è … lo studio delle caratteristiche di regolarità dei fenomeni casuali La PROBABILITA’ è … lo studio delle caratteristiche di regolarità dei fenomeni casuali

Sono fenomeni casuali Il lancio di un dado L’estrazione di una pallina numerata da un’urna Il lancio di una moneta Il diffondersi di un’epidemia

Un fenomeno complesso che si ripete più volte può essere studiato come aleatorio, dal latino “alea”

Il calcolo delle probabilità permette di associare ad “eventi futuri” un modello di tipo non deterministico, uno strumento che rende razionale il comportamento dell’uomo di fronte all’incertezza: quando i fatti osservabili non sono prevedibili e si devono prendere decisioni in base ad ipotesi riguardanti le modalità di eventi futuri

E se gli eventi futuri ai quali sono legate le nostre decisioni .. sono ripetibili, in condizioni che possiamo ritenere uniformi, permette di fare previsioni quantitative e di regolare il nostro comportamento in modo da ottimizzare certe situazioni, che possiamo rappresentare mediante opportune “funzioni obiettivo” ( es lancio di un dado) NON sono ripetibili: serve a giustificare il nostro comportamento e a controllarne eventualmente la coerenza ( es: epidemie…)

Un modello si dice deterministico Se tutte le informazioni relative alla situazione che si sta esaminando in un istante permettono di determinare con certezza, con leggi semplici, quale sarà la situazione dopo qualsiasi intervallo di tempo; CIOE’ le grandezze in ingresso x i ( le condizioni iniziali) permettono di calcolare le grandezze in uscita y i

La funzione associata ad un modello deterministico è x0 y0

Un modello si dice non deterministico se non è possibile determinare a priori con certezza il valore della variabile in uscita y i, ma si sa che essa assumerà uno dei valori di un insieme di eventi, chiamati eventi casuali

In un fenomeno aleatorio: Tutti i possibili risultati sono punti dello spazio campione W Ogni evento è un sottoinsieme dello spazio W L’evento certo è lo spazio W L’evento impossibile è F, l’insieme vuoto E’ un evento il risultato di qualsiasi operazione tra i sottoinsiemi di W

Esempio: Lancio di un dado W W Spazio campione Evento:” uscita di un numero pari” L’evento: “uscita di un numero pari”può essere considerato come unione di eventi singoli 1 5 3 2 4 6

Evento - risultato Nel lancio del dado l’evento: “uscita di un numero pari” ha come risultato x, un valore tra i tre possibili: 2 4 X= 6

X: variabile casuale Si chiama variabile causale una variabile x che può assumere uno tra gli n valori possibili. x1 x2 … X= xm

La variabile casuale x Può variare tra un insieme di punti dello spazio campione: Finito Infinito numerabile Infinito non numerabile che sono distribuiti in un dato intervallo in modo continuo o discreto

La funzione P: A P(A) Associa ad ogni sottoinsieme A di W , l’insieme di punti-evento, un numero reale, che soddisfa ai seguenti assiomi:

Assiomi: A1 : A2 : A3 : Se Ai e Aj sono eventi incompatibili, cioè allora

I simboli… W Insieme punti-evento F = {A1, A2, …, An} successione finita o no, di eventi a due a due incompatibili P Numero reale Spazio di probabilità

Teorema 1 Se valgono A1 : e A2 : Allora la probabilità è un numero compreso tra zero e uno dim-th1.ppt

Teorema 2 probabilità dell’evento impossibile La probabilità dell’evento impossibile è zero dim-th2

Teorema 3 probabilità dell’evento complementare Un evento A e il suo complementare riempiono lo spazio campione Può essere formulato: P(A) + P( )=1 oppure: P(A B) + P(B ) = P(B)

Teorema 4 probabilità di eventi non disgiunti Se A e B sono eventi: A W B

Eventi indipendenti Definizione: Gli eventi A e B sono indipendenti se:

Teorema 5 probabilità di eventi indipendenti Gli eventi A, B, C sono indipendenti se e solo se: Sono indipendenti a due a due

Probabilità condizionata P(A|H) Definizione: Dato uno spazio di probabilità e due eventi H (che chiamiamo ipotesi o condizione), tale che P(H) 0, e A, la probabilità condizionata di A dato H è:

Eventi indipendenti Due eventi A e B sono indipendenti se il conoscere che uno si è verificato non altera la probabilità del verificarsi dell’altro. In questo caso le tre leggi sono equivalenti:

Teoremi della probabilità condizionata

Teoremi della probabilità condizionata Legge del condizionamento ripetuto Legge delle alternative Legge condizionata delle alternative Legge delle probabilità composte Legge di Bayes o probabilità delle cause

Legge del condizionamento ripetuto

Legge delle alternative Un insieme di alternative è una partizione dell’insieme (incompatibilità) (esaustività) per ogni indice i

Legge condizionata delle alternative Gli eventi H sono un insieme di alternative per H quando: (incompatibilità) (esaustività) per ogni indice i

Legge delle probabilità composte

Legge di Bayes o probabilità delle cause