L’apprendimento come attività costruttiva e implicazioni PAS A059 Rosetta Zan Dipartimento di Matematica, Università di Pisa zan@dm.unipi.it L’apprendimento come attività costruttiva e implicazioni PAS A059 Incontro 29 aprile 2014

Perché l’interpretazione sia un’ipotesi di lavoro: Deve dirigere, e non bloccare, l’intervento Esempio: ‘non è in grado’ Deve essere puntuale, e non generica Esempi: ‘Non si impegna’ ‘Non ha le basi’ ‘Non capisce’ ‘Non ha metodo di studio’

funziona / non funziona l’interpretazione giusta / sbagliata è un’ipotesi di lavoro funziona / non funziona importanza per l’insegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili

L’apprendimento come attività costruttiva importanza per l’insegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili

 visione ‘tradizionale’: il contenitore vuoto da riempire…  l’apprendimento come attività costruttiva ...la conoscenza è in gran parte costruita dal discente  l’individuo è soggetto attivo che interpreta l’esperienza  costruisce convinzioni mondo degli oggetti fisici mondo degli organismi viventi mondo degli esseri umani  teorie

Prevedere il moto della pallina all’uscita del tubo Anche studenti di fisica rispondono così:

Ricerche classiche Processi decisionali Kahneman & Tversky Fisica ingenua Processi decisionali: Kahneman, Tversky, Shafir Voss Perkins Fisica ‘ingenua’: McCloskey, DiSessa Per approfondire: Howard Gardner, Educare al comprendere, 1993 Piattelli Palmarini, L’illusione di sapere, 1993 Graziano Cavallini, La formazione dei concetti scientifici, 1995

Linda ha 31 anni. E’ nubile, schietta e molto brillante Linda ha 31 anni. E’ nubile, schietta e molto brillante. Ha una laurea in filosofia. Da studentessa si interessava molto ai problemi di discriminazione razziale e di ingiustizia sociale, e prendeva parte attiva alle dimostrazioni anti-nucleari. a) Linda insegna in una scuola elementare b) Linda lavora in una libreria e prende lezioni di yoga c) Linda è attiva nel movimento femminista d) Linda è un’assistente sociale e) Linda è membro della Organizzazione Elettorale Femminile f) Linda lavora in una banca g) Linda è un agente assicurativo h) Linda lavora in una banca ed è attiva nel movimento femminista

Alcune implicazioni generali 1. Il ruolo del contesto

Problema: La figura mostra un tubo metallico curvo visto dall’alto. Una sfera metallica è inserita alla fine del tubo indicato dalla freccia ed è spinta dall’altra parte del tubo ad alta velocità. Il punto in cui fuoriesce la sfera ha coordinate (2,-2) (la misura è in metri). La sfera esce nella direzione del vettore 3 i + 4 j con una velocità iniziale di 500 m/sec. Dare le coordinate della sfera un secondo dopo l’uscita dal tubo.

Alcune implicazioni generali 1. Il ruolo del contesto 2. Il ruolo dell’errore

1. Popper ‘Evitare errori è un ideale meschino: se non osiamo affrontare problemi che siano così difficili da rendere l’errore quasi inevitabile, non vi sarà allora sviluppo della conoscenza. In effetti, è dalle nostre teorie più ardite, incluse quelle che sono erronee, che noi impariamo di più. Nessuno può evitare di fare errori; la cosa più grande è imparare da essi.‘

2. Bachelard Quando si ricercano le condizioni psicologiche dei progressi della scienza, ci si convince ben presto che è in termini di ostacoli che bisogna porre il problema della conoscenza scientifica. (…) Tornando su un passato di errori, la verità la si trova in un vero e proprio pentimento intellettuale. Si conosce, infatti, contro una conoscenza anteriore, distruggendo conoscenze mal fatte, superando quello che nello spirito stesso fa da ostacolo alla spiritualizzazione.

3. F. Enriques ‘Il Maestro sa che la comprensione degli errori dei suoi allievi è la cosa più importante della sua arte didattica. Egli impara presto a distinguere gli errori significativi da quelli, che non sono propriamente errori - affermazioni gratuite di sfacciati che cercano di indovinare - dove manca lo sforzo del pensiero, della cui adeguatezza si vorrebbe giudicare. E degli errori propriamente detti, che talora sono in rapporto con manchevolezze delle singole menti, ma nei casi più caratteristici si presentano come tappe del pensiero nella ricerca delle verità, il maestro sa valutare il significato educativo: sono esperienze didattiche che egli persegue, incoraggiando l'allievo a scoprire da sé la difficoltà che si oppone al retto giudizio, e perciò anche ad errare per imparare a correggersi’

4. Turing Anche il matematico umano prende qualche cantonata quando sperimenta nuove tecniche. E’ facile per noi considerare queste sviste come non rilevanti e dare al ricercatore un’altra possibilità, ma alla macchina non viene riservata alcuna pietà. In altre parole, se si aspetta che la macchina sia infallibile, allora essa non può anche essere intelligente.’

5. Krygowska Questa accortezza didattica [n.d.r.: il blocco delle occasioni di errore] consiste nella scelta, da parte del professore abile, delle difficoltà che l’allievo incontrerà sulle vie del ragionamento in modo che l’ occasione di commettere errori sia minima. Certi manuali e certe raccolte ci offrono esempi al riguardo. Gli esercizi sono raggruppati sistematicamente, dopo che alcuni sono presentati come esempio, le istruzioni sono talmente suggestive che è difficile, anche a un alunno che capisca poco, di commettere un errore.

[Krygowska] Un simile blocco degli errori non dà risultati positivi che apparentemente. Quello che è oscuro nel cervello dell’alunno rimane oscuro benché il segnale «errore» non si accenda. Questo modo di procedere dà delle illusioni ai professori e agli alunni e il primo passo sulla via del verbalismo è compiuto, l’abolizione delle difficoltà non essendo equivalente alla vittoria riportata sopra di esse.’

6. Gardner ‘Insegnanti e studenti (...) non sono disposti ad assumersi i rischi del comprendere e si accontentano dei più sicuri “compromessi delle risposte corrette”. In virtù di tali compromessi, insegnanti e studenti considerano che l’educazione abbia avuto successo quando gli studenti sono in grado di fornire le risposte accettate come corrette.’

7. Alla maniera di Postman e Weingartner… Gillupsie: E lei, dottor Bluffing, cosa mi racconta? Bluffing: Tutto a posto, dottor Gillupsie. I miei pazienti sono stati dimessi. Gillupsie: Ottimo, Bluffing. Anche quel paziente della 302 che aveva quel febbrone inspiegabile? Bluffing: Anche lui, dottor Gillupsie: ora è a casa. Gillupsie: E come ha fatto a fargli calare la temperatura? Ci abbiamo provato in tutti i modi e non c’era riuscito di farla andare sotto i 38°! Quale metodo ha trovato? Cosa gli ha dato?

Bluffing: Beh, dottor Gillupsie, la temperatura in sé non è calata… ma abbiamo stabilito, naturalmente dopo aver consultato diversi articoli scientifici, che d’ora in poi la febbre è sopra i 39°. Ufficialmente quindi possiamo dichiarare che il paziente 302 non è proprio malato! E quindi l’abbiamo rassicurato e dimesso. Gillupsie: Geniale, dottor Bluffing! [rivolto agli altri dottori] Imparate da Bluffing, ragazzi! [di nuovo rivolto a Bluffing] E mi dica, John, quel paziente che aveva le analisi del sangue così sballate? Quei valori così alti di insulina? Bluffing: Anche quello dimesso, capo. Guarito!

Gillupsie: Eccezionale, Bluffing Gillupsie: Eccezionale, Bluffing! Fossero tutti così al Blear Hospital, le nostre azioni salirebbero alle stelle! Ma mi dica, quale cura ha funzionato per abbassare l’insulina? Bluffing:In realtà le abbiamo provate tutte senza successo, capo. Gillupsie: E allora, Bluffing? Come mai l’ha dimesso? Bluffing: Beh, capo, ho pensato che visto che con l’insulina non se ne veniva a capo, era meglio fargli l’analisi dei globuli bianchi. E quella era proprio perfetta, capo! Da dimissione immediata. E avesse visto come era contento anche il paziente! Gillupsie: [serio] Lo so, Bluffing… La serenità dei pazienti è davvero importante! E fortunatamente qui al Blear ci sono medici come lei che se ne preoccupano…

L’errore come risorsa didattica (Raffaella Borasi)

Esempio - Ci sono altre operazioni fra frazioni in cui numeratore e denominatore sono combinati separatamente? - Ci sono dei casi (cioè scelte particolari degli interi a, b, c, d) in cui l'algoritmo corretto e quello descritto sopra portano allo stesso risultato? - Ci sono delle situazioni di vita reale che possono essere descritte da quel modo di sommare, piuttosto che dall'algoritmo corretto per la somma di frazioni?

I QUESTIONARI PRIMA / DOPO

Il questionario prima / dopo... non è un test d’ingresso ma uno strumento di lavoro: per lo studente per l’insegnante prima della lezione, conosce le convinzioni degli studenti dopo la lezione, ne controlla gli effetti può correggere il tiro riconosce i (piccoli) progressi ha il senso del lavoro fatto prende consapevolezza delle proprie conoscenze dirige in modo consapevole l’attenzione durante lo studio o la lezione riconosce i (piccoli) progressi dopo aver studiato, ha il senso del lavoro fatto

L’apprendimento come attività costruttiva Misconcetti e modelli primitivi Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano Razionalità matematica e altre forme di razionalità Convinzioni, atteggiamenti, emozioni importanza per l’insegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili

Da L’insegnamento come attività sovversiva, di N. Postman e C Da L’insegnamento come attività sovversiva, di N. Postman e C. Weingartner

Il dottor Gillupsie ha chiamato molti dei suoi chirurghi interni del Blear General Hospital. Essi stanno per cominciare la loro relazione settimanale sulle varie operazioni compiute negli ultimi quattro giorni. Dopo aver ascoltato i chirurghi più anziani, Gillupsie si rivolge al dottor Carstairs. Gillupsie: E lei, Carstairs, come le vanno le cose? Carstairs: Temo di essere stato sfortunato, dottor Gillupsie. Niente operazioni questa settimana, ma solo tre pazienti morti.

Gillupsie: Bene; dovremmo parlarne un po’, non le pare Gillupsie: Bene; dovremmo parlarne un po’, non le pare? Di che cosa sono morti? Carstairs: Non lo so con certezza, dottor Gillupsie, ma comunque ho dato a ciascuno di loro un bel po’ di penicillina. Gillupsie: Ah! Il sistema tradizionale della cura “buona di per se stessa”, eh, Carstairs? Carstairs: Beh, non esattamente, capo. Pensavo solo che la penicillina li avrebbe fatti stare meglio. Gillupsie: Per che cosa li stava curando? Carstairs: Insomma, stavano proprio male, capo, e io so che la penicillina fa star meglio gli ammalati. Gillupsie: Certamente, Carstairs. Penso che lei abbia fatto bene.

Al suo posto non mi preoccuperei troppo, Carstairs. Carstairs: E i morti, capo? Gillupsie: Cattivi, figlio mio, cattivi pazienti. E non c’è niente che possa fare un buon dottore quando si trova di fronte dei cattivi pazienti. E nessuna medicina può farci nulla, Carstairs. Carstairs: Eppure mi è rimasta ancora la seccante impressione che forse non avevano bisogno di penicillina, che servisse qualcos’altro. Gillupsie: Sciocchezze! La penicillina non fa mai cilecca su dei buoni pazienti. Lo sanno tutti. Al suo posto non mi preoccuperei troppo, Carstairs.

L’apprendimento come attività costruttiva Misconcetti e modelli primitivi importanza per l’insegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili

In contesto scolastico ALLIEVO INSEGNANTE MATEMATICA L’allievo: interpreta i messaggi dell’insegnante alla luce delle proprie conoscenze, convinzioni, esperienze…  interpretazione ‘distorta’ MISCONCETTI

L’allievo interpreta... dà loro un ‘senso’  misconcetti procedure termini simboli proprietà concetti dà loro un ‘senso’  misconcetti

L’allievo interpreta…procedure Errori sistematici. Molti allievi sbagliano… ...non perché applicano in modo scorretto procedure corrette Ma perché applicano (in modo corretto) procedure scorrette!

Scena 1: Johnnie 437 – 284 = 437- 284= 253 L’insegnante: “Hai dimenticato di sottrarre 1 da 4 nella colonna delle centinaia!”

L’allievo interpreta… termini / simboli  spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale …

Le altezze di un triangolo MODELLO PRIMITIVO B C A B INFLUENZA DEL LINGUAGGIO l’altezza di una persona …di una casa …di un ponte C

L’allievo interpreta… termini / simboli  spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale …

L’allievo interpreta… termini / simboli  spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale …

Scena 6: Marco Deve moltiplicare x + 1 per x +2: x + 1  (x+2) = = x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2

L’allievo interpreta… termini / simboli  spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale …

L’allievo interpreta… termini / simboli  spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale …

Il segno di uguale “In un bosco vengono piantati 425 alberi nuovi. Qualche anno dopo, vengono abbattuti i 217 alberi più vecchi. Nel bosco ci sono quindi 1063 alberi. Quanti alberi c’erano prima che venissero piantati quelli nuovi?” 1063 + 217 = 1280 – 425 = 855 “4 + 5 = 3 + 6” ‘dopo il segno “=” ci dev’essere la risposta, e non un altro problema!’ “4 + 5 = 9” e “3 + 6 = 9”.

Il segno di uguale 30-10 = 20+31 = 51+31 = 82+15 = 97 Problema: Quanti giorni di vacanza abbiamo avuto quest’estate? 30-10 = 20+31 = 51+31 = 82+15 = 97 giugno luglio agosto settembre "Secondo te questo calcolo fatto da due bambini di terza è giusto?"

Una discussione in classe CHE COSA SIGNIFICA IL SEGNO "=" IN MATEMATICA? INS: Cosa vuol dire "essere uguale a" , quel segno lì in matematica che significa? ILA: Vuol dire che viene il risultato.

LUI: Tu per fare l'uguale devi fare prima l'operazione e poi devi fare l'uguale, così ti viene fuori il risultato. GIO: Uguale significa avere un risultato in un'operazione, in una moltiplicazione e così INS: E se io scrivo 8=8 va bene? GIO: No, devi anche metterci +0 perché se no non si capisce… …devi metterci anche qualcosa.

Scena 7: Irene x2 = 3x - 2 x2 + 3x + 2 = 0 Irene, prima liceo classico: x2 = 3x - 2 x2 + 3x + 2 = 0 … e trova quindi le due soluzioni.

Irene “Non sarò certo io a contestare una regola che tutti accettano! Mi adeguo senz’altro. Ma nessuno mi potrà mai convincere che se aggiungo la stessa quantità ai due membri di un’equazione, non cambia niente!”

L’allievo interpreta…concetti  misconcetti  la moltiplicazione fa “ingrandire”  un numero è negativo  nella sua rappresentazione compare esplicitamente il segno “-”  insieme

Modelli primitivi (E. Fischbein) Modello: moltiplicazione come addizione ripetuta Operando: può essere un numero positivo qualsiasi, Operatore: deve invece essere un numero intero  si può dire 3 volte 0,65: 0,65 + 0,65 + 0,65 …ma 0,65 volte 3 ??? la moltiplicazione “fa ingrandire”

PROBLEMA 1 Da un quintale di grano si ottengono 0,75 quintali di farina. Quanta farina si ricava da 15 quintali di grano? PROBLEMA 2 Un chilo di detergente viene usato per produrre 15 chili di sapone. Quanto sapone può essere fatto con 0,75 chili di detergente? 76% 35%

In contesto scolastico ALLIEVO ITALIANO MATEMATICA Verbi riflessivi: Sono quelli che descrivono azioni che si fanno allo specchio. Pettinarsi, lavarsi, truccarsi… INSEGNANTE L’allievo: interpreta i messaggi dell’insegnante alla luce delle proprie conoscenze, convinzioni, esperienze…  interpretazione ‘distorta’ MISCONCETTI

Decisioni dell’insegnante Ipotizzare la presenza di eventuali misconcetti Riconoscere i misconcetti Cercare di scardinarli Come?

APPROFONDIMENTO: Le ricerche sui processi decisionali

Luigi ha 34 anni. E’ intelligente, ma ha poca fantasia, è abitudinario, metodico e non molto attivo. A scuola era bravo in matematica, ma debole nelle materie umanistiche. a) Luigi fa il medico e gioca a poker per hobby b) Luigi fa l’architetto c) Luigi fa il contabile d) Luigi suona per hobby musica jazz e) Luigi ha l’hobby del surf f) Luigi fa il giornalista g) Luigi fa il contabile, e suona per hobby musica jazz h) Luigi ha l’hobby dell’alpinismo

La roulette russa Sei persone si sfidano alla roulette russa usando una pistola con un tamburo a 6 colpi. La pistola ha un solo proiettile: ciascuno a turno preme il grilletto e, se è fortunato, passa la pistola al compagno accanto. (1) Secondo te qual è la posizione più sicura? 50%: la prima 23%: sono tutte equivalenti (2) In quale posizione preferiresti trovarti? 40%: la prima 40%: l’ultima

Tversky e Shafir, 1992 1) Hai appena consegnato gli scritti di un difficile esame universitario. Saprai dopodomani se sei stato promosso o se sei stato bocciato. Ti viene proposta un’offerta particolarmente vantaggiosa per una vacanza alle isole Hawaii (un ‘pacchetto’ tutto-compreso per sette giorni a sole 200.000 lire). Devi, però, decidere entro domani, dando un anticipo di 50.000 lire non rimborsabili. Puoi differire la decisione di un giorno (quindi, nel frattempo saprai con certezza se sei stato promosso o se sei stato bocciato), pagando un extra di 15.000 non rimborsabili, e non scalabili dal prezzo del pacchetto. Che decideresti di fare? Allo studente viene poi chiesto cosa deciderebbe se sapesse: 2) di essere stato promosso 3) di essere stato bocciato

1) Situazione di incertezza 2) Sa di essere stato promosso Le terne possibili: C = compra N = non compra incerto promosso bocciato C C C C C N C N C C N N N C C N C N N N C N N N 1) Situazione di incertezza 2) Sa di essere stato promosso 3) Sa di essere stato bocciato

Secondo te in italiano ci sono più parole di sette lettere che finiscono in –ndo. oppure più parole che hanno una n in terza posizione: - - n - - - - ?