LA CONVERSIONE A/D

L’era digitale

…ma il mondo fisico è analogico!!

Come si passa dall’analogico al digitale (e viceversa)? ADC Il microfono è un trasduttore: trasforma il segnale sonoro (onde di pressione in aria) in un segnale elettrico analogico (tensione variabile nel tempo) Convertitore Analogico/Digitale (Analog to Digital Converter): trasforma il segnale elettrico analogico in digitale Gli altoparlanti delle cuffie trasformano il segnale elettrico analogico in segnale sonoro DAC Convertitore Digitale/Analogico (Digital to Analog Converter): trasforma il segnale elettrico digitale in analogico

Un po’ di ripasso sui segnali In riferimento agli stati che il segnale può assumere in un determinato intervallo di tempo, distinguiamo due tipi di segnale: segnale analogico: può assumere tutti i possibili valori in un intervallo segnale digitale binario: può assumere solo due valori: ‘0’ e ‘1’ Segnale analogico Segnale digitale binario Conversione A/D Conversione D/A 5

Perché complicarsi la vita? Non sarebbe più conveniente usare dispositivi analogici? Tre buoni motivi per passare dall’analogico al digitale… Elevata insensibilità ai disturbi e al rumore Possibilità di poter sfruttare la potenza di calcolo dei microprocessori per l’elaborazione e la gestione dei segnali (Digital Signal Processing - DSP) Estrema facilità e praticità di memorizzazione e trasporto dei dati digitali (supporti CD, DVD, chiavette USB, hard disk, ecc…) …e qualche (piccolo) svantaggio: Perdita di informazione dovuta al processo di conversione A/D Consumo di spazio, energia e € a causa all’hardware aggiuntivo 6

Il processo di conversione A/D Il processo di conversione A/D comporta la trasformazione di un segnale continuo (analogico) in un insieme finito di valori (discretizzazione) Poiché un segnale analogico è continuo sia nel TEMPO che in AMPIEZZA sono necessarie due fasi: CAMPIONAMENTO discretizzazione nel TEMPO QUANTIZZAZIONE discretizzazione in AMPIEZZA 7

Campionamento Ad intervalli regolari di tempo prelevo il valore del segnale (campione) t [s] V ESEMPIO: prendo un campione ogni 0.1 s Vmax 6 7 fc = 1/Δtc 1 s 9 10 Infatti: 5 8 fc = 1/0.1 = 10 Hz 2 3 4 1 intervallo di campionamento (Δtc) Vmin 1 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 1.1 1.2 DEFINIZIONE: il no di campioni/s si dice frequenza di campionamento (fc) Nel nostro caso: fc = 10 sps = 10 Hz [1]

Campionamento Il segnale campionato ottenuto è DISCRETO NEL TEMPO ma ancora CONTINUO IN AMPIEZZA Ad intervalli regolari di tempo prelevo il valore del segnale (campione) t [s] V ESEMPIO: prendo un campione ogni 0.1 s Vmax 6 7 fc = 1/Δtc CONTINUO campioni aventi un qualunque valore tra Vmin e Vmax 1 s 9 10 Infatti: 5 8 fc = 1/0.1 = 10 Hz 2 3 4 1 intervallo di campionamento (Δtc) Vmin 1 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 1.1 1.2 segnale definito solo in certi istanti di tempo DISCRETO DEFINIZIONE: il no di campioni/s si dice frequenza di campionamento (fc) Devo discretizzare anche in ampiezza Nel nostro caso: fc = 10 sps = 10 Hz [1] QUANTIZZAZIONE

Quantizzazione Campionamento Il segnale campionato ottenuto è DISCRETO NEL TEMPO ma ancora CONTINUO IN AMPIEZZA Voglio rappresentare ciascun campione con un numero binario di n bit DEFINIZIONE: il no di bit/s si dice bitrate ESEMPIO: con n=3 individuo 23 = 8 sottointervalli V bitrate = 10 campioni/s x 3 bit/campione = 30 bps (bit per second) Vmax 111 110 7 111 6 risoluzione o profondità di bit CONTINUO campioni aventi un qualunque valore tra Vmin e Vmax 110 101 9 101 10 101 100 5 100 8 100 011 2 011 011 010 3 010 4 010 1 010 bitrate = fc x n 001 001 000 Vmin 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 t [s] Ad ogni campione associo la relativa codifica segnale definito solo in certi istanti di tempo DISCRETO Poiché con n bit posso rappresentare 2n valori, divido l’intervallo Vmin - Vmax in parti uguali in modo da ottenere 2n sottointervalli a ciascuno delle quali associo la corrispondente codifica binaria In questa fase introduco un’approssimazione: infatti a campioni diversi può corrispondere la stessa codifica Devo discretizzare anche in ampiezza QUANTIZZAZIONE

Un esempio familiare: l’MP3 FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO BITRATE

Il teorema di Shannon Quanti campioni/s sono necessari per campionare adeguatamente un segnale? ovvero: Qual è la frequenza di campionamento minima che mi permette di ricostruire il segnale in modo univoco dai suoi campioni? Devo prendere almeno 2 campioni per ogni periodo 1 Hz fc = 1 Hz 2 Hz Per campionare un segnale sinusoidale di 1 Hz devo prendere al minimo fc = 2 Hz fc = 2 Hz

Il teorema di Shannon fc ≥ 2fmax Claude Shannon (1916 – 2001) Il “padre” del digitale Affinchè un segnale sia univocamente ricostruibile dai suoi campioni, deve essere campionato con una frequenza pari almeno al doppio della frequenza massima del suo spettro, fmax : fc ≥ 2fmax

Il teorema di Shannon fc ≥ 2fmax fc (minima) = 2 x 20 kHz = 40 kHz Claude Shannon (1916 – 2001) Il “padre” del digitale ESEMPIO: segnale audio musicale L’orecchio umano può udire le frequenze comprese all’incirca nell’intervallo 20 Hz – 20 kHz; perciò, in base al teorema di Shannon: Affinchè un segnale sia univocamente ricostruibile dai suoi campioni, deve essere campionato con una frequenza pari almeno al doppio della frequenza massima del suo spettro, fmax : fc (minima) = 2 x 20 kHz = 40 kHz In pratica normalmente si usa fc = 44.1 kHz (qualità audio CD) fc ≥ 2fmax

Frequenza di campionamento Qualche esempio pratico Frequenza di campionamento Applicazioni tipiche 44.1 kHz (44100 Hz) CD, DAT 48 kHz (48000 Hz) DAT, DV, DVD-Video 96 kHz (96000 Hz) DVD-Audio

Qualche esempio pratico Risoluzione Applicazioni tipiche 8-bit audio web a bassa ris. 16-bit CD, DAT, DV, files audio 24-bit DVD-Video, DVD-Audio

Esercizio Calcoliamo il bitrate per un segnale audio digitale in qualità stereo CD fc = 44.1 kHz; n = 16 bit/campione; 2 canali (stereo) Bitrate = fc x n x 2 = 44100 campioni/s x 16 bit/campione x 2 = 1.41 x 106 bps = 176400 Bytes/s Quanto spazio occupa un file musicale contenente un brano di 5 min in qualità stereo CD? Durata del brano in secondi = 5 min x 60 s/min = 300 s Spazio occupato = 1.41 x 106 bps x 300 s = 423 x 106 bit = 423 x 106/8 = 52.9 x 106 Byte = 50.4 MB [2]

I convertitori A/D Realizzano la quantizzazione dei dati analogici campionati: SCHEMA DI PRINCIPIO ADC 01011010 Vin Campionatore L’ADC prende in ingresso il segnale analogico Vin e restituisce in uscita la sua codifica digitale ad n bit

I convertitori A/D Parametri caratteristici ADC n bit N n = 2 Vin b0 N = bn-1•2n-1 + … + b1•21 + b0•20 ADC Vin b1 bn-1 Ad ogni Vi compreso tra QN-Q/2 e QN + Q/2 associo il valore discreto: n bit VN = QN N L’errore massimo che commetto è: n = 2 emax emax b1bo emax = Q/2 11 Il massimo valore che può assumere VN lo ottengo per N = 2n - 1: 10 Vmax = VFS – Q/2 VN (max) = Q(2n - 1) 01 Ovvero: 00 Q VN (max) = VFS - Q Q 2Q 3Q VFS Vin = 4Q 2 intervallo di quantizzazione (LSB) tensione di fondo scala VFS = Q2n

Esercizio Vogliamo convertire in digitale una tensione analogica il cui intervallo di variazione (dinamica) è 0-4 V. Determinare il minimo numero di bit in uscita dell’ADC che consente di ottenere un intervallo di quantizzazione non superiore a 0.4 V Soluzione: Noi conosciamo Vmax = 4 V; partiamo quindi dalla relazione vista precedentemente: Vmax = VFS – Q/2 Poiché abbiamo visto anche che: VFS = Q2n sostituendo nella prima relazione otteniamo: Vmax = Q2n – Q/2 = Q (2n – ½) ovvero: Vmax /Q + ½ = 2n sostituendo i valori numerici abbiamo: 4 /0.4 + ½ = 2n Da cui possiamo ricavare n: n = log2 (4/0.4 + 0.5) = log2 (10.5) = 3.39 che arrotondiamo all’intero successivo n = 4

I convertitori A/D Tipologie di ADC Risorse hardware SPOT Flash Ad approssimazioni successive Subranging Risorse hardware Velocità di conversione n. di bit (risoluzione) AD INTEGRAZIONE A Rampa semplice A Doppia rampa Sigma Delta

I Convertitori A/D ADC Flash Rete combinatoria di codifica Vin b0 b1 b2 VR Tramite una serie di comparatori si confronta simultaneamente la tensione da convertire con le soglie Q/2, 3/2Q, 5/2Q, … 13Q/2 11Q/2 Il n. di comparatori attivi mi dice in quale intervallo di quantizzazione cade Vin 9Q/2 La rete combinatoria fornisce la codifica binaria di uscita riducendo la ridondanza 7Q/2 b0 Le soglie sono generate attraverso un partitore resistivo 5Q/2 3Q/2 Un comparatore per ogni soglia b2 Q/2 b1 Un ADC Flash ad n bit di uscita richiede 2n-1 comparatori e 2n resistori

I convertitori A/D Esempio: ADC FLASH a 2 bit Vin a2 a1 a0 b1 b0 Vdd Vin Vin a2 a1 a0 b1 b0 Vin< V1 000 00 V1 < Vin < V2 001 01 V2 < Vin < V3 011 10 Vin >V3 111 11 Comparatori R/2 V3 a2 Rete di codifica b1 R V2 a1 b0 R V1 a0 R/2 I

I convertitori A/D ADC FLASH: pregi e difetti PREGI Veloce: tempo di conversione pari al tempo di commutazione di un comparatore + tempo di codifica Digitalizzazione di segnali video in tempo reale, comunicazioni via satellite, oscilloscopi digitali Tempo di conversione ~ ns DIFETTI Costoso: elevato numero di comparatori (es: n = 8 comparatori) basse risoluzioni (n < 10) 28-1 = 255 Bassa impedenza di ingresso: molti ingressi in parallelo Elevata potenza dissipata (> W)

I convertitori A/D ADC ad approssimazioni successive Principio di funzionamento basato su algoritmo di ricerca dicotomica: Si parte a metà scala (valore binario iniziale di tentativo) Ad ogni ciclo si aggiusta un bit dividendo ripetutamente a metà l’intervallo 1 1 1 --------> 13/2Q 1 1 0 --------> 11/2Q 1 0 1 --------> 9/2Q 1 0 0 --------> 7/2Q 0 1 1 --------> 5/2Q 0 1 0 --------> 3/2Q 0 0 1 --------> 1/2Q 0 0 0 --------> 0 n = 3 Vin N = 011

I convertitori A/D ADC ad approssimazioni successive L’algoritmo di ricerca dicotomica è implementato dal Registro ad Approssimazioni Successive (SAR) CLOCK Vin > 5/2Q Vin > 3/2Q Vin < 7/2Q Inizio del ciclo di clock Il SAR mette a 1 il bit corrente VR 5/2Q 3/2Q 7/2Q 011 010 100 011 Il valore binario approssimato è convertito nella tensione analogica VR da un DAC e confrontato tramite un comparatore con Vin Se Vin < VR il SAR riporta a 0 il bit corrente Se Vin > VR il SAR lascia a 1 il bit corrente Fine del ciclo di clock Tempo di conversione = nTclock Esempio: Tclock = 1 s Tconv = 12 s n = 12

ADC ad approssimazioni successive: I convertitori A/D ADC ad approssimazioni successive: PREGI E DIFETTI PREGI Poco costoso: un comparatore e un circuito SAR Buone risoluzioni: in genere n = 8 – 12 bit DIFETTI Meno veloce del convertitore Flash Gli ADC ad approssimazioni successive realizzano un buon compromesso tra risoluzione e velocità di conversione Sono tra i più usati nelle applicazioni comuni !

I convertitori A/D ADC subranging • ‘Piccoli’ convertitori Flash in cascata • Il codice del primo convertitore viene riconvertito in tensione analogica dal DAC e si converte poi la differenza tra ingresso e segnale rigenerato

ADC subranging: PREGI e DIFETTI I convertitori A/D ADC subranging: PREGI e DIFETTI PREGI Flash semplici e meno costosi Esempio: per n = 8 bit servono 2 convertitori da 4 bit cioé 15 + 15 = 30 comparatori anziché 255 DIFETTI Più lento del convertitore Flash

ADC integrati commerciali Sono disponibili in commercio numerosi dispositivi ADC integrati prodotti da diverse case costruttrici. Per il loro utilizzo bisogna andare a STUDIARSI il relativo foglio tecnico (datasheet) ESEMPI: Analog Devices: AD574A National Semiconductor: ADC0801 Texas Instruments: TLC548

FINE

Una giustificazione intuitiva del teorema di Shannon spettro del segnale analogico originario segnale analogico originario fmax fc spettro del segnale campionato segnale campionato fc+fmax fc-fmax fmax fc 2fc Se fc - fmax < fmax ovvero: fc < 2fmax lo spettro del segnale campionato si sovrappone a quello del segnale originario (ALIASING)

Note [1] Ricorda che l’unità di misura 1/s prende il nome di Hertz e si indica col simbolo Hz. Poichè la frequenza di campionamento rappresenta il no di campioni/s, essa è dimensionalmente equivalente a 1/s (il no dei campioni è ovviamente un numero puro, cioè senza unità di misura). Pertanto fc viene generalmente espressa in Hz o, più frequentemente, tramite i suoi multipli kHz (103 Hz) o MHz (106 Hz). A volte viene anche espressa in sps (samples per second, ovvero campioni al secondo) [2] In informatica si considerano come multipli del bit il kiloByte (kB) e il MegaByte (MB), che valgono rispettivamente: 1 kB = 210 bit 1 MB = 220 bit