Metodo numerico di Eulero Il suo genio non ha uguali né simili “Eulero calcolava senza sforzo apparente proprio come gli uomini respirano e le aquile volano nel vento”. Francois Arago Metodo numerico di Eulero Prof. Messina

Lo studio di un sistema si riconduce quasi sempre allo studio di una equazione differenziale. L’equazione differenziale stabilisce una relazione tra la variabile indipendente t, la funzione incognita y(t) e le sue derivate.

Risolvere una equazione differenziale del 1°ordine data nella forma : derivata della funzione incognita Ingresso del sistema Uscita del sistema funzione incognita Significa trovare la funzione u(t) che sostituita nell’equazione rende uguale a vin(t) l’espressione a sinistra del segno di uguaglianza, qualunque sia il valore di t. Costante di tempo

Il metodo più semplice per risolvere una equazione differenziale di 1° ordine è il metodo di Eulero. Questo metodo consente di sostituire l’equazione differenziale con una equazione di differenze finite in un determinato intervallo di tempo.

Con tale metodo si può affermare che il valore della derivata calcolato in un punto è approssimativamente uguale al valore del rapporto incrementale quando l’intervallo di tempo Dt è piccolo e finito. Per cui e Dove u i è il valore dell’uscita nell’istante generico (i) e u i+1 il valore per l’istante successivo. Intervallo in corrispondenza del quale si vuole calcolare il valore approssimato della la funzione incognita Numero di parti con cui si vuole dividere l’intervallo considerato Il numero di istanti di tempo in cui si valuta il valore dell’uscita

u(t) u1 u0 t t0 t1 t2 t3 t4 Come detto: Con il metodo di Eulero si può affermare che il valore della derivata calcolato in un punto è approssimativamente uguale al valore del rapporto incrementale quando l’intervallo di tempo Dt è piccolo e finito. Se i=0 allora: ti = t0 t0 + Dt = t1 t1 + Dt = t2 t2 + Dt = t3 t3 + Dt = t4 u(t) P1 Du P0 Dt u1 u0 t t0 t1 t2 t3 t4

Sostituiamo ora nella equazione differenziale originaria il simbolo della derivata con quello delle differenze finite. Originaria Differenze finite Si sceglie il passo Dt - normalmente circa 10 volte minore della costante di tempo t . Il numero di istanti di tempo in cui si valuta il valore dell’uscita è dato da: Dove tf è l’istante finale e t0 l’istante iniziale

Si sostituisce a Du Dove: ui è il valore dell’uscita nell’istante generico (i) ui+1 l’istante successivo ui sarà u0 E se consideriamo i = 0 u i+1 sarà u1 Si ottiene quindi:

Da cui Valore di ingresso Intervallo di tempo Detto anche “Passo” Uscita istante successivo Uscita istante precedente Costante di tempo

Ora si può stilare una tabella, con Excel, nella quale si calcolano i valori dell’ uscita del sistema per gli istanti di tempo definiti in base alle condizioni iniziali. Supponiamo di voler studiare un sistema con t = 50s e Vi = 10 nell’intervallo di tempo 0-100s e di aver scelto come passo Dt = 5s si ottiene un numero di istanti di tempo pari a : Nella prima colonna inseriamo il valore del pedice (i), nella seconda colonna gli istanti di tempo in cui si vuole studiare l’uscita u(t) con Passo 5s e nella terza colonna si inserisce la formula dalla quale si ottiene il valore della u(t) nel corrispondente istante. = = 1 La formula viene inserita nella cella C3 e poi trascinata fino alla cella C21 A B C 1 i t u(t) 2 3 5 4 10 1,9 21 20 …

Una volta ottenuti tutti i valori assunti dall’uscita del sistema nell’intervallo specificato 0 – 100s possiamo tracciare i grafici relativi alla risposta del sistema in funzione del tempo e analizzarne il risultato. CARICA DI UN CONDENSATORE 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 100 200 300 400 t[s] vc[v]