Intuizione e rigore nella nascita e nello sviluppo del calcolo infinitesimale Come storicamente sono nati il concetto di limite e il concetto di derivata. Perché questo può essere interessante? “Nulla è più importante che vedere le sorgenti dell'invenzione, che sono, a mio avviso, degne di interesse ancora maggiore di quella dovuta all'invenzione stessa” (Leibniz). “L'invenzione del calcolo infinitesimale, accanto alla geometria euclidea, è la più grande creazione in tutta la matematica.” (Morris Kline)

Intuizione e rigore, moventi esterni e interni nello sviluppo della matematica La matematica che conosciamo è nata e si è sviluppata sulla spinta: 1) della sfida posta da problemi esterni (es.: problemi fisici); 2) di esigenze che obbediscono alla sua logica interna. Non sempre la matematica nasce già rigorosa. In certe sue fasi storiche, la matematica ha allentato le richieste di rigore per avere più efficacia nel risolvere problemi percepiti come urgenti; tuttavia, a lungo andare il progresso matematico richiede rigore: senza rigore, dopo alcuni passi la ricerca matematica cade.

Il 1600-1700 è un periodo storico in cui la matematica fu poco rigorosa, perché aveva qualcosa di urgente da fare: far nascere la scienza moderna; il 1800 fu invece chiamato “il secolo del rigore”: finalmente si capì davvero il fondamento di ciò che da 200 anni si stava facendo. Per comprendere i problemi sottostanti certi sviluppi della storia delle idee matematiche, bisogna prenderla un po’ da lontano...

Un divorzio antico La matematica Greca, a partire dalla scoperta delle grandezze incommensurabili, è segnata da una separazione tra numero e grandezza. Per i Greci “numeri” sono solo i numeri naturali e razionali positivi. I segmenti sono “grandezze”; esistono rapporti irrazionali ma non numeri irrazionali. La profonda teoria delle proporzioni di Eudosso-Euclide: -Permette di trattare le misurazioni geometriche di aree e volumi esprimendo una grandezza in funzione di un’altra. Es. di Archimede: “il volume di una sfera è 2/3 del volume del cilindro circoscritto” (così si può esprimere la formula per il volume della sfera senza usare il numero pi greco).

La teoria delle proporzioni di Eudosso-Euclide: -Si avvicina ad una definizione di numero reale, ma non la raggiunge perché il livello di astrazione del tempo non è sufficientemente spinto da permettere di identificare rapporti e numeri. Così la matematica Greca: -separò le misurazioni geometriche dai numeri (negando la possibilità della geometria analitica); -assogettò l’algebra alla geometria (“algebra geometrica”; no alle potenze >3).

La matematica medievale Intorno al 1350 a Oxford e Parigi si iniziò a studiare la cinematica. Oresme per primo rappresentò una sorta di “grafici di funzione”, in particolare per descrivere la velocità di un corpo in movimento, e dimostrò i risultati basilari sul moto uniformemente accelerato che Galilei renderà famosi nei Dialoghi sopra due nuove scienze quasi 300 anni dopo. La matematica araba dell'alto medioevo iniziò lo studio dell'algebra come disciplina indipendente: problemi attorno a numeri incogniti, che non sono necessariamente lunghezze, aree... La matematica sviluppata in occidente dal 1200 ereditò il rigore della matematica Greca, con aperture verso l’algebra araba e verso un uso più pratico della geometria: Euclide, Archimede, ma anche la trigonometria e l’algebra, si possono usare congiuntamente per risolvere problemi di misurazione geometrica. (Leonardo Pisano)

L’emergere dello spirito analitico nella matematica nel 16°-17° sec. 1545: formule risolutive per le equazioni algebriche di 3° e 4° grado (Cardano) 1585: uso dei numeri decimali (con la virgola): Simon Stevin, 1548-1620; 1591: algebra simbolica, Francois Viète, 1540-1603; 1614: logaritmi, John Napier, 1550-1617; Jobst Bürgi, 1552-1632, Henry Briggs, 1561-1631; 1637: geometria analitica, René Descartes, 1596-1650, e Pierre de Fermat, 1601-1665

L’emergere dello spirito analitico nella matematica nel 16°-17° sec. Con questi progressi: • l’algebra è definitivamente affrancata dalla geometria; • si afferma una scrittura simbolica moderna, capace di formulazioni e dimostrazioni generali; • vengono accettati di fatto i numeri irrazionali, numeri “come gli altri”; • si possono identificare numeri e segmenti; • si afferma un modo di far matematica pragmatico, in cui il rigore non è più un criterio inderogabile.

L’insoddisfazione rinascimentale per la tanto ammirata geometria Greca Le motivazioni da cui nasce la geometria analitica hanno un elemento comune alle motivazioni con cui nasce il calcolo infinitesimale: il desiderio di poter risolvere problemi geometrici raffinati “come quelli che risolvevano i Greci” (proprietà delle curve, determinazione di luoghi geometrici, aree di regioni curvilinee...) ma…

• con un affronto più semplice e diretto, che aiutasse a trovare la soluzione e non solo a dimostrare la validità di una soluzione indovinata in qualche modo (metodo analitico come strumento euristico, di ricerca di nuovi risultati); • con un affronto generale, che permettesse di trattare simultaneamente ampie classi di esempi, e non costringesse a ricominciare daccapo ogni volta che si cambiava un elemento del problema. • tutto ciò è reso possibile dalla nuova matematica dell’epoca: algebra simbolica, teoria delle equazioni, utilizzo del sistema dei numeri reali identificati coi punti della retta, idea di procedimento infinito o di grandezze infinitesime...

Da Galileo a Newton: l'urgenza di una nuova matematica per la nascita della scienza nel 1600 La “nuova matematica” creata ai tempi di Galileo: Galileo non si fidò mai di questa “matematica moderna”, che probabilmente giudicava non rigorosa (come in effetti era). Newton utilizzò invece tutti questi strumenti, e ne inventò altri di totalmente nuovi: le derivate, gli integrali, le serie numeriche; in breve, inventò il calcolo infinitesimale. Galileo: 1564-1642 Newton: 1642-1727

Confrontiamo i due personaggi su un esempio concreto: la legge di caduta dei gravi. Newton: Galileo:“Gli spazi percorsi in tempi diversi stanno tra loro come i quadrati dei tempi” ossia:

L’invenzione del calcolo infinitesimale di Newton e Leibniz

Problemi che Newton si pone sulle “fluenti” (=funzioni) 1. Il problema di determinare la velocità (istantanea) di variazione della grandezza fluente; 2. Il problema di determinare la retta tangente al grafico, (in relazione al problema della ricerca dei “punti di massimo e minimo” della funzione). Motivazioni che si ponevano nel XVII sec. per questi problemi: • problemi di ottica legati alla fabbricazione di lenti; • problemi di massimo e minimo in astronomia, balistica…; • problemi di cinematica (la velocità di un punto mobile è tangente alla sua traiettoria in ogni istante). • studio dei moti in cui la velocità cambia ad ogni istante

Dall’Introductio ad Quadratura Curvarum: (scritta nel 1676, pubblicata nel 1704 in appendice all'Ottica) Definizione di derivata: “Le flussioni stanno tra loro come gli incrementi delle fluenti generati in uguali intervallini di tempo, tanto più accuratamente quanto più brevi sono questi. Per parlare più accuratamente, stanno tra loro come i primi rapporti degli incrementi nascenti”. Vediamo la sua definizione alla prova dei fatti: come calcola la derivata di una potenza.

Relazione col concetto di tangente

Intuizione e rigore in Newton In questo passo troviamo: • l'idea di limite come quantità costante a cui una quantità variabile si avvicina indefinitamente; • l'idea che questo “avvicinarsi indefinitamente” possa essere precisato quantitativamente; • l'idea moderna di infinitesimo come quantità variabile che diviene indefinitamente piccola, anziché come quantità costante infinitamente piccola. Si capisce quindi che Newton, nella sostanza, aveva una comprensione chiara del significato dei suoi procedimenti; tuttavia, mantenne queste idee sul piano discorsivo, non riuscì a incorporarle effettivamente e operativamente nella teoria, ad esempio, introducendo un simbolo analogo al nostro “lim” per distinguere, anche nelle notazioni, un quoziente dal limite del quoziente. “Quegli ultimi rapporti con cui le quantità svaniscono non sono effettivamente rapporti di quantità ultime, ma limiti a cui i rapporti di quantità che decrescono indefinitamente si avvicinano con continuità, e a cui essi si possono avvicinare così strettamente che la loro differenza è minore di qualsiasi assegnata quantità, ma che essi non possono né superare né raggiungere prima che le quantità siano indefinitamente diminuite. (...) Di conseguenza, ogni volta che, per rendere le cose più semplici da comprendere, io parlerò in ciò che segue di quantità infinitamente piccole o evanescenti, o ultime, abbiate cura di non intendere quantità che siano determinate nella grandezza, ma pensate sempre a quantità che devono essere diminuite indefinitamente”. Dallo Scholium alla sez. I dei Principia “Forse può essere obiettato che non c'è alcun ultimo rapporto di grandezze evanescenti; perché il rapporto, prima che le quantità siano svanite, non è l'ultimo, e quando sono svanite, non c'è. (...) Ma la risposta è facile; perché (...) per ultimo rapporto di grandezze evanescenti si deve intendere il rapporto delle quantità non prima che esse svaniscano e non dopo, ma il rapporto con cui esse svaniscono”.

I “precursori del calcolo infinitesimale” (Fermat, Torricelli, Cavalieri, Wallis, Barrow...) Nei lavori di molti matematici di 50 anni o più precedenti a Newton e Leibniz si trovano vari risultati interessanti di tangenti e quadrature. Qual è il punto specifico di avanzamento di Newton e Leibniz? (non il rigore…) • Il teorema fondamentale del calcolo integrale, ossia la relazione inversa tra derivata e area sotto una curva. (Intuito da Torricelli e Barrow, ma in modo poco utile...). • Aver compreso che valeva la pena sviluppare la derivata e l'integrale come algoritmi da studiare nelle loro proprietà generali (es.: derivata della somma, del prodotto...), anziché concentrarsi sui problemi singoli ripartendo ogni volta da zero.

L’esplosione del calcolo infinitesimale

Cauchy, il concetto di limite e i fondamenti del calcolo infinitesimale Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) La definizione di limite: Cauchy, Corso di Analisi (1821), Lezioni sul Calcolo Differenziale (1829), scritti per l'Ecole Polytechnique:

In queste opere (1821-1823), Cauchy: • introduce la nozione moderna di limite; mediante questa nozione dà la prima definizione rigorosa di: • funzione infinitesima, • funzione continua, • derivata, • integrale definito, • convergenza di una serie.

Se vogliamo descrivere il concetto di infinitesimo non dobbiamo pensare ad una quantità costante che è infinitamente piccola, ma dobbiamo pensare ad una quantità variabile che diviene indefinitamente piccola: questa è la grande differenza. “Quando i valori successivamente attribuiti ad una stessa variabile si avvicinano indefinitamente ad un valore fissato, in maniera da finire col differire da questo di tanto poco quanto si vuole, quest'ultimo (valore fissato) è detto il limite di tutti gli altri. (...) Indicheremo il limite verso cui converge una data variabile con l'abbreviazione lim posta davanti a questa variabile”.

La chiave del superamento del “vecchio” concetto di infinitesimo: le grandezze variabili La distinzione netta tra la funzione (quantità variabile) e il limite a cui essa tende (quantità costante), è non solo affermata a parole da Cauchy, ma incorporata formalmente nella teoria, con l'introduzione del simbolo “lim”. Questo è un enorme passo avanti rispetto a Newton. “Quantità infinitamente piccola” è il concetto suggestivo, ambiguo e in ultima analisi fuorviante con cui dai tempi di Zenone (nell'antica Grecia) fino al 18° secolo si è denotato simultaneamente una quantità variabile che diviene indefinitamente piccola, e la quantità costante (il limite zero) a cui essa tende. Il superamento di questa confusione di concetti ha sbloccato lo sviluppo del pensiero matematico, consentendo un progresso mai visto prima.

Dai limiti alla continuità Karl Theoodor Wilhelm Weierstrass, 1815-1897 Weierstrass, 1886 dà la epsilon-delta definizione di limite: per dire che una grandezza diventa sempre più piccola è sufficiente dire che è più piccola di un numero reale epsilon arbitrariamente prefissato, purché la variabile differisca per meno di un numero delta opportuno da un certo valore fissato.

Per continuità… “Se una funzione continua su un intervallo ha segno opposto nei due estremi dell'intervallo, per continuità deve esistere un punto dell'intervallo in cui si annulla” Perché è vero? Perché la curva (grafico) e la retta (asse ) sono linee continue, “non hanno buchi”. Ma cosa significa esattamente che non hanno buchi? E come si dimostra? Dipende dalle proprietà dell'insieme dei numeri reali... Nella sistemazione moderna dei primi elementi del calcolo infinitesimale, i problemi maggiori si incontrano non tanto nel dimostrare le proprietà principali delle derivate e degli integrali (che costituiscono il cuore della teoria, dal punto di vista operativo), ma in alcune delicate proprietà dei limiti e delle funzioni continue su un intervallo, su cui si basano poi altre proprietà di derivate e integrali.

L’essenza della continuità: i numeri reali Richard Dedekind, 1831-1916 Dedekind,1872, “Continuità e numeri irrazionali”

“Nell'autunno del 1858, come professore al Politecnico di Zurigo, mi trovai per la prima volta a dover tenere lezioni sul calcolo differenziale, e sentii più acutamente che mai in precedenza la mancanza di un fondamento realmente scientifico per l'aritmetica. Specialmente nel provare il teorema che ogni grandezza che cresce con continuità, ma non oltre ogni limite, deve certamente tendere a un valore limite, io dovetti ricorrere ad evidenze geometriche. Si afferma frequentemente che il calcolo differenziale tratta con grandezze continue, e tuttavia non viene mai data una spiegazione di questa continuità; anche le più rigorose esposizioni del calcolo differenziale non basano le loro dimostrazioni sulla continuità ma, con maggiore o minore consapevolezza del fatto, si appellano a nozioni geometriche o suggerite dalla geometria, o dipendono da teoremi che non sono mai stabiliti in modo puramente aritmetico”.

L’ulteriore passo che attendeva di esser fatto, per una chiarificazione del calcolo infinitesimale, era un fondamento chiaro e definitivo della teoria dei numeri reali, che fornisse un fondamento analitico chiaro alle varie idee connesse al concetto di continuità. Il saggio di Dedekind: • definisce costruttivamente i numeri reali a partire dai numeri razionali • coglie la proprietà fondamentale dei numeri reali, che non ha invece il sistema dei numeri razionali: la continuità. Sulla base di questo fondamento della teoria dei numeri reali sarà possibile a Weierstrass dimostrare le proprietà-chiave dei limiti e delle funzioni continue.

L’aritmetizzazione dell’analisi Il cerchio quindi si chiude: la teoria conduce dal sistema dei numeri razionali (dominio dell'aritmetica) a quello dei numeri reali, alla nozione di limite, alle proprietà delle funzioni continue, ai concetti di base del calcolo differenziale e integrale e le loro proprietà. Questo processo è stato chiamato aritmetizzazione dell'analisi.

Le costruzioni matematiche Cosa significa definizione costruttiva in matematica? Per definire l'oggetto elementare che appartiene a una teoria complessa, lo si introduce come oggetto complesso di una teoria semplice. Nel caso dei numeri reali: consideriamo l'insieme dei numeri razionali e spacchiamolo in due: diciamo “tutti questi numeri razionali a destra, tutti questi a sinistra”. Questa suddivisione di in due insiemi è ciò che Dedekind chiama un taglio, o sezione, ed è un insieme di infiniti numeri razionali.

Le sezioni di Dedekind Talvolta la sezione individua come elemento separatore un numero razionale, come nel caso: Talvolta invece no, come nel caso: Ora Dedekind definisce “insieme dei numeri reali” l'insieme di tutte le sezioni. Le sezioni che individuano come elemento separatore un numero razionale si identificano con i “vecchi” numeri razionali; le altre sezioni si identificano con “nuovi” numeri, che saranno i numeri irrazionali.

L’essenza della continuità La cosa metodologicamente interessante è che si identifica un numero reale, l'oggetto che si deve definire (l'oggetto semplice della teoria complessa), con un particolare insieme di infiniti numeri razionali (oggetto complesso della teoria più semplice). Nell'insieme dei numeri reali così definito si definiscono la somma, il prodotto, la relazione . Si dimostrano le usuali proprietà delle operazioni e della relazione d'ordine, e infine si dimostra la proprietà di continuità: Se consideriamo ora una sezione di numeri reali (non più di numeri razionali) ossia una suddivisione di in due insiemi, del tipo “tutti questi numeri reali a destra, tutti questi a sinistra”, ora la sezione individua sempre un elemento separatore (razionale o irrazionale).

Continuità, numeri reali, punti della retta Così si è dimostrato che l’insieme dei numeri reali ha la proprietà che intuitivamente consideriamo caratteristica della retta, il continuo unidimensionale: comunque la spezzi in due, c’è un punto di separazione. …e questo, oltre a consentire la costruzione dell’analisi, per la prima volta rende rigorosa la geometria analitica, il concetto di misura numerica di una grandezza, permetterà di dimostrare rigorosamente il teorema fondamentale dell’algebra… in una parola, rende finalmente rigoroso tutto il movimento analitico iniziato col rinascimento.

Procedimenti infiniti e insiemi infiniti Notiamo che con questo genere di costruzioni entra a far parte della pratica matematica l'utilizzo, che diventerà poi sistematico, degli insiemi di infiniti oggetti matematici. Dedekind considera infiniti numeri razionali come un numero reale. Per definire la somma di due numeri reali si dovrà operare su insiemi di infiniti oggetti che concepiamo, ciascuno, come un oggetto matematico. Quindi: la nozione di insieme e in particolare di insieme infinito sono lo strumento metodologico della grande unificazione compiuta nell'analisi dell’800. E questi concetti apriranno nuovi orizzonti e nuovi problemi all'analisi di fine ‘800-inizio ‘900. Ma questa è un'altra storia...