Numeri Interi senza segno Numeri Naturali Numeri Interi senza segno 1 2 3 4 5 6 7 10 111 21 37 14 58 602 7047 182997 9999997 102357 98732149997

+ Operazioni binarie 3 8 5  a,b  A  c= a*b : c  A L’ OPERAZIONE in un insieme è una legge che ad ogni coppia di elementi dell’insieme ne associa un altro 3 5 + operandi 8 risultato Se il risultato appartiene allo stesso insieme degli operandi, si dice che l’ insieme è CHIUSO rispetto all’ operazione  a,b  A  c= a*b : c  A

Operazioni binarie Se il risultato appartiene allo stesso insieme degli operandi, si dice che l’ insieme è CHIUSO rispetto all’ operazione  a,b  A  c = a*b : c  A I numeri Naturali è un insieme chiuso rispetto all’ addizione ? SI ! perché sommando qualsiasi coppia di numeri naturali, si ottiene un numero naturale I numeri Naturali è un insieme chiuso rispetto alla moltiplicazione ? SI ! perché moltiplicando qualsiasi coppia di numeri naturali, si ottiene un numero naturale I numeri Naturali è un insieme chiuso rispetto alla sottrazione ? NO ! perché esistono coppie di numeri la cui differenza NON è un numero naturale: 3 – 5 = -2  N

Proprietà Commutativa

+ + Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA 3 8 5 5 8 3 Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è COMMUTATIVA se  a,b  A si ha a * b = b * a 3 5 + 8 5 3 + 8

SI ! Perché  a,bN : a  b = b  a Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è COMMUTATIVA se  a,b  A si ha a * b = b * a La moltiplicazione è Commutativa ? 5 3 • 15 SI ! Perché  a,bN : a  b = b  a 3 5 • 15 La sottrazione è Commutativa ? 5 3 - 2 NO ! Perché  a,bN : a  b  b  a 3 5 - - 2

SI ! Perché A  B  B  A Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è COMMUTATIVA se  a,b  A si ha a * b = b * a L’ Unione tra Insiemi è Commutativa ? SI ! Perché A  B  B  A 1 b a c A 2 3 B A  B  { a, b, c, 0, 1, 2, 3 } 1 b a c A 2 3 B B  A  { a, b, c, 0, 1, 2, 3 }

SI ! Perché A  B  B  A Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è COMMUTATIVA se  a,b  A si ha a * b = b * a L’ Intersezione tra Insiemi è Commutativa ? SI ! Perché A  B  B  A 4 1 3 A 2 B 8 5 6 A  B  { 0, 2, 4 } A B 4 1 3 2 8 5 6 B  A  { 0, 2, 4 }

NO ! Perché A \ B  B \ A Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è COMMUTATIVA se  a,b  A si ha a * b = b * a La Differenza Insiemistica è Commutativa ? NO ! Perché A \ B  B \ A 4 1 3 A 2 B 8 5 6 A \ B  { 1, 3, 5 } A B 4 1 3 2 8 5 6 B \ A  { 6, 8 }

NO ! Perché A  B  B  A Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è COMMUTATIVA se  a,b  A si ha a * b = b * a Il Prodotto Cartesiano è Commutativo ? NO ! Perché A  B  B  A BA A B      A { ,  ,  } B { ,} A B B A     

Proprietà Associativa

+ + + + Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA 3 5 10 2 3 10 5 2 Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è ASSOCIATIVA se  a,b,c  A si ha (a*b)*c = a*(b*c) 3 5 + 8 + 10 2 3 + 10 5 2 + 7

SI ! Perché  a,b,cN (a · b) · c = a · (b · c) Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è ASSOCIATIVA se  a,b,c  A si ha (a*b)*c = a*(b*c) La moltiplicazione è associativa ? SI ! Perché  a,b,cN (a · b) · c = a · (b · c) 5 3 5 • 15 • 3 2 30 • • 6 30 2

NO ! Perché  a,b,cN : (a - b) - c  a - (b - c) Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è ASSOCIATIVA se  a,b,c  A si ha (a*b)*c = a*(b*c) La sottrazione è associativa ? NO ! Perché  a,b,cN : (a - b) - c  a - (b - c) 5 3 5 - 2 - 3 2 4 - - 1 2

SI ! Perché (A  B)  C  A  (B  C) Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è ASSOCIATIVA se  a,b,c  A si ha (a*b)*c = a*(b*c) L’ Unione tra Insiemi è Associativa ? SI ! Perché (A  B)  C  A  (B  C) 1 3 B A 2 6 4 9 C (A  B)  { 0, 1, 2, 3, 4, 6 } (A  B)  C  { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 9 } 1 3 B A 2 6 4 9 C (B  C)  { 0, 1, 2, 3, 9 } (A  B)  C  { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 9 }

SI ! Perché (A  B)  C  A  (B  C) Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è ASSOCIATIVA se  a,b,c  A si ha (a*b)*c = a*(b*c) L’ Intersezione tra Insiemi è Associativa ? SI ! Perché (A  B)  C  A  (B  C) 1 3 B A 2 6 4 9 C (A  B)  C  { 0 } (A  B)  { 0, 2 } 1 3 B A 2 6 4 9 C (B  C)  { 0, 3 } A  ( B  C )  { 0 }

NO ! Perché (A \ B) \ C  A \ (B \ C) Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è ASSOCIATIVA se  a,b,c  A si ha (a*b)*c = a*(b*c) La Differenza Insiemistica è Associativa ? NO ! Perché (A \ B) \ C  A \ (B \ C) 1 3 B A 2 6 4 9 C (A \ B) \ C  { 4 } (A \ B)  { 4, 6 } 1 3 B A 2 6 4 9 C (B \ C)  { 1, 2 } A \ ( B \ C )  { 0, 4, 6 }

Proprietà Distributiva

+ + Operazioni – Proprietà DISTRIBUTIVA 2 16 • 3 5 • 3 16 2 5 In un insieme A in cui siano definite due OPERAZIONI ( * e # ), vale la proprietà DISTRIBUTIVA di * rispetto # se  a,b,c  A si ha a * (b # c) = (a * b) # (a * c) 2 + • 16 3 5 8 Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione 2 5 3 + • 10 6 16

• • NO ! Perché  a,b,cN : a • (b + c)  (a • b) + (a • c) + + Operazioni – Proprietà DISTRIBUTIVA In un insieme A in cui siano definite due OPERAZIONI ( * e # ), vale la proprietà DISTRIBUTIVA di * rispetto # se  a,b,c  A si ha a * (b # c) = (a * b) # (a * c) L’ addizione è distributiva rispetto alla moltiplicazione ? NO ! Perché  a,b,cN : a • (b + c)  (a • b) + (a • c) 2 • + 17 3 5 15 2 5 3 • + 7 5 35

SI ! Perché A  (B  C)  (A  B)  (A  C) Operazioni – Proprietà DISTRIBUTIVA In un insieme A in cui siano definite due OPERAZIONI ( * e # ), vale la proprietà DISTRIBUTIVA di * rispetto # se  a,b,c  A si ha a * (b # c) = (a * b) # (a * c) L’ intersezione è distributiva rispetto all’ unione? SI ! Perché A  (B  C)  (A  B)  (A  C) 1 3 B A 2 6 4 A  (B  C)  { 0, 2, 6 } (B  C)  { 0, 1, 2, 3, 6, 9 } 9 C 1 3 B A 2 6 4 (A  B)  (A  C)  { 0, 2, 6 } (A  C)  { 0, 6 } (A  B)  { 0, 2 } 9 C

Elementi Particolari: Neutro - Opposto

+ • + • SI ! lo 0 SI ! l’ 1 Elemento NEUTRO ? 5 ? 5 5 5 5 1 5 Esiste un numero che sommato con un QUALSIASI numero NON ne modifica il valore ? Esiste un numero che moltiplicato con un QUALSIASI numero NON ne modifica il valore? ? 5 + ? 5 • 5 5 + 5 • 1 5 SI ! lo 0 SI ! l’ 1 Si dice che u è l’ Elemento NEUTRO dell’insieme A rispetto all’operazione *, in esso definita, se  a  A si ha u * a = a * u = a

NO ! Perché la sottrazione non è commutativa Elemento NEUTRO Si dice che u è l’ Elemento NEUTRO dell’insieme A rispetto all’operazione *, in esso definita, se  a  A si ha u * a = a * u = a Esiste l’ elemento neutro per la sottrazione ? NO ! Perché la sottrazione non è commutativa

NO ! Perché N è l’insieme degli interi senza segno OPPOSTO L’ OPPOSTO di un numero è il numero stesso cambiato di segno Opposto di a = -a In N esiste l’ opposto ? NO ! Perché N è l’insieme degli interi senza segno ECCEZIONE Il numero 0 (che è opposto di se stesso)

Esiste un insieme in cui tutti i suoi elementi ammettono l’ opposto ? INSIEMI NUMERICI Esiste un insieme in cui tutti i suoi elementi ammettono l’ opposto ? SI ! Dobbiamo considerare un insieme numerico in cui a ogni numero è associato il segno

Numeri Interi con il segno Numeri Relativi Numeri Interi con il segno ± 0 +1 -1 ± 3 ± 4 ± 5 ± 6 ± 7 ±10 ± 111 ± 21 ± 37 ± 14 ± 58 ± 602 ± 7047 -182997 ± 9999997 ± 102357 ± 98732149997 Z N

NO ! Perché sia N che Z sono insiemi di numeri interi RECIPROCO Il RECIPROCO di un numero è 1 diviso il numero stesso Reciproco di a = 1/a In N o in Z esiste il reciproco ? NO ! Perché sia N che Z sono insiemi di numeri interi ECCEZIONE Il numero 1 e -1 (che sono reciproci di loro stessi)

un insieme che contenga frazioni INSIEMI NUMERICI Esiste un insieme in cui tutti i suoi elementi ammettono il reciproco ? SI ! Dobbiamo considerare un insieme numerico in cui i numeri possano ammettere cifre decimali. Quindi un insieme che contenga numeri decimali, periodici e periodici misti ossia un insieme che contenga frazioni

Numeri esprimibili in forma di frazioni Numeri Razionali Numeri esprimibili in forma di frazioni ± 0 +1 -1/3 ± 3/2 ± 4 ± 5/2 6/19 - 7 ±10 ± 111/21 ± 37/14 ± 58/5347 7047 -182/997 999999/7 ± 10/2357 ± 98/732149997 Z N Q

• + + • SI ! L’ opposto SI ! Il reciproco Elemento INVERSO 1 numero Esistono numeri che sommati a un numero danno come risultato l’ elemento neutro dell’addizione ? Esistono numeri che moltiplicati con un numero danno come risultato l’ elemento neutro della moltiplicazione? ? numero + ? numero • 1 + -5 5 • 1/5 5 1 SI ! L’ opposto SI ! Il reciproco Si dice che i  A è INVERSO di a  A rispetto all’operazione *, se il risultato dell’operazione a * b è l’elemento neutro i * a = a * i = u

• + N  0 N  1 Z  tutti Z  -1 Q  tutti Q  tutti Elemento INVERSO Si dice che i  A è INVERSO di a  A rispetto all’operazione *, se il risultato dell’operazione a * b è l’elemento neutro i * a = a * i = u i = inv*(a) + OPPOSTO RECIPROCO • Q  tutti Q  tutti Z  tutti Z  -1 N  0 N  1

La Radice quadrata ( ) di un numero è a = b  b  b = a quel valore che moltiplicato per se stesso dà il numero : a = b  b  b = a 25 = 5 perché (5)  (5) = 25 -25 =  perché non esiste un numero che moltiplicato per se stesso dia un numero negativo 3 = 1.73205080757… 3 N perché non è un numero intero Z perché non è un numero intero Q perché non è un numero esprimibile con una frazione R numeri reali

tutti i Numeri che fino ad ora hai utilizzato Numeri Reali tutti i Numeri che fino ad ora hai utilizzato ± 0 +1 -1/3 ± 3/2 ±4 ± 5/2 6/19 - 7 ±10 ± 111/21 ± 37/14 ± 58/5347 7047 -182/997 999999/7 ± 10/2357 ± 98/732149997 Z N Q R

Tabelle riassuntive - CHIUSURA Z Q R +  - /                     

Tabelle riassuntive – PROPRIETA’ Commutativa N Z Q R +  - / Associativa N Z Q R +  - /                                 Distributiva N Z Q R +  a  (b+c) = ab + ac

Tabelle riassuntive – ELEMENTO Neutro e Inverso El. NEUTRO N Z Q R +  1 1 1 1 El. INVERSO N Z Q R +     1 ±1  

Potenze e Proprietà

si calcola: moltiplicando b e volte per se stesso Potenza - Definizione L’operazione b e si legge: b elevato a e indica: l’operazione di elevazione a potenza il numero b è detto base il numero e è detto esponente il risultato dell’operazione è detto potenza L’operazione b e si calcola: moltiplicando b e volte per se stesso b e = b  b  . . .  b e volte 4 5 = 4  4  4  4  4 = 1024 5 volte

Prodotto di due potenze con BASE UGUALE Prodotto di Potenze con la STESSA BASE Prodotto di due potenze con BASE UGUALE b n  b m = ( b  b  . . .  b )  ( b  b  . . .  b ) = n volte m volte = b  b  b  . . .  b n + m volte = b n + m b n  b m = b n + m 4 3  4 5 = 4 3+5 = 4 8 = 65536

La regola può anche essere utilizzata al contrario : Potenze con ESPONENTE 1 b n  b m = b n + m La regola può anche essere utilizzata al contrario : 48 = 42+6 = 42  46 Possiamo scrivere : 64 = 43 = 42+1 = 42  41 = 42  41 = 16  41  41 = 64 / 16 = 4 b 1 = b

La regola può anche essere utilizzata al contrario : Potenze con ESPONENTE 0 b n  b m = b n + m La regola può anche essere utilizzata al contrario : 48 = 42+6 = 42  46 Possiamo scrivere : 64 = 43 = 43+0 = 43  40 = 43  40 = 64  40  40 = 64 / 64 = 1 b 0 = 1

Potenze un Caso TERRRRIFICANNNNTE 0 0 Sappiamo che ? 0 n = 0 00 = b 0 = 1 1 00 : INDETERMINATA

Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste Potenze Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste 34 = 3  3  3  3 = 81 26 = 2  2  2  2  2  2 = 64 3-2 = 1 / 32 = 1 / 9 5-3 = 1 / 53 = 1 / 125 012 = 00 = Indeterminata  NON HA RISULTATO 211 = 21 23  24 = 27 = 2  2  2  2  2  2  2 = 128 210 = 1 37  1/34 = 37  3-4 = 33 = 3  3  3 = 27 32  3-2 = 32-2 = 30 = 1 27  24  1/26  52 = 27+4-6 52 = 25  52 = 32  25 = 800

Elevazione a Potenza di una a Potenza Potenza di Potenza ( bn )m = bn  bn  . . .  bn = m volte = b  . . .  b  . . .  b  . . .  b  . . .  b  . . . n volte n volte n volte n volte n volte = b  b  . . .  b n  m volte = b n  m ( bn )m = b n  m ( 23 )4 = 2 34 = 212 = 4096

Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste Potenze Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste ( 32)3 = 323 = 36 = 729 ( 22)4 = 224 = 28 = 256 ( 1/32)3 = 1/(3)23 = 1/(3)6 = 1/729 ( (3/2)2)4 = (3/2)24 = (3/2)8 = 38/28 = 6561 / 256 ( 4 )5 = ( 22 )5 = 210 = 1024 ( (3/2)2)-4 = (3/2)2(-4) = (3/2)-8 = (2/3)8 = 256 / 6561

Prodotto di due potenze con ESPONENTE UGUALE Prodotto di Potenze con lo STESSO ESPONENTE Prodotto di due potenze con ESPONENTE UGUALE a n  b n = a  a  . . .  a  b  b  . . .  b = n volte n volte = a b  a b  a b  . . .  a b n volte = (a  b)n a n  b n = (a  b)n 3 4  2 4 = (3  2)4 = 6 4 = 1296

Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste Potenze Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste 32  42 = (34)2 = 122 = 144 ( 43  (1/2)3) = (4/2)3 = 23 = 8 3-2  5-2 = (3  5)-2 = 15-2 = 1/225 42 (1/2)-2 = 4222 = 82 = 64 42  (1/8)2 = (4/8)2 = (1/2)2 = 1/4 42 : 82 = 32  52 = (3  5)2 = 152 = 225

Potenze bn  bm = b n + m an  bn = (a  b)n Risolvere le seguenti operazioni dopo averle inserite nella giusta categoria 32  52 32  52 = ( 3  5 )2 = 152 = 225 = 23+5 = 28 = 256 23  25 23  25 = 33+2 = 35 = 243 33  32 33  32 27  37 27  37 = ( 2  3 )7 = 67 = 279936 = 26+6 = 212 = 4096 26  26 26  26 26  26 = ( 2  2 )6 = 46 = 4096 26  34 = 64  81 = 5184 26  34

00 0numero positivo INDETERMINATA = 0 0numero negativo IMPOSSIBILE Potenze di 0 00 INDETERMINATA 0numero positivo = 0 0numero negativo IMPOSSIBILE

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