamiamo modello è un insieme di oggetti che possono essere maneggiati, manipolati, descritti, ecc. che non rappresenta enti astratti. È proprio a partire da questa esperienza che gli alunni possono costruire il significato degli enti geometrici e delle loro relazioni rappresentati appunto dal modello. 44

Il percorso didattico Idea centrale: Esplorazione diretta di modelli concreti di geometria piana e di geometria sferica, mediata dall’uso di specifici strumenti. Strumenti che possono evocare agli occhi di un “esperto” proprietà e relazioni geometriche. CANCELLARE? L'uso di strumenti contribuisce alla costruzione di significati personali potenzialmente “coerenti” con i significati matematici obiettivo. 45

Perché la geometria della sfera? osservare, individuare e descrivere regolarità; produrre congetture, testarle, validare le congetture prodotte; … Modello concreto di geometria della sfera Significati di geometria della sfera Costruzione di… Geometria del piano (esperienze personali & significati istituzionali) 46

Perché la geometria della sfera? osservare, individuare e descrivere regolarità; produrre congetture, testarle, validare le congetture prodotte; … Modello concreto di geometria della sfera Significati di geometria della sfera Costruzione di… Rielaborazione dei significati di geometria piana: In relazione alle esperienze senso-motorie alla base In relazione tra loro Geometria del piano (esperienze personali & significati istituzionali) 47

Grazie per l’attenzione 48

Bibliografia Arzarello F., e Robutti, O. (2009). Embodiment e multimodalità nell’apprendimento della matematica. L'Insegnamento della matematica e delle scienze integrate, pp. 243-268. Bartolini-Bussi M.G., Boni M. e Ferri M. (1995). Interazione sociale e conoscenza a scuola: la discussione matematica. Modena: CDE. http://istruzione.comune.modena.it/memo/allegati/interazione_sociale_e _conoscenza_a_scuola.pdf Bartolini-Bussi, M.G. e Mariotti M.A. (2009). Mediazione semiotica nella didattica della matematica: artefatti e segni nella tradizione di Vygotskij. L'Insegnamento della matematica e delle scienze integrate, Vol. 32 A-B 270-294 Gallese, V., & Lakoff, G. (2005).The brain’s concepts: the role of the sensory-motor system in conceptual knowledge. Cognitive Neuropsychology, 21, 1–25. Hilbert D., e Cohn-Vossen, S. (2001). Geometria intuitiva, Bollati Boringhieri Editore. (Originale pubblicato nel 1932). MIUR, (2012). Indicazioni nazionali per il curricolo della scuola dell’infanzia e del primo ciclo d’istruzione. Roma, Italia: MIUR. Speranza F. (1988). Salviamo la geometria! La matematica e la sua didattica, 3, pp.6-14