MUTAZIONE: cambio di un bit Viene effettuata con bassa frequenza, ad es. 1bit ogni 1000 Ha la funzione di recupero di eventuali perdite di informazione

SCHEMI Indichiamo uno schema con la lettera H Esempi: *111* 0*1** *indica un carattere indeterminato Il numero di schemi possibili, nel caso di alfabeto binario, è 3 l, dove l è la lunghezza della stringa Il numero di schemi possibili, nel caso di alfabeto di cardinalità K, è (K+1) l Ordine O(H) dello schema H è il numero di posizioni determinate dello schema. Lunghezza  (H) dello schema H è la distanza tra la prima e l’ultima posizione determinata dello schema.

Riproduzione A i stringa (individuo) n=numero totale di stringhe (popolazione) f i =fitness di A i t=tempo (ciclo dell’iterazione) Probabilità di riproduzione di A i : Probabilità di riprodurre un individuo appartenente allo schema H: è una sommatoria estesa ai soli individui appartenenti allo schema H

Indicando con m(H,t) il numero di individui appartenenti allo schema H, e con f(H,t) la loro fitness media, ovvero: da cui deriva: si potrà scrivere:

Poiché la popolazione rimane costante nel tempo, la scelta di un individuo per la riproduzione viene effettuato n volte. Indicando con m(H,t+1) il numero di individui appartenenti allo schema H al ciclo t+1, si avrà mediamente: Indicando con la fitness media della popolazione al tempo t: si ricava infine:

Esemplificazione per capire l’andamento nel tempo del numero degli individui appartenenti ai vari schemi. Si può scrivere: da cui: Nell’ipotesi (molto estrema) di fattore c costante nel tempo (nei vari cicli), si ottiene che la popolazione al tempo t è data, in funzione di quella iniziale (al tempo 0) dalla relazione: Il che significa che se c è negativo (fitness media dello schema minore della fitness media della popolazione), si ha un decremento esponenziale del numero di individui appartenenti a quello schema, mentre se c è positivo si ha un incremento esponenziale.

Crossing over Esempio di taglio in un individuo appartenente al seguente schema:  (H) = = 5 Probabilità (data per eccesso) di distruzione p d dello schema H: Se p c è la probabilità con cui viene effettuato il crossing over : Probabilità di sopravvivenza p s dello schema H : Tenuto conto anche del crossing over, la valutazione (per difetto) della popolazione diviene:

Mutazione Probabilità che una posizione venga mutata : p m Probabilità che una posizione rimanga immutata : 1 - p m Probabilità che un individuo, dopo le mutazioni, continui ad appartenere allo schema H : Se p m << 1, si può scrivere: Tenendo conto anche della mutazione, si ottiene infine il teorema degli schemi o teorema fondamentale degli algoritmi genetici: Notare che nel prodotto del fattore crossing over con quello della mutazione, è stato trascurato, poiché piccolo, il termine:

Sono detti schemi in competizione, quelli con le stesse caratteristiche “geometriche”, ovvero con fattore uguale; la variazione nel tempo delle rispettive popolazioni dipenderà dalla loro fitness media. Indicando 2 schemi in competizione con a e b, e una loro generica posizione con il pedice i, sono caratterizzati dalle due alternative: a i = b i = * a i ≠ *, b i ≠ * con a i ≠ b i in almeno una posizione i esempio : * 0 0 * * 0 1 * * 1 0 * * 1 1 * Il numero di schemi in competizione in un gruppo è dato da 2 o(H) Il numero di gruppi diversi di schemi in competizione con lo stesso ordine o(H) è dato da : dove l è la lunghezza della stringa Il numero totale di gruppi diversi di schemi è dato da : 2 l

Efficienza dell’algoritmo genetico Il numero degli schemi processati può essere valutato come proporzionale a n 3, per una popolazione di n individui rappresentati con alfabeto binario. Questa caratteristica, per cui con operazioni su n individui si esaminano e sottopongono a evoluzione un numero proporzionale a n 3 schemi, è detta parallelismo implicito. Dal teorema fondamentale degli algoritmi genetici: si desume l’altra caratteristica degli algoritmi genetici, ovvero che sono efficienti quando le soluzioni ottimali del problema sono ottenibili assemblando degli schemi corti, ovvero con  (H) piccolo. Questa caratteristica è detta building block hypothesis.

Linee guida nella codificazione del problema 1) Schemi corti e poco correlati con altri schemi che hanno bit definiti lontani nella stringa, devono essere rilevanti nella soluzione del problema. 2) L’alfabeto usato deve avere bassa cardinalità (possibilmente binario). Si dimostra che con alfabeto binario si ha un numero di schemi possibili maggiore che con qualsiasi altra cardinalità. Poiché il numero di punti dello spazio in cui rappresentiamo il problema è lo stesso: numero di schemi possibili: cardinalità 2cardinalità K facendo il lg 2 del numero degli schemi possibili: e dividendo per l, si ottiene: ma si ha che per K>2

Tests di De Jong

Criteri di valutazione dell’algoritmo genetico On-line performance: dove l è l’ambiente (il problema), s la strategia (il particolare algoritmo genetico adottato), t è il ciclo, T il numero totale di cicli effettuati, f(t) è il valore migliore della funzione di valutazione al ciclo t. Off-line performance: dove f*(t) è il valore migliore della funzione di valutazione al ciclo t, tra tutte le esecuzioni effettuate.

Valutazioni generali sui parametri dell’algoritmo genetico semplice Popolazione n n grande: migliore off-line performance n piccolo: migliore on-line performance Probabilità di crossing over p c : Probabilità di mutazione p m : p m elevato recupera i bit persi, ma diminuisce la performance (p m =.5 coincide con ricerca casuale) Sovrapposizione della popolazione G: G = 1 per ottimizzazioni statiche; G < 1 per macchina che apprende

Alcune varianti dell’algoritmo genetico semplice Scalatura della funzione di valutazione:dove f è la funzione originaria Fattore di affollamento CF: il nuovo individuo generato sostituisce il più simile scelto in un gruppo di CF individui della vecchia popolazione. a e b sono determinati in modo che soddisfino le condizioni: Risolvendo: denominatore:

numeratore per trovare a: numeratore per trovare b:

Possibile situazione iniziale

Possibile situazione finale

NICCHIA e condivisione tra gli individui delle risorse della nicchia

Funzione di “sharing” Siano dati due individui x i e x j, si definisce una distanza d(x i, x j ), tale che: d(x i, x j ) d(x i, x i ) = 0 valore minimo quando i 2 individui sono = d(x i, x j ) = 1 valore massimo per i 2 individui più differenti in tutta la popolazione Si definisce una funzione di sharing s[d(x i, x j )], che segue la seguente legge: La funzione di valutazione f s, viene ottenuta dalla funzione originaria f modificata tramite la funzione di sharing: dove n è la popolazione

Capacità adattativa degli algoritmi genetici Si intende la capacità di adattarsi a trovare soluzioni ad un problema che cambia nel tempo Viene incrementata con i seguenti accorgimenti: 1) mantenimento di soluzioni di precedenti cicli: a) fattore di affollamento CF, che diversifica le soluzioni b) G < 1, che mantiene individui dei cicli precedenti 2) inserire la capacità di evoluzione nello stesso algoritmo, introducendo nella stringa dell’individuo i parametri di controllo p c, p m, G, che quindi possono essere modificati nel tempo

Applicazioni nell’ambito di strutture molecolari Interpretazione di cromatogrammi complessi Interpretazione di spettri NIR Docking di complessi supramolecolari Generazione di strutture che rispettino i dati NMR Ottimizzazione della conformazione di catene laterali di proteine globulari Previsione delle modificazioni strutturali a seguito di sostituzione di catene laterali (mutazione) in proteine (ingegneria genetica) Tentativi di previsione di struttura terziaria in proteine, a partire dalla conoscenza della sequenza primaria