Corso di ELETTROTECNICA I metodi delle correnti cicliche e dei potenziali ai nodi Presentazione a cura del Prof. Alvise Maschio Dipartimento di Ingegneria Elettrica Università di Padova 06/04/2017

Metodo delle correnti di maglia Metodo delle correnti di anello Metodi delle correnti Metodo delle correnti di maglia Metodo delle correnti di anello 06/04/2017

Eliminazione delle tensioni - 1 Sia data una rete lineare, in cui tutti i lati sono sede di bipoli riconducibili a generatori affini di tensione. In particolare, in nessun lato si trova un generatore ideale di corrente. Come esempio, si prenda la rete di figura. 06/04/2017

Eliminazione delle tensioni - 2 06/04/2017

Eliminazione delle tensioni - 3 La rete di figura è caratterizzata dai seguenti parametri: Si possono quindi scrivere n – 1 equazioni applicando la LKC ed m equazioni applicando la LKT. 06/04/2017

Eliminazione delle tensioni - 4 Le LKC ed LKT vengono scritte per gli insiemi di taglio e le maglie fondamentali individuabili, ad esempio, nel grafo di figura. 06/04/2017

Eliminazione delle tensioni - 5 Nelle equazioni sono sottolineate le correnti relative ai lati di albero (rami) e le tensioni relative ai lati di coalbero (corde). 06/04/2017

Eliminazione delle tensioni - 6 Alle l equazioni precedenti vanno aggiunte le l equazioni tipologiche dei bipoli presenti nei vari lati. 06/04/2017

Eliminazione delle tensioni - 7 Si possono ora eliminare le tensioni: ci si riduce ad un sistema di l equazioni nelle l correnti. 06/04/2017

Eliminazione delle tensioni - 8 Vi sono m equazioni del tipo: e n - 1 equazioni del tipo: 06/04/2017

Eliminazione delle correnti di albero - 1 Nel grafo corrispondente alla rete si individuino un albero ed il relativo coalbero. Si eliminano le n -1 correnti nei rami Irh e ci si riduce ad un sistema di m equazioni nelle correnti sulle corde Ick. Si utilizzano quindi i vincoli sulle correnti degli insiemi di taglio fondamentali. 06/04/2017

Eliminazione delle correnti di albero - 2 Sostituendo nel sistema di l equazioni scritto in precedenza si ottiene: cioè m equazioni del tipo: 06/04/2017

Metodo delle correnti di maglia Metodi delle correnti Metodo delle correnti di maglia 06/04/2017

Correnti di maglia - 1 Si consideri adesso un sistema di maglie fondamentali, basate sulle corde del grafo. Si scelga come verso di percorrenza della maglia quello individuato dalla corrente nella corda rispettiva. Le correnti nelle corde non sono altro che le m correnti cicliche (di maglia) di un sistema di maglie fondamentali, IMk, dove: 06/04/2017

Nel caso di figura si ha ad esempio: Correnti di maglia - 2 Le correnti nei lati della rete sono in generale somma di più correnti di maglia. Nel caso di figura si ha ad esempio: 06/04/2017

cioè m equazioni del tipo: Correnti di maglia - 3 Le LKT per le maglie fondamentali possono essere riscritte in funzione delle m correnti di maglia. Si ottiene un sistema di m equazioni indipendenti: cioè m equazioni del tipo: 06/04/2017

Correnti di maglia - 4 Il termine RMkk è la somma di tutte le resistenze dei lati che formano la maglia k-esima. RMkk è detto autoresistenza (o resistenza totale) della maglia k. Il termine RMkh è la somma di tutte le resistenze dei lati in comune alle maglie h-esima e k-esima. RMkh è detto mutua resistenza (o resistenza comune) fra le maglie h e k. 06/04/2017

Correnti di maglia - 5 Il termine EMk è la somma algebrica di tutte le f.e.m. dei lati che formano la maglia k-esima. Le f.e.m. sono prese con segno positivo se, dato il verso di percorrenza della maglia, si entra dal morsetto negativo del generatore, con segno negativo nel caso opposto. EMk è detto f.e.m. (o tensione impressa) totale della maglia k. 06/04/2017

Metodo delle correnti di anello Metodi delle correnti Metodo delle correnti di anello 06/04/2017

Correnti di anello - 1 In alternativa, nel caso di rete piana, si considerano gli m anelli interni (vedi figura). Si può dimostrare che questi m anelli costituiscono un sistema di maglie indipendenti. Si definiscono pertanto m correnti cicliche di anello (dette correnti di anello - Iak di figura), scelte in modo che tutti gli anelli siano percorsi nello stesso verso (orario o antiorario). 06/04/2017

Le correnti di anello sono per definizione solenoidali Le correnti nei lati della rete sono costituite da una corrente di anello o dalla differenza tra due correnti di anello. Nel caso di figura si ha ad esempio: Le correnti di anello sono per definizione solenoidali 06/04/2017

Correnti di anello - 3 06/04/2017

cioè m equazioni del tipo: Correnti di anello - 4 Le LKT per i vari anelli possono essere riscritte in funzione delle m correnti di anello. Si ottiene un sistema di m equazioni indipendenti: cioè m equazioni del tipo: 06/04/2017

Correnti di anello - 5 Il termine RAkk è la somma di tutte le resistenze dei lati che formano l’anello k-esimo. RAkk è detto autoresistenza (o resistenza totale) dell’anello k. Il termine RAkh è la somma di tutte le resistenze dei lati in comune agli anelli h-esimo e k-esimo. RAkh è detto mutua resistenza (o resistenza comune) fra gli anelli h e k. 06/04/2017

Correnti di anello - 6 Il termine EAk è la somma algebrica di tutte le f.e.m. dei lati che formano l’anello k-esimo. Le f.e.m. sono prese con segno positivo se, dato il verso di percorrenza dell’anello, si entra dal morsetto negativo del generatore, con segno negativo nel caso opposto. EAk è detto f.e.m. (o tensione impressa) totale dell’anello k. 06/04/2017

Metodo dei nodi 06/04/2017

Eliminazione delle correnti - 1 Sia data una rete lineare, in cui tutti i lati sono sede di generatori affini di corrente e, in particolare, in nessun lato si trova un generatore ideale di tensione. Come esempio, si prenda la rete di figura. 06/04/2017

Eliminazione delle correnti - 2 06/04/2017

Eliminazione delle correnti - 3 La rete di figura è caratterizzata dai seguenti parametri: Si possono quindi scrivere n - 1 equazioni alla LKC ed m equazioni alla LKT 06/04/2017

Eliminazione delle correnti - 4 Le LKC ed LKT vengono scritte per gli insiemi di taglio e le maglie fondamentali individuabili, ad esempio, nel grafo di figura. 06/04/2017

Eliminazione delle correnti - 5 Nelle equazioni sono sottolineate le correnti relative ai rami e le tensioni relative alle corde. 06/04/2017

Eliminazione delle correnti - 6 Alle l equazioni precedenti vanno aggiunte le l equazioni tipologiche dei bipoli presenti nei vari lati. 06/04/2017

Eliminazione delle correnti - 7 Si possono ora eliminare le correnti; ci si riduce ad un sistema di l equazioni nelle l tensioni. 06/04/2017

Eliminazione delle correnti - 8 Vi sono n - 1 equazioni del tipo: e m equazioni del tipo: 06/04/2017

Eliminazione delle tensioni di coalbero - 1 Nel grafo corrispondente alla rete si individuino un albero ed il relativo coalbero. Si eliminano le m tensioni nelle corde Vch, riducendosi ad un sistema di n - 1 equazioni nelle tensioni sui rami Vrk. Si utilizzano quindi i vincoli sulle tensioni delle maglie fondamentali. 06/04/2017

Eliminazione delle tensioni di coalbero - 2 Sostituendo nel sistema di l equazioni scritto in precedenza si ottiene: cioè n - 1 equazioni del tipo: 06/04/2017

Metodo dei nodi Metodo dei potenziali 06/04/2017

Potenziali ai nodi - 1 In alternativa (vedi figura) si sceglie un nodo comune (di massa) a cui si assegna potenziale nullo, e si esprimono tutte le tensioni in funzione degli n -1 potenziali degli altri nodi che sono tra loro indipendenti: 06/04/2017

Potenziali ai nodi - 2 06/04/2017

cioè n - 1 equazioni del tipo: Potenziali ai nodi - 3 Operando le opportune sostituzioni nel sistema (**), si ottiene un sistema di n - 1 equazioni indipendenti negli n - 1 potenziali di nodo: cioè n - 1 equazioni del tipo: 06/04/2017

Potenziali ai nodi - 4 Il termine GNkk è la somma di tutte le conduttanze che si appoggiano al nodo k-esimo. Esso è detto autoconduttanza (o conduttanza totale) del nodo k. Il termine GNkh è la conduttanza del lato che si appoggia alla coppia di nodi h e k. Esso è detto mutua conduttanza (o conduttanza comune) fra i nodi h e k. 06/04/2017

Potenziali ai nodi - 5 Il termine JNk è la somma algebrica di tutte le correnti impresse dei lati che si appoggiano al nodo k. Le correnti sono prese con segno positivo se il riferimento di corrente è diretto verso il nodo, con segno negativo nel caso opposto. Esso è detto corrente impressa totale del nodo k. 06/04/2017